Решение этой задачи учитываtтся дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач.
Конкурсная задача №79 (А-5) (4 балла)
Сколько решений имеет нижеприведенная система уравнений?
[x] + {y} = [y]⋅{x}
x + y = n
Примечания:
[x] = floor(x) - целая часть (пол) x;
{x} = x - [x] - дробная часть x;
n - целочисленый параметр.
Решение
Прибавив к обеим частям первого уравнения по [y] + {x} и заменив x + y,
возникающее в левой части, на n, получим
n = [y]⋅{x} + [y] + {x} или
([y]+1)⋅({x}+1) = n+1.
1. Пусть n = -1.
Тогда при [y] = -1 {x} может быть любым числом из полусегмента [0; 1)
и решений бесконечно много.
2. Пусть n > -1.
Учитывая, что {x}+1 не меньше 1, но меньше 2, получаем (n-1)/2 < [y] ≤ n.
Легко видеть, что на этом полуинтервале находится ровно [(n+2)/2] целых чисел,
Каждое из которых соответствует одному решению системы.
3. n < - 1.
В этом случае имеем ([y]+1)⋅t = 1-|n|, где t, как и в предыдущем случае
принадлежит полусегменту [1; 2). Следовательно, -|n| ≤ [y] < (-|n|-1)/2.
Заметим, что на этом полусегменте лежат [|n|/2] целых чисел,
Каждое из которых соответствует одному решению системы.
Объединяя 2-й и 3-й случаи, окончательно получаем
Ответ:
При n = -1 бесконечно много решений,
при остальных n - [(|n+1|+1)/2] решений.
Обсуждение
Эта задача оказалась неожиданно трудной из-за нюансов, возникающих при n < 0.
Так, многие участники прозевали бесконечное множество в случае, когда n = -1.
Поскольку этот случай был запланирован в качестве изюминки задачи, его потеря
стоила марафонцам потери двух баллов.
Другая ошибка - неточная формула количества решений при n < -2.
За этот промах я снимал один балл.
На мой призыв исправить ошибки (я поленился писать персональные письма, а
публично сообщил лишь статистические сведения о числе ошибок) марафонцы
отреагировали вяло, видимо посчитав, они-то уж точно попали в число двоих,
приславших безошибочные решения.
Учитывая выявленную экспериментальным путем недооценку сложности задачи, я принял решение ставить оценку, исходя из шести, а не из четырех первоначально заявленных баллов. (Иначе могла получиться странная картина: при совершенно верном ходе решения участник мог получить всего один балл, недосчитавшись трех баллов за неточности в решении.)
Награды
За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов. За верные по сути, но не лишенные неточностей решения: Владислав Франк получает 5 призовых баллов, Константин Кноп, Галина Крюкова и Олег Полубасов - по 4 призвых балла, Ефим Подвойский - 3 призовых балла.
Эстетическая оценка задачи - 3.2 балла