=====ММ29=====

**Конкурсная задача ММ29** (7 баллов)

Назовем натуральное число "полуквадратным", если приписывая это число само к себе, получим квадрат натурального числа.\\
1) существуют ли полуквадратные числа в десятичной системе счисления? (2 балла)\\
2) для каких g (натуральных, больших 1) в системе счисления с основанием g существуют полуквадратные числа? (5 баллов)

**Решение**

1) Да. Например, приписывая число 20661157025 к себе, получим квадрат числа 45454545455.

2) Полуквадратные числа существуют для любых оснований g. Ясно, что число полученное приписыванием числа a к себе равно a(g<sup>n</sup>n+1), где n - количество цифр в g-ичной записи числа a.\\
Для того, чтобы построить полуквадратное число, достаточно подобрать n таким, чтобы g<sup>n</sup>+1 делилось на квадрат натурального числа, большего 1.
В самом деле, если g<sup>n</sup>+1 = s<sup>2</sup>t, то в качестве a годится число stk, где множитель k подбирается так, чтобы разрядность a<sup>n</sup> равнялась 2<sup>n</sup>. Этого всегда можно добиться, поскольку количество цифр для чисел последовательности a, 4a, 9a... при переходе к следующему числу увеличивается не более чем на единицу. (Исключение составляет переход a - 4a при g=2, но и для для g=2 существуют полуквадратные числа. Например, 100100 - двоичная запись числа 36.)

Остается показать, что для любого натурального g, большего 1, найдется подходящее n. Сделать это можно разными способами. Например, легко проверить что:\\
1) Если g четно, g<sup>g+1</sup>+1 ≡ 0(mod (g+1)<sup>2</sup>):\\
2) При g = 4k+3 g+1 ≡ 0(mod 4);\\
3) При g = 4k+1 g<sup>2k+1</sup>+1 ≡ 0(mod (2k+1)<sup>2</sup>)

**Награды**

За правильное решение этой задачки Макс Алексеев, Влад Франк и Олег Копылов получают по 7 призовых баллов. За правильное решение первого пункта задачи Анрей Бежан получает 2 призовых балла
----