===== 65 ===== Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: в Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. **Конкурсная задача №65 (Л-3)** (5 баллов) Математик С предложил математикам А и В такую загадку:\\ - Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу А это произведение, а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа. Узнав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог: А: Я не знаю этих чисел.\\ В: Если бы "мое" число было произведением, я бы знал загаданные числа.\\ А: Но я, все равно, не знаю этих чисел.\\ В: Да и я не знаю.\\ А: А я уже знаю их.\\ В: Да и я знаю.\\ Что это за числа? **//Решение//** Выпишем все числа, не превосходящие 50, допускающие более одного представления в виде произведения трех попарно различных натуральных чисел. В квадратных скобках после каждого числа перечислим возможные суммы и отметим знаком "+" те из них, для которых проходит первая реплика В. 12 [9, 8+] 18 [12, 10+] 20 [13, 10+] 24 [15+, 12, 11, 9] 28 [17, 12] 30 [18, 14+, 12, 10+] 32 [19, 13] 36 [21+, 16+, 14+, 11] 40 [23, 15+, 14+, 11] 42 [24, 18, 14+, 12] 44 [25, 15+] 45 [19, 15+] 48 [27+, 20, 17, 15+, 13, 12] 50 [28, 16+] Вторая реплика А возможна лишь для тех произведений, для которых не менее двух сумм помечено плюсом (если плюсом помечена всего одна сумма, то А уже знал бы загаданные числа, а если сумм, помеченных плюсом нет вовсе, то такое число не могло быть загаданным произведением).\\ Перепишем оставшиеся варианты. 30 [14, 10] 36 [21, 16, 14] 40 [15, 14] 48 [27, 15] На основании второй реплики В удалим те суммы, которые уникальны в оставшихся вариантах.\\ Оставшиеся варианты: 30 [14] 36 [14] 40 [14, 15] 48 [15] Если бы произведение загаданных чисел равнялось 40, А не смог бы определить загаданные числа после второй реплики В. Раз А смог определить их, значит остались варианты: 30 [14] 36 [14] 48 [15] Если бы B знал число 14, то он не смог бы определить загаданные числа и после третьей реплики А. Но он определил их. Значит, произведение загаданных чисел равно 48, а сумма - 15. Ну а сами числа - 1, 6 и 8. Ответ: 1, 6, 8. **//Обсуждение//** Андрей Богданов просчитал, как изменится задача, если число 50 в ограничении "произведение не превосходит 50" заменить на другое, не превосходящее 200. Картина получилась следующая:\\ меньше 48 - решений нет;\\ От 48 до 53 - решение 1,6,8;\\ 54-59 - решений два 1,6,8 и 1,3,10;\\ 60-65 - решение 1,3,10;\\ 66-69 - решений два 1,3,10 и 2,3,11;\\ 70-83 - решение 2,3,11;\\ 84-101 - решений нет;\\ 102-104 - решение снова 1,3,10;\\ 105-155 - решений два 1,3,10 и 2,3,10;\\ 156-200 - и опять решение 1,3,10. **//Награды//** За правильное решение задачи № 65 //Сергей Аракчеев, Андрей Богданов, Константин Кноп, Евгений Машеров, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов, Мария Рыкалина, Влад Франк, Виктор Филимоненков, Олег Чечулин// получают по 5 призовых баллов.\\ За правильные решения с различными недочетами //Стас Грицюк, Валентина Загороднюк и Алексей Кутузов// получают по 4 балла, а //Иван Держанский// 3 балла. //Владимир Романов// получает один призовой балл. **//Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла//** ----