Конкурсная задача ММ271 (3 балла)
Помогите Васе
Вася хочет найти натуральное число n, обладающее следующими свойствами:
1) наивысший показатель степени в каноническом разложении n равен 1;
2) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+1 равен 2;
3) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+2 равен 3;
4) наивысший показатель степени в каноническом разложении n+3 равен 4.
Существуют ли такие числа?
Решение
Привожу решения Дениса Овчинникова и Василия Дзюбенко.
Обсуждение
Локальные причины, о которых я не хочу распространятся, и глобальные обстоятельства, о которых итак все знают, привели к ожидаемому оттоку конкурсантов. Впрочем, массового характера эта «усушка» не носит.
Первая задача XXVIII конкурса запланированно не вызвала затруднений. Но это не значит, что не было неожиданностей. Главная из них - далеко не все конкурсанты (всего двое) нашли наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию. В то время как задачка была придумана именно ради него. Зная, что старт конкурса будет приурочен к новогодним праздникам, я стремился придумать задачу, где число 2022 не просто будет фигурировать в условии, а будет играть особую роль. Разумеется, чисел с требуемыми свойствами бесконечно много, но 2022 не просто одно из них, а наименьшее такое число.
Последовательность «Васиных» чисел есть в OEIS (A176913).
Изменения в правилах, при которых обобщения и аналоги задачи, как правило, не поощряются дополнительными баллами, позволили мне лишь по диагонали посмотреть присланное Василием Дзюбенко доказательство бесконечности множества искомых чисел. Желающие могут изучить его более внимательно. Если к условиям ММ271 добавить требование «наивысший показатель степени в каноническом разложении n+4 равен 5» , то наименьшим подходящим числом будет 5095949. КТО позволяет легко найти числа, для которых, наряду с вышеперечисленными, выполнено условие «наивысший показатель степени в каноническом разложении n+5 равен 6». Одним из таких чисел (не обязательно наименьшим) будет 3247538747. 4044491827309371 открывает аналогичную цепочку уже из 7 чисел. Вслед за Владом Франком и Мерабом Левиашвили, я уверен, что существуют подобные цепочки последовательных натуральных чисел любой наперед заданной длины.
Эстетическая оценка ММ271 невысока. Вполне соглашаясь с тем, что задача вполне рутинна, я все же рассчитывал на дополнительные баллы, за наименьшее подходящее число. Но одни конкурсанты его не заметили, а другие не оценили.
Награды
За решение задачи ММ271 Владимир Дорофеев, Владислав Франк, Василий Дзюбенко, Виктор Филимоненков, Денис Овчинников, Константин Швмсутдинов и Мераб Левиашвили получают по 3 призовых балла:
Эстетическая оценка задачи - 3.3 балла