=====ММ55=====

**Конкурсная задача ММ55** (7 баллов)

Через точку внутри тетраэдра провели 4 плоскости, параллельные граням. На сколько частей разобьется тетраэдр? (1 балл)
Какой наименьший объем может иметь тетраэдр, если объемы частей попарно различны и целочисленны? (6 баллов).

[[problem_55|Решение задачи ММ55]]

**Решение**

1. Тетраэдр разобьется на 14 частей. Четыре части, примыкающие к вершинам, будут параллелепипедами. Четыре части, примыкающие к граням - тетраэдрами, подобными исходному. Оставшиеся шесть частей будут примыкать к ребрам. Название этих многогранников мне не известно. Каждый из них будет иметь 6 граней (2 трапеции, 2 параллелограмма и 2, треугольника), 7 вершин и 11 ребер. Представить себе эти многогранники проще всего так: берем точку на ребре тетраэдра (не нашего, а вообще) и отсекаем от исходного тетраэдра два меньших плоскостями, параллельными граням, не содержащим выбранную точку.

2. Пусть V - объем данного тетраэдра ABCD, а x, y, z и t - отношения, в которых делятся секущими плоскостями высоты тетраэдра (считая от основания), проведенные из вершин A, B, C и D, соответственно.\\
Легко убедиться, что x + y + z + t = 1. Объемы четырех параллелепипедов, примыкающих к вершинам исходного тетраэдра:\\
V<sub>A</sub> = 6Vyzt;\\
V<sub>B</sub> = 6Vxzt;\\
V<sub>C</sub> = 6Vxyt;\\
V<sub>D</sub> = 6Vxyz.\\
Объемы тетраэдров, примыкающих к граням:\\
V<sub>ABC</sub> = Vt<sup>3</sup>;\\
V<sub>ABD</sub> = Vz<sup>3</sup>;\\
V<sub>ACD</sub> = Vy<sup>3</sup>;\\
V<sub>BCD</sub> = Vx<sup>3</sup>.\\
Объемы шестигранников, примыкающих к ребрам:\\
V<sub>AB</sub> = V(1-x-y)<sup>3</sup> - Vz<sup>3</sup> - Vt<sup>3</sup> = 3V(z+t)zt;\\
V<sub>AC</sub> = 3V(y+t)yt;\\
V<sub>AD</sub> = 3V(y+z)yz;\\
V<sub>BC</sub> = 3V(x+t)xt;\\
V<sub>BD</sub> = 3V(x+z)xz;\\
V<sub>CD</sub> = 3V(x+y)xy.\\
Не сложно показать, все 14 объемов будут рациональны тогда и только тогда, когда будут рациональны V, x, y, z, t.\\
Ясно, что числа x, y, z, t должны быть попарно различны, иначе среди 14 частей найдутся равновеликие.\\
Наименьший общий знаменатель четырех положительных попарно различных рациональных чисел, дающих в сумме единицу, равен 10. Поэтому первый набор "кандидатов": x = 1/10, y = 1/5, z = 3/10, t = 2/5, V = 10<sup>3</sup>.\\
Однако непосредственная подстановка в вышеприведенные формулы показывает, что для этого случая V<sub>A</sub> = V<sub>AC</sub> и V<sub>D</sub> = V<sub>BD</sub>.
Аналогичная картина имеет место и для наборов:\\
1/11, 2/11, 3/11, 5/11, 11<sup>3</sup>;\\
1/12, 1/6, 1/4, 1/2, 12<sup>3</sup>;\\
1/12, 1/6, 1/3, 5/12, 12<sup>3</sup>;\\
1/13, 2/13, 3/13, 7/13, 13<sup>3</sup>;\\
1/13, 2/13, 4/13, 6/13, 13<sup>3</sup>;\\
1/13, 3/13, 4/13, 5/13, 13<sup>3</sup>.\\
А вот для набора x = 1/14, y = 1/7, z = 5/14, t = 3/7, V = 14<sup>3</sup> объемы всех частей целочисленны и попарно различны:\\
V<sub>A</sub> = 360;\\
V<sub>B</sub> = 180;\\
V<sub>C</sub> = 72;\\
V<sub>D</sub> = 60;\\
V<sub>ABC</sub> = 216;\\
V<sub>ABD</sub> = 125;\\
V<sub>ACD</sub> = 8;\\
V<sub>BCD</sub> = 1;\\
V<sub>AB</sub> = 990;\\
V<sub>AC</sub> = 288;\\
V<sub>AD</sub> = 210;\\
V<sub>BC</sub> = 126;\\
V<sub>BD</sub> = 90;\\
v<sub>CD</sub> = 18.\\
А объем всего тетраэдра (и ответ задачи) - V = 14<sup>3</sup> = 2744.

**Oбсуждение**

Ответ на первый вопрос задачи легко обобщается на любое число измерений. А именно: n+1 гиперплоскость, проведенная внутри n-мерного симплекса параллельно его n-1-мерным граням, разбивает симплекс на 2<sup>n+1</sup> -2 частей.

То что для трехмерного случая ответ на второй вопрос задачи является кубом ответа на первый вопрос - совпадение и не переносится на другие размерности.

Зато формулы для объемов частей в некотором смысле переносимы на любую размерность. А именно, n-мерные объемы "кусков" n-мерного симплекса получаются после раскрытия скобок и должной группировки из соотношения:\\
V = V(x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> + ... + x<sub>n+1</sub>)<sup>n</sup>, где x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n+1</sub> - отношения, в которых делятся (считая от основания) секущими гиперплоскостями высоты симплекса.

**Награды**

За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков получает 8 призовых баллов, а Влад Франк и Иван Козначеев - по 7 призовых баллов.

**Эстетическая оценка задачи - 3.2 балла** 

----