Конкурсная задача ММ6 (5 баллов)
Какова вероятность того, что три случайных числа из интервала (0; 1) (распределение равномерное, выбор независим) являются сторонами тупоугольного треугольника?
Решение
Тройке случайных чисел (x,y,z) биективно соответствует точка в единичном кубе. Для того чтобы эти числа были сторонами тупоугольного треугольника с большей стороной x, нужно чтобы соответствующая точка лежала внутри тела, высекаемого из куба плоскостью x = y + z (большая сторона меньше суммы остальных) и конусом x2 = y2 + z2 (угол против стороны x - тупой). Объем этого тела равен π/12 - 1/6.
Поскольку тупые углы могут лежат и против двух других сторон, окончательный ответ - π/4 - 1/2.
Награды
За правильное решение этой задачи Борис Бух получает 5 призовых баллов и становится лидером марафона.