=====ММ49=====

**Конкурсная задача ММ49** (3 балла)

Для каждого натуpального числа a, чеpез m(a) обозначим мощность множества {HОД(x<sup>12</sup>, x+a) | x ∈ N}.\\
Решить в натуральных числах уравнение: m(a) = a

**Решение**

Приведу решение в изложении {{:marathon:mm49.pdf|Олега Полубасова}}.

Ответ: a ∈ {1, 13, 25, 325}.

**Обсуждение**

Ясно, что задача MM49 объединяет в себе две разные задачи. Каждая допускает вполне естественные обобщения. Обобшение первой подзадачи я зарезервирую для будущих задач.

Что же касается второй подзадачи, то для ее обсуждения и обобщения я вновь предоставлю слово {{:marathon:mm49_app.pdf|Олегу Полубасову}}.

**Награды**

С задачей №49 успешно справились Дмитрий Милосердов, Алекскей Ковальский, Андрей Винокуров, Владислав Франк и Олег Полубасов. Верное решение, но без строго обоснования его полноты, дал Андрей Богданов.\\ 
Кроме того, Олег Полубасов и Андрей Винокуров рассмотрели ряд обобщений задачи. В итоге: Олег Полубасов (он продвинулся по пути обобщений дальше Андрея Винокурова) получает 6 призовых балллов; Андрей Винокуров - 5 призовых баллов; Дмитрий Милосердов, Алексей Ковальский и Влад Франк - по 4 призовых балла; Андрей Богданов - 2 призовых балла.

**Эстетитеская оценка задачи - 2.5 балла** 

----