===== №82 =====

**Конкурсная задача №82** (3 балла)   

Сколько решеный в натуральных числах имеет уравнение 1/x - 1/y = 1/2008 ?


** Решение **

Перепишем уравнение в виде:\\
2008y - 2008x - xy = 0 или \\
2008^2 + 2008y - 2008x - xy = 2008^2, т.е.\\
(2008 + y)(2008 - x) = 2008^2.\\
Таким образом, каждому разложению числа 2008^2 на два неравных натуральных
множителя соответствует ровно одно решение исходного уравнения. И обратно.
Вот все пары решений:\\
(2007, 4030056);\\ 
(2006, 2014024);\\ 
(2004, 1006008);\\ 
(2000, 502000);\\
(1992, 249996);\\ 
(1976, 123994);\\ 
(1944, 60993);\\ 
(1757, 14056);\\
(1506, 6024);\\ 
(1004, 2008).

** Обсуждение **

Данная задача должна была привлечь к Марафону толпы новых участников.
Но не привлекла :( \\
Т.е. не выполнила свою задачу.\\
В то же время не соглашусь с марафонцами, поставившими данной задачку низшую 
эстетическую оценку.\\
Аргументы:\\
1. Наличие ошибочных решений. Причем у весьма квалифицированных участников.
Значит, все не так уж прозрачно и тривиально.\\
2. Наличие разных подходов, приводящих к верному решению. 
Значит, все не так уж однозначно. 


** Награды **

За правильное решение задачи 82 Влад Франк, Олег Полубасов, Николай дерюгин,
Анатолий Казмерчук и Евгений Машеров получают по 3 призовых балла. 
Галина Крюкова (она не обосновала верный ответ) получает 2 призовых балла. 
Виктор Филимоненков (он обосновал неверный ответ) получает 1 призовой балл.

** Эстетическая оценка задачи - 2.5 балла **

----