Содержание

ММ21

Конкурсная задача ММ21 (10 баллов)

Доказать, что уравнение {x_1}^2 + {x_2}^3 + ... + {x_{n-2}}^{n-1} = {x_{n-1}}^{n} (1) имеет бесконечно много решений в натуральных числах:
a) при любом нечетном простом n (4 балла);
б) при n=9 (6 баллов).

Решение

Как выяснилось, благодаря марафонцам, решившим эту задачу, подразделение ее на пункты а) и б) оказалось весьма искусственным.
При n=5 имеем решение: 2^2+3^3+1^4=2^5
Это решение можно продолжить для любого n, большего 4: 2^2+3^3+1^4+2^5=2^6;
2^2+3^3+1^4+2^5+2^6=2^7;
И т.д.
Для случая n=3, наличие решений очевидно. Не сложно найти решение и для n=4: 28^2+8^3=6^4. Но из наличия хотя бы одного решения сразу вытекает наличие бесконечного числа решений. Действительно, если (a_1, a_2,..., a_n) - решение, а s - НОК чисел 2, 3,.., n,
то при любом k ({a_{1}k}^{{s}/{2}}, {a_{2}k}^{{s}/{3}},..., {a_{n}k}^({s}/{n}}) - тоже решение.
Таким образом, (1) имеет бесконечно много решений при любом n, большем 2.

Обсуждение

Объясню, откуда взялись пункты а) и б) в условии.

Составляя эту задачу, я отталкивался от такого рассуждения:

Пусть n простое число большее 3. Обозначим a = n-2, k = НОК(2, 3,.., n-1), kn = m.
В силу простоты n, n и k взаино просты. Поэтому среди чисел k+1, 2k+1,…, (n-1)k+1 найдется кратное n. Обозначим его s+1.

Тогда s = 2s_1 = 3s_2 =... (n-2)s_{n-2} и a^{{s_1}^2} + a^{{s_2}^3} + ... + a^{{s_{n-1}}^{n-1}} = a^{{s_{n-1}}^n}

При составном n такое рассуждение уже не проходит. При n=9 можно сконструировать решение (1), оперируя степенями тройки и пользясь соотношением ((3^k+3^k+3^k)+ 3^{k+1}+3^{k+1}+3^{k+2}+3^{k+2}=3^{k+3}.

Похожую конструкцию можно соорудить и отталкиваясь от степеней двойки.
Получится совсем уж похоже на то, что предложено перечисленными ниже участниками марафона и приведено в разделе 'решение'. Несмотря на это сходство, решения, проходящего для любого n, больше 4, я не заметил.

Несколько видоизмененный вариант этой задачи неожиданно для меня был опубликован в журнале «Квант» №1-2006 в разделе КМШ.

Награды

За правильное (более универсальное, чем авторское) решение этой задачи Владимир Трушков, Макс Алексеев и Борис Бух получают по 12 призовых баллов.