===== №79 =====

Решение этой задачи учитываtтся дважды:\\
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач.


**Конкурсная задача №79 (А-5)** (4 балла) 

Сколько решений имеет нижеприведенная система уравнений?

[x] + {y} = [y]⋅{x}\\
x + y = n

Примечания:\\
[x] = floor(x) - целая часть (пол) x;\\
{x} = x - [x]  - дробная часть x;\\
n - целочисленый параметр.


** Решение **

Прибавив к обеим частям первого уравнения по [y] + {x} и заменив x + y, 
возникающее в левой части, на n, получим\\ n = [y]⋅{x} + [y] + {x} или
([y]+1)⋅({x}+1) = n+1.

1. Пусть n = -1.\\ 
Тогда при [y] = -1  {x} может быть любым числом из полусегмента [0; 1) 
и решений бесконечно много.

2. Пусть n > -1.\\ 
Учитывая, что {x}+1 не меньше 1, но меньше 2, получаем (n-1)/2 < [y] ≤ n.
Легко видеть, что на этом полуинтервале находится ровно [(n+2)/2] целых чисел,
Каждое из которых соответствует одному решению системы.

3. n < - 1.\\
В этом случае имеем ([y]+1)⋅t = 1-|n|, где t, как и в предыдущем случае 
принадлежит полусегменту [1; 2). Следовательно,  -|n| ≤ [y] < (-|n|-1)/2.
Заметим, что на этом полусегменте лежат [|n|/2] целых чисел,
Каждое из которых соответствует одному решению системы.

Объединяя 2-й и 3-й случаи, окончательно получаем\\
Ответ:\\ 
При n = -1 бесконечно много решений,\\
при остальных n - [(|n+1|+1)/2] решений.

** Обсуждение **

Эта задача оказалась неожиданно трудной из-за нюансов, возникающих при n < 0.
Так, многие участники прозевали бесконечное множество в случае, когда n = -1.
Поскольку этот случай был запланирован в качестве изюминки задачи, его потеря
стоила марафонцам потери двух баллов.\\
Другая ошибка - неточная формула количества решений при n < -2.
За этот промах я снимал один балл.\\
На мой призыв исправить ошибки (я поленился писать персональные письма, а
публично сообщил лишь статистические сведения о числе ошибок) марафонцы 
отреагировали вяло, видимо посчитав, они-то уж точно попали в число двоих,
приславших безошибочные решения. 

Учитывая выявленную экспериментальным путем недооценку сложности задачи, я 
принял решение ставить оценку, исходя из шести, а не из четырех первоначально
заявленных баллов. (Иначе могла получиться странная картина: при совершенно 
верном ходе решения участник мог получить всего один балл, недосчитавшись 
трех баллов за неточности в решении.)


** Награды **

За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков и Анатолий Казмерчук
получают по 6 призовых баллов. За верные по сути, но не лишенные неточностей 
решения: Владислав Франк получает 5 призовых баллов, Константин Кноп, 
Галина Крюкова и Олег Полубасов - по 4 призвых балла, Ефим Подвойский -
3 призовых балла.


** Эстетическая оценка задачи - 3.2 балла **