===== №87 =====

Эта задача является прямым продолжением задачи №70

**Конкурсная задача №87** (12 баллов)   

Раньше в круговых турнирах по футболу была принята система подсчета очков, 
при которой за победу команде начислялось 2 очка, за ничью -  1 очко, а за
поражение - 0 очков. Сейчас за победу команда получает 3 очка.

Обобщим эту ситуацию:\\
Пусть при одной системе подсчета очков команда получает 0 очков за поражение,
1 очко - за ничью и c<sub>1</sub> очков - за победу (c<sub>1</sub> > 1). Такую систему назовем
старой. Систему, в которой за поражение команде начисляют 0 очков, за ничью -
1 очко, а за победу - c<sub>2</sub> очков (с<sub>2</sub> > c<sub>1</sub>) назовем новой. 

Итоговую турнирную таблицу назовем строгой (в терминах задач 48 и 70 такие 
таблицы назывались правильными, но термин "строгая", представляется мне более 
удачным), если никакие две команды не набрали в итоге поровну очков.

Турнир будем называть перевертышем, если порядок расположения команд 
в итоговой таблице при подсчете по старой системе будет обратен порядку
их расположения при подсчете очков по новой системе и при этом обе таблицы
будут строгими.

Для заданных с<sub>1</sub> и c<sub>2</sub> определить наименьшее возможное число кругов в 
турнире-перевертыше.

Примечания:\\ 
1. Числа с<sub>1</sub> и с<sub>2</sub> могут быть любыми действительными с единственным 
ограничением  c<sub>2</sub> > c<sub>1</sub> > 1.\\
2. Легко видеть, что любая система подсчета очков, при которой за победу
дается больше очков, чем за ничью, а за ничью - больше, чем за поражение,
сводится к "нормализованной" системе подсчета очков, при которой за поражение
начисляется 0, за ничью - 1, а за победу - c очков при некотором c > 1.

** Решение **

Пусть u и h наименьшие натуральные такие, u*c<sub>1</sub> < h < u*c<sub>2</sub>  и d = min(u, h-u).
Тогда наименьшее возможное число кругов в турнире-перевертыше\\
k = ]3h/2[ - d, где ]x[ - потолок x, т.е. наимньшее целое, не меньшее x.

Доказательство этого утверждения естественно состоит из двух частей:
доказательств непреодолимости и достижимости указанной оценки.
С полным текстом доказательства можно ознакомиться здесь {{:marathon:ans_87.doc|:marathon:ans_87.doc}}.

** Обсуждение **

Первоначальная цена задачи (12 баллов) была увилечена мной до 16 баллов.
И инфляция здесь не причем. Просто задача действительно оказалась весьма 
трудной (даже признанные корифеи основательно спотыкались, решая ее).

** Награды **

За решение задачи 87 Олег Полубасов получает 15 призовых баллов.
Он получил и обосновал оценку k, которая в ряде случаев совпадает с приведенной
в решении, в других случаях оказывается на 1 больше. 
Анатолий Казмерчук получает по 9 призовых баллов. Он получил и  "обосновал" 
оценку k, которая в ряде случаев верна, а в других может оказаться
существенно меньше непреодолимой границы ;)


** Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **
----