===== №88 =====

**Конкурсная задача №88** (5 баллов)   

Доказать, что существует бесконечно много троек взаимно простых ненулевых
целых чисел (a, b, c) таких, что корни квадратного трехчлена ax<sup>2</sup> + bx + c  
и еще пяти квадратных трехчленов, полученных всевозможными перестановками
коэффициентов a, b, c рациональны.
Верно ли, что среди корней каждого из таких трехчленов обязательно есть целый?


** Решение **

1) Пусть f(x) = ax<sup>2</sup>  + bx + c. Тогда f(1) = a+b+c. 
Поэтому если a+b+c = 0,
то 1 будет корнем f(x) и всех квадратных трехчленов, полученных из f(x) 
перестановкой коэффициентов. Но если один из корней квадратного трехчлена с
целыми коэффициентами рационален, то рационален и второй.

2) Ответ на второй вопрос задачи отрицателен.
Например при a = 45, b = 8, c = -77 корни соответствующего трехчлена
11/9 и -7/5.  


** Обсуждение **

Приведенная во втором пункте тройка не единственна.
Аналогичными свойствами обладает и тройка (9, 36, -85).

Олег Полубасов нашел тройку (333, 340, -913). В отличие от предыдущих примеров 
(когда один из корней одного из шести трехчленов является целым), для этой 
тройки ни один рациональных корней ни одного из шести трехчленов 
не целочисленен.


** Награды **

За правильное решение задачи 88 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук 
получают по 5 призовых баллов. 


** Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
----