=====ММ54=====

**Конкурсная задача ММ54** (3 балла)

Доказать, что максимум площадей четырехугольников со сторонами a, b, c, d не зависит от порядка следования сторон.

**Решение**

Приведу решение, данное Виктором Филимоненковым.

1. Максимум площадей четырехугольников с данными сторонами и порядком их следования достигается на выпуклом четырехугольнике. Действительно, если в четырехугольнике есть угол, больше развернутого, отобразим две стороны, составляющие этот угол, относительно прямой, проходящей через не общие концы этих сторон. Получится четырехугольник с тем же порядком следования сторон, содержащий исходный невыпуклый четырехугольник, то есть больший по площади.

2. Обозначим M(a,b,c,d) наибольшую площадь четырехугольников со сторонами a,b,c,d и указанным циклическим порядком сторон (скажем, по часовой стрелке). Докажем, что от перестановки порядка следования любых двух соседних сторон эта наибольшая площадь не меняется. Например, докажем, что M(a,b,c,d) = M(a,b,d,c). Действительно, возьмем четырехугольник со сторонами a,b,c,d и указанным порядком сторон, на котором достигается максимум M(a,b,c,d). Отразим стороны c и d относительно серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющего не общие концы сторон c и d. Поскольку по п.1 выбранный четырехугольник выпуклый, то полученная фигура тоже будет четырехугольником, причем той же площади M(a,b,c,d), но уже с порядком следования сторон a, b, d, c. Таким образом, M(a,b,c,d) ≤ M(a,b,d,c). Но аналогично M(a,b,c,d) ≥ M(a,b,d,c).

3. Осталось заметить, что с помощью таких транспозиций соседних сторон мы можем получить любой порядок следования сторон.

**Oбсуждение**

Объясню, как попала в марафон эта задача.\\
Обычно, я стараюсь помещать в марафон авторские задачи. Что же касается этой, то ее частный случай (с конкретными a, b, c, d) встретился мне на какой-то олимпиаде, для девятиклассников. В комментарии для проверяющих было сказано: "Можно доказать, что и при произвольных a, b, c, d максимум площадей не зависит от порядка следования сторон. Но доказательство этого факта требует техники, недоступной девятиклассникам".\\
В то же время, приведенное доказательство по технике доступно и семиклассникам. (Это не означает, что рядовой семиклассник до него додумается.) Мне захотелось проверить, на какой математический аппарат предпочтут опереться марафонцы.\\
На задачу откликнулись трое марафонцев. Один из них привел доказательство с использованием более изощренной техники, другой - приведенное выше, а третий - сразу два доказательства.\\
Таким образом, счет 2:2.

**Награды**

За правильное решение этой задачи Влад Франк, Виктор Филимоненков и Иван Козначеев получают по 3 призовых балла.

**Эстетическая оценка задачи - 3 балла** 

----