Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: в Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.

Конкурсная задача №65 (Л-3) (5 баллов)

Математик С предложил математикам А и В такую загадку:
- Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу А это произведение, а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.

Узнав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:

А: Я не знаю этих чисел.
В: Если бы «мое» число было произведением, я бы знал загаданные числа.
А: Но я, все равно, не знаю этих чисел.
В: Да и я не знаю.
А: А я уже знаю их.
В: Да и я знаю.

Что это за числа?

Решение

Выпишем все числа, не превосходящие 50, допускающие более одного представления в виде произведения трех попарно различных натуральных чисел. В квадратных скобках после каждого числа перечислим возможные суммы и отметим знаком »+» те из них, для которых проходит первая реплика В.

12 [9, 8+]

18 [12, 10+]

20 [13, 10+]

24 [15+, 12, 11, 9]

28 [17, 12]

30 [18, 14+, 12, 10+]

32 [19, 13]

36 [21+, 16+, 14+, 11]

40 [23, 15+, 14+, 11]

42 [24, 18, 14+, 12]

44 [25, 15+]

45 [19, 15+]

48 [27+, 20, 17, 15+, 13, 12]

50 [28, 16+]

Вторая реплика А возможна лишь для тех произведений, для которых не менее двух сумм помечено плюсом (если плюсом помечена всего одна сумма, то А уже знал бы загаданные числа, а если сумм, помеченных плюсом нет вовсе, то такое число не могло быть загаданным произведением).
Перепишем оставшиеся варианты.

30 [14, 10]

36 [21, 16, 14]

40 [15, 14]

48 [27, 15]

На основании второй реплики В удалим те суммы, которые уникальны в оставшихся вариантах.
Оставшиеся варианты:

30 [14]

36 [14]

40 [14, 15]

48 [15]

Если бы произведение загаданных чисел равнялось 40, А не смог бы определить загаданные числа после второй реплики В. Раз А смог определить их, значит остались варианты:

30 [14]

36 [14]

48 [15]

Если бы B знал число 14, то он не смог бы определить загаданные числа и после третьей реплики А. Но он определил их. Значит, произведение загаданных чисел равно 48, а сумма - 15. Ну а сами числа - 1, 6 и 8.

Ответ: 1, 6, 8.

Обсуждение

Андрей Богданов просчитал, как изменится задача, если число 50 в ограничении «произведение не превосходит 50» заменить на другое, не превосходящее 200. Картина получилась следующая:
меньше 48 - решений нет;
От 48 до 53 - решение 1,6,8;
54-59 - решений два 1,6,8 и 1,3,10;
60-65 - решение 1,3,10;
66-69 - решений два 1,3,10 и 2,3,11;
70-83 - решение 2,3,11;
84-101 - решений нет;
102-104 - решение снова 1,3,10;
105-155 - решений два 1,3,10 и 2,3,10;
156-200 - и опять решение 1,3,10.

Награды

За правильное решение задачи № 65 Сергей Аракчеев, Андрей Богданов, Константин Кноп, Евгений Машеров, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов, Мария Рыкалина, Влад Франк, Виктор Филимоненков, Олег Чечулин получают по 5 призовых баллов.
За правильные решения с различными недочетами Стас Грицюк, Валентина Загороднюк и Алексей Кутузов получают по 4 балла, а Иван Держанский 3 балла. Владимир Романов получает один призовой балл.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла

---