=====ММ35=====

**Конкурсная задача ММ35** (5 баллов)

Васе и Пете задали задачку:\\
"В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого угла. В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Найти их радиусы."\\
Васе и Пете были известны конкретные числовые значения a и b.\\
У Васи получились ответы 3 и <m>sqrt 3</m>, а у Пети - 2 и <m>sqrt 2</m>.
Кто из них ошибся?

**Решение**

Зафиксируем меньший катет BC треугольника ABC, взяв его равным 1, а длину большего катета AB обозначим через x.\\
Тогда отношение площади треугольника ACD к площади треугольника BCD будет равно x (поскольку биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих, а высота, опущенная из C, у них общая).

Обозначим через <m>r_1, p_1, S_1 и r_2, p_2, S_2</m> радиус вписанной окружности, полупериметр и площадь треугольников BCD и ACD соответственно.\\ 
Тогда <m>S_1 = r_1p_1</m> и <m>S_2 = r_2p_2</m>, откуда\\
<m>r2/r1 = {S_2p_1}/{S_1p_2} = x{p_1/p_2}</m> (1)\\
Легко видеть, что <m>BD = sqrt{1 + x^2}/{1 + x}</m>,\\
<m>AD = xBD</m> и <m>CD = {x sqrt{2}}/{1 + x}</m>.\\
Подставляя эти значения в выражение (1), получим\\
<m>{r_2}/{r_1} = {1 + x + x sqrt 2 + sqrt{1+x^2}}/{1 + x + sqrt 2 + sqrt{1+x^2}}</m> (2)

Не трудно проверить, что с ростом x от 1 до бесконечности (2) монотонно возрастает от 1 до <m>1 + {sqrt 2}/2</m>.
Учитывая, что отношение радиусов <m>sqrt 3</m>, которое получилось у Васи, не входит в указанный диапазон, делаем вывод, что он ошибся.

**Обсуждение**

Разумеется, ответ Пети тоже не обязан быть верным.\\
Более того, учитывая, что его ответ получается при\\
<m>b = 6 + 5 sqrt 2 + sqrt{38 + 28 sqrt 2}, a = {5 + 2 sqrt 2 + sqrt{19 + 14 sqrt 2}(sqrt 2 - 1)}/2</m>, можно с уверенностью предположить, что Петя тоже ошибся (или что учитель, задавший мальчикам эту задачу, - садист) ;-)

**Награды**

За решение этой задачи Иван Козначеев получает 7 призовых баллов (два балла добавлены за нахождение значений a и b, при которых получается Петин ответ), Мигель Митрофанов - 5 призовых баллов, а Влад Франк - 3 призовых балла. 
----