Конкурсная задача ММ273 (7 баллов)

Центр на стороне

В каком диапазоне может изменяться каждый из углов треугольника (α≤β≤γ), у которого центр окружности 9 точек принадлежит, по крайней мере, одной из сторон?

Решение

Привожу решения Василия Дзюбенко, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

ММ273 наконец-то привела к разнообразию оценок. Но гораздо ценнее разнообразие подходов. Все присланные решения существенно различаются. Причем ответом отличается только одно Остальные отличия связаны с различием: свойств окружности 9 точек, использованных в решениях; методов (координаты, тригонометрия, дополнительные построения); полнотой и строгостью обоснований.

В текущем конкурсе Марафон впервые проходят по правилам, при которых обобщения и аналоги поощряются дополнительными баллами только в порядке исключения. Однако пункт о поощрении участников за красоту и изящество решений никто не отменял. Чем я и воспользовался.

Мне больше других понравились решения Мераба Левиашвили и Василия Дзюбенко. Однако дополнительный балл Василия нивелирован баллом, вычтенным за один нюанс (Василий сам называет этот момент в своем решении словом «нюанс»): те условия, которые вывел Василий в первой части решения, действительно являются не только необходимыми, но и достаточными для принадлежности центра окружности 9 точек одной из сторон; но те условия, которые сформулированы в итоге, конечно же, достаточными не являются.

Выношу эти решения на суд участников и болельщиков. Было бы интересно услышать ваши мнения.

Награды

За решение задачи ММ273 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Василий Дзюбенко - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Денис Овчинников - 7;
Константин Шамсутдинов - 6;
Владимир Дорофеев - 5;
Владислав Франк - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла