Конкурсная задача ММ18 (3 балла)

Найти все простые p, такие что числа 2p³+6p²+2p+3, 4p³+10p²+2p+9, 5p³+10p²+2p+12, 5p³+8p²+7p+5 просты.

Решение

Введем обозначения:
a = 2p³+6p²+2p+3;
b = 4p³+10p²+2p+9;
c = 5p³+10p²+2p+12;
d = 5p³+8p²+7p+5.

Разложим данные в условии выражения a, b, c, d как многочлены от p по модулю 13:
a ≡ 2(p-1)(p-3)(p-6) (mod 13);
b ≡ 4(p-7)(p-11)(p-12) (mod 13);
c ≡ 5(p-5)(p-9)(p-10) (mod 13);
d ≡ 5(p-2)(p-4)(p-8) (mod 13).

Ясно, что при любом простом p не кратном 13 одно из чисел a, b, c, d будет кратно 13 (и все они будут большие 13). Поэтому остается рассмотреть единственную возможность p = 13. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при этом значении p числа a = 5437, b = 10513, c = 12713 и d = 12433 - простые.

Ответ p = 13.

Награды

За правильное решение этой задачи Борис Бух получает три призовых балла.

---