=====ММ39=====

**Конкурсная задача ММ39** (8 баллов)

Эта задачка перекликается с задачей №29.\\
В качестве основания системы счисления рассматриваются натуральные числа, большие 1.

Назовем число "полукубическим", если, приписывая его себе, получим куб некоторого натурального (натуральный ряд начинается с 1).\\
1) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют полукубические числа. (1 балл)\\
2) Привести пример таких a и g, что в системе счисления с основанием g число a будет трехзначным полукубическим числом. (2 балла)\\
3) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют двузначные полукубические числа. (5 баллов)

**Решение**

1. Число, записанное двумя единицами в системе счисления с основанием g = a<sup>3</sup> - 1, будет полукубическим.

2. Например, число 57<sup>3</sup> в восьмеричной системе счисления записывается цифрами 5 5 1 5 5 1.

3. Известно, что уравнение x<sup>2</sup> - 2y<sup>2</sup> = -1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. (Легко показать, что пара (x<sub>n</sub>, y<sub>n</sub>) будет его решением тогда и только тогда,
когда x<sub>n</sub> + y<sub>n</sub>√2 = (1 + √2)<sup>2n-1</sup>.)
Таким образом, имеется бесконечно много соотношений типа:
7<sup>2</sup> + 1 = 2*5<sup>2</sup>
41<sup>2</sup> + 1 = 2*29<sup>2</sup>
239<sup>2</sup> + 1 = 2*169<sup>2</sup>
...............
x<sub>n</sub><sup>2</sup> + 1 = 2y<sub>n</sub><sup>2</sup>
...............
Но каждое из этих соотношений дает двузначное полукубическое число. Таковым будет число 4y<sub>n</sub>, записанное в системе счисления с основанием x<sub>n</sub>.
В самом деле, 4y<sub>n</sub> двузначно, поскольку x<sub>n</sub> < 4y<sub>n</sub> < x<sub>n</sub><sup>2</sup>. В то же время, приписывая число 4y<sub>n</sub>, записанное в системе c основанием xn, к себе, получим число
(x<sub>n</sub><sup>2</sup> + 1)*4y<sub>n</sub> = (2y<sub>n</sub>)<sup>3</sup>.

**Обсуждение**

Можно явно указать цифры двузначных полукубических чисел, построенных в приведенном решении.
Первая цифра всегда будет 2, а вторая определяется рекуррентно: b<sub>0</sub> = 2, b<sub>1</sub> = 6, b<sub>n</sub> = 6b<sub>n-1</sub> - b<sub>n-2</sub>.

Любопытно, что последовательность x<sub>n</sub> составляют взятые через один элементы последовательности f(n) из задачи MM38.

Разумеется, двузначные полукубические числа не исчерпываются построенными. Существуют другие двузначные полукубические числа при g = x<sub>n</sub>.
Можно получать другие бесконечные серии, стартуя с уравнения x<sup>2</sup> - d*y<sup>2</sup> = -1, и взяв другие (отличные от двойки) d.
Можно строить серии, отталкиваясь не от уравнения Пелля, а от леммы Гензеля. Этим путем пошли Влад Франк и Мигель Митрофанов. (Решение Ивана Козначеева похоже на решение автора.)

Мне неизвестно, существуют ли полукубические числа в системе счисления с заданным основанием g. В частности, я не знаю, существуют ли десятичные полукубические числа.

Обобщение задач ММ29 и ММ39 приведено в обсуждении задачи ММ209.

**Награды**

За правильное решение задачи Влад Франк, Мигель Митрофанов и Иван Козначеев получают по 8 призовых баллов. 
----