=====ММ59=====

**Конкурсная задача ММ59** (8 баллов)

Сколько существует гомоморфизмов из кольца классов вычетов по модулю m в кольцо классов вычетов по модулю n?

**Решение**

Напомню, что гомоморфизмом кольца К в кольцо К' называется отображение f:K -> K', при котором f(x + y) = f(x) + f(y) (1) и f(x*y) = f(x)*f(y) (2), для любых x и y из К.

Пусть f(1) = a (здесь и в дальнейшем предполагается, что элементы, к которым применяется гомоморфизм f, являются классами вычетов по модулю m, а их образы - классами вычетов по модулю n). Тогда a*a = f(1)*f(1) = f(1) = a, т.е. образ единицы первого кольца должен быть идемпотентом во втором.

Пусть <m>n = {p_1}^{s_1}{p_2}^{s_2}...{p_k}^{s_k}</m>. Тогда в кольце Z<sub>n</sub> имеется ровно 2<sup>k</sup> идемпотентов. В самом деле, сравнение x(x-1) == 0 имеет ровно два решения (0 и 1) для каждого модуля <m>{p_i}^{s_i}</m>, откуда на основании китайской теоремы об остатках получаем 2<sup>k</sup> решений по модулю m.

Взяв в качестве f(1) идемпотент a кольца Z<sub>n</sub>, мы можем доопределить f для остальных элементов кольца Z<sub>n</sub>, используя соотношение (1). Однако, очевидно, что при этом должно выполняться условие m кратно n/(a,n), поскольку в противном случае число элементов образа кольца Z<sub>m</sub> не будет делителем количества элементов самого Z<sub>m</sub>.

Таким образом, нас устроят только идемпотенты, кратные всем <m>{p_i}^{s_i}</m>, для которых s<sub>i</sub> превосходит показатель p<sub>i</sub> в разложении m. Таких идемпотентов будет 2<sup>t</sup>, где t - количество простых делителей в разложении n, показатели которых не превосходят их показателей в разложении m.

Легко проверяется, что отображение 1 в каждый из таких идемпотентов единственным образом достраивается до отображения Z<sub>m</sub> в Z<sub>n</sub> с использованием (1) и при этом (2) будет выполняться автоматически.

Окончательно получаем: число гомоморфизмов из Z<sub>m</sub> в Z<sub>n</sub> равно 2<sup>t</sup>, где t - количество простых делителей в разложении n, показатели которых не превосходят их показателей в разложении m.

**Награды**

За правильное решение этой задачи Владислав Франк и Виктор Филимоненков получают по 8 призовых баллов.

**Эстетическая оценка задачи - 3 балла** 

----