** Конкурсная задача №74 ** (6 баллов)
Вася и Петя поспорили.\\
Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого
правильные многоугольники, а все 16 ребер имеют длину 1, больше единицы.
Петя же утверждает, что объем такого многогранника меньше единицы.
Кто из них прав?
** Решение **
Проницательные марафонцы сразу догадались, что существуют требуемые
многогранники как с объемом больше 1, так и с объемом меньше 1.
В самом деле, если на единичный куб поставить правильную четырехугольную
пирамиду, все ребра которой равны по 1, получится многогранник, имеющий 16
ребер длины 1, пять граней которого являются квадратами, а остальные 4
правильными треугольниками. Ясно, что объем такого "домика" больше 1.
Многогранник, удовлетворяющий условию, но имеющий объем меньше 1, устроен
чуть хитрее: расположим в параллельных плоскостях два единичных квадрата так,
чтобы один был повернут на 45 градусов относительно другого, и все 8 отрезков,
соединяющих вершины одного квадрата с ближайшими вершинами другого имели
единичную длину. Две гранни полученного тела (оно называется квадратной
антипризмой) являются квадратами, а остальные восемь - правильными
треугольниками.\\
Показать, что объем нашей антипризмы меньше 1 можно различными способами.
Приведу наииболее изящный (на мой взгляд) из них, предложенный Константином
Кнопом.
Ортогонально спроектируем вершины верхнего основания антипризмы в плоскость
нижнего, и наоборот. В результате наша антипризма будет вписана в правильную
восьмиугольную призму. Легко видеть, что площадь основания этой призмы равна
√2, а высота - 1/4√2. Значит, ее объем равен 4√2.
Для нахождения объема искомой антипризмы, остается вычесть отсюда 8 объемов
одинаковых пирамидок, дополняющих нашу антипризму до 8-угольной призмы.
Площадь основания одной такой пирамидки - (√2-1)/4, а высота такая же
как у призмы.
В результате получаем, что объем антипризмы - (2+√2)/34√2,
что примерно равно 0,957.
Итак, объем многогранника, удовлетворяющго условию, может быть как больше,
так и меньше 1. Сложнее обстоит дело с ответом на вопрос, кто из мальчиков
прав. Здесь мнения участников марафона разошлись от "оба правы", до "никто не
прав" (имеются и промежуточные варианты).
Во избежание кровопролитной, но безрезультатной дискуссии я посчитал
правильными все ответы, в которых найдены (или оценены) объемы двух
вышеописанных многогранников.
** Обсуждение **
Многие (из тех немногих, кто откликнулся на задачу) марафонцы утверждают
(но не слишком строго обосновывают), что перечисленными в решении
исчерпываются все невырожденные многогранники, удовлетворяющие условию.
Я придерживаюсь того же мнения и пришел к нему, перебором возножных вариантов
валентностей вершин и числа сторон в гранях.
Евгений Машеров ссылается на результат В.Залгаллера 1969 года, доказавшего,
что список из 92 так называемых Джонсоновых тел является полным.
Этот список был опубликован Н.Джонсоном в 1966 году и включает в себя
строго выпуклые многогранники (отличные от платоновых и архимедовых тел, а
также призм и антипризм) все грани которых являются правильными
многоугльниками.
Олег Полубасов заметил, что под классическое определение выпуклого многогранника
можно притянуть и правильный 16-угольник, считая его двугранником, склеенным
из двух одинаковых 16-угольников. Но даже после этого я не хочу считать плоский
многоугольник многогранником ;)
** Награды **
За правильное решение этой задачи Дмитрий Милосердов, Евгений Машеров,
Олег Полубасов, Константин Кноп, Виктор Филимоненков и Владислав Франк
получают по 6 призовых баллов.
** Эстетическая оценка задачи - 3.7 балла **