Kонкурсная задача ММ157 (6 баллов)
В треугольнике ABC, отличном от прямоугольного, проведены высоты AE и CF, пересекающиеся в точке H. Через точки A и H проведены перпендикуляры к EF, пересекающие прямую BC в точках K и L. Найти KL, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABC равен r, а BC = a.
Решение
Приведу решение Алексея Волошина:
Имеют место следующие равенства:
KL/KE = AH/AE (1)
KE/AE}=CF/AF (2)
AH/AF}=AB/AE (3)
CF·AB=AE·BC (4)
Первое тождество следует из параллельности прямых AK и HL.
Третьё - из подобия прямоугольных треугольников AFH и AEB по трем углам.
В четвёртом тождестве слева и справа записана удвоенная площадь треугольника ABC.
Для доказательства второго тождества нужно заметить, что точки E и F лежат на окружности с диаметром AC. Далее простым перебором вариантов доказываем, что ∠ACF = ∠AKE:
Если треугольник ABC остроугольный, то ∠ACF = ∠AEF = π/2 - ∠FEK = ∠AKE. Если же один из углов тупой, то ∠ACF = π/2 - ∠CAF = π/2 - ∠CEF = ∠AKE (все три варианта нужно рассматривать отдельно, но цепочка равенств будет одинаковой).
Следовательно, треугольники KEA и CFA подобны по трем углам, а значит второе равенство верно.
После этого ответ находится совсем просто: KE=KL·AH/AE = AH·KE/AE = AH·CF/AF = CF·AH/AF = CF·AB/AE = AE·BC/AE = BC = a.
Обсуждение
Автору задачи (т.е. мне) и большинству участников задача приглянулась тем, что искомая величина однозначно определена всего одним параметром, хотя, на первый взгляд, это совершенно не очевидно.
Большинство конкурсантов привели решения, либо схожие с приведенным, либо средствами аналитической геометрии. На этом фоне выделяется решение, присланное сразу после опубликования задачи. Его автор - nnosipov
Некоторые марафонцы задались вопросом (у наиболее проницательных вопросов не возникло): зачем в условии дан радиус вписанной окружности, от которого ответ никак не зависит (разве что r будет слишком велико по сравнению с a). Отвечаю: для запутывания «вероятного противника». Впрочем, вынужден признать, что затея провалилась.
Что будет, если исходный треугольник прямоугольный? Если угол C прямой, то решение останется в силе. только станет значительно проще (KL совпадет с BC). Если угол B прямой, то точки E, F, H и B совпадают и отрезок KL не определен. Если же прямым будет угол A, точки A и H совпадают, а препендикуляр к EF не пересекается с BC.
Награды
За правильное решение задачи ММ157 Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Сергей Половинкин, Алексей Волошин, nnosipov, Дмитрий Пашуткин, Николай Дерюгин и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов.
Эстетическая оценка - 4.9 балла
Разбор задачи ММ157 подготовил Владимир Лецко