ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ

для студентов 2 курса специальности "Математика" с дополнительной специальностью "Информатика"
  1. Определение аффинного n-мерного пространства. Аксиома Вейля. Следствия из аксиом аффинного n-мерного пространства.
  2. Аффинный репер пространства А^{n}. Координаты точек. Формулы преобразования систем координат.
  3. Определение k-плоскостей в А^{n}. Теорема о начальной точке k-плоскости. k-плоскость, как аффинное пространство.
  4. Параметрическое и общее уравнения k-плоскостей в А^{n}. Правила нахождения точек и базиса направляющего подпространства k-плоскостей.
  5. Взаимное расположение двух плоскостей в А^{n}. Признак пересечения плоскостей. Теорема об общих точках плоскостей. Признак совпадения плоскостей.
  6. Аффинная оболочка двух плоскостей. Теорема о существования и единственности аффинной оболочки. Теорема размерности композита.
  7. Теорема о существования и единственности (k+1)- мерной плоскости. Точки общего положения, их свойства.
  8. Определение евклидова точечно-векторного пространства E^{n}. Определение ортонормированного репера. Теорема Пифагора в E^{n}.
  9. Уравнение плоскости, ортогональной подпространству.
  10. Ортогональные плоскости, их пересечение. Теорема о проекции точки на k-плоскость.
  11. Нахождение расстояния от точки до k-плоскости. Расстояние от точки до гиперплоскости в A^{n}.
  12. Квадрики в A^{n}. Определение. Теорема о независимости понятия квадрики. Ранг и центр квадрики.
  13. Цилиндрические квадрики. Определение. Признак цилиндрической квадрики.
  14. Элемент нумерованного списка. Конические квадрики. Определение и признак. Примеры конических квадрик.
  15. Приведение уравнений квадрик в A^{n} к нормальному виду.
  16. Классификация нецилиндрических квадрик.
  17. Квадрики в E^{n}. Классификация квадрик в E^{3}.
  18. Аффинные преобразования A^2 . Теорема о существования и единственности аффинного преобразования.
  19. Формулы аффинных преобразований. Свойства.
  20. Определение n-мерного проективного пространства. Свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей трехмерного проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости.
  21. Проективная система координат на проективной плоскости и проективной прямой. Проективные координаты точки на плоскости. Формулы преобразования проективной системы координат.
  22. Прямая и обратная теорема Дезарга. Конфигурация Дезарга и ее свойства. Приложение к решению задач.
  23. Сложное отношение четырех точек проективной прямой и его свойства. Геометрических смысл сложного отношения четырех точек расширенной прямой. Приложение к решению задач.
  24. Проективные преобразования плоскости. Определение. Основная теорема. Свойства проективных преобразований и формулы проективных преобразований.
  25. Полный четырехвершинник. Определение. Свойства. Приложение к решению задач.
  26. Проективные отображения прямых и пучков прямых. Задачи на построение образов при проективных отображениях прямых и пучков.
  27. Сопряженность точек проективной плоскости относительно кривой второго порядка. Геометрический смысл сопряженности точек. Полюс и поляра невырожденной кривой второго порядка.
  28. Прямая и обратная теорема Штейнера. Следствия из теорем. Приложение к решению задач.
  29. Прямая и обратная теорема Паскаля. Частные случаи теоремы Паскаля. Теорема Брианшона. Приложение к решению задач.