===== ММ268 =====

**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)

Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? 

Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.

**Решение**

Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм268.docx|Виктора Филимоненкова}} (для поклонников сестры таланта), {{:marathon:kazmerchuk_mm_268.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм268-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}.

**Обсуждение** 

К устаканившемуся составу конкурсантов присоединился еще один участник. Точнее, это они к нему присоединились: Михаил Ватник прислал свое решение ММ268 сразу после обнародования задач XXVII конкурса.

Больших затруднений задача не вызвала (вопреки тому, что казалась мне непростой).

Мне понравился ответ к этой задаче. Набор 4, 8, 13 на первый взгляд кажется случайным. И лишь при погружении в задачу становится ясно, что это уменьшенные на 2 треугольные числа.

Влад Франк отметил и обосновал интуитивно очевидный факт: для подходящих достаточно больших чисел количество представлений может быть сколь угодно большим.\\
Анатолий Казмерчук и Мераб Левиашвили напротив сосредоточили внимание на числах, допускающих малое количество представлений. При этом представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, разумеется, не различались. А вот представления, полученные переброской сомножителя 1 в другое слагаемое, Анатолий считал различными. А Мераб рассмотрел обе возможные трактовки. При этом Мераб рассмотрел не только числа, имеющие единственное представление, но и допускающие по два, по три... представления. Правда, как ему удалось обнаружить второе представление для числа 12, для меня осталось загадкой :-)

**Награды**

За решение задачи ММ268 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
Мераб Левиашвили - 12;\\
Анатолий Казмерчук - 11;\\
Владислав Франк - 10;\\
Василий Дзюбенко - 9;\\
Денис Овчинников - 9;\\
Александр Романов - 9;\\
Константин Шамсутдинов - 9;\\
Виктор Филимоненков - 9;\\
Олег Полубасов - 9;\\
Владимир Дорофеев - 9;\\
Михаил Ватник - 9.

**Эстетическая оценка задачи - 4 балла**
----