Конкурсная задача ММ26 (9 баллов)
Описать все натуральные n, для которых задача «Найти все натуральные k, кратные t, и имеющие ровно n натуральных делителей» (1) имеет единственное решение, если:
1) t = n;
2) t = 2n;
3) t = n2.
Решение
Приведу решение пункта 3, наиболее громоздкое из всех. Рассуждения для пунктов 1 и 2 проводятся аналагочно (но с меньшим количеством выкладок). Поэтому для этих случаев я ограничусь только ответами.
Ответ к пункту 1: 1, 4, p (где p - простое число).
Ответ к пункту 2: 8, 27, 2p, p2 (где p - простое число).
Ответ к пункту 3: 1, 8, 9, 16, 18, 24, 36, p (где p - нечетное простое) и 4p (где p - простое, большее 3).
Награды
За правильное решение задачи Влад Франк получает 9 призовых баллов.