|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеММ100Юбилейная задача представляет собой по сути целый букет задач, связанных общей тематикой и общими идеями. Часть подзадач - известные (но, с учетом их красоты, на мой взгляд, недостаточно известные) утверждения. Другие - новые (хотелось бы надеяться не только для меня). Конкурсная задача ММ100 (17 баллов) Пусть Sn множество всех перестановок множества Mn = {1,2,3…,n}
1. Найти и обосновать рекуррентное выражение количества перестановок g из
Sn таких, что для всех k из Mn g(k) может отличаться от k: 2. Рассмотрим произвольный элемент из Sn и произвольное a из Mn. Найти вероятность того, что a входит в цикл длины k.
3. Для произвольного элемента g из Sn найти:
4. Вспомним, что Sn является группой относительно композиции перестановок. ММ99
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Конкурсная задача ММ99 (З-5) (8 баллов) Продолжить последовательность 0,0,1,0,3,4,6,0,1,8,6,4,6,6,13,8… Подсказка: при продолжении данная последовательность через некоторое время поведет себя весьма регулярно, а затем и вовсе стабилизируется. ММ98Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывается только в основном Маpафоне. Конкурсная задача ММ98 (7 баллов)
Васю Пупкина заслали в тыл врага с целью выявить секретный код, ввод которого
предотвратит термоядерный взрыв.
1. Помогите Васе спасти человечество. ММ97
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Конкурсная задача ММ97 (З-4) (3 балла) Продолжить последовательность 10, 21, 55, 253, 1081,… ММ96Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывается только в основном Маpафоне. Конкурсная задача ММ96 (6 баллов)
Двое играют в такую игру: ММ95
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Конкурсная задача ММ95 (З-3) (5 баллов) Продолжить последовательность 1, 4, 11, 20, 31, 44, 61, 100… ММ94Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс, но весьма близка к задачам этого конкурса по духу и происхождению. Формулировка задачи (характерная особенность 10-го тура Марафона) не является эталоном математической строгости. Эту строгость легко обеспечить, но мне представляется, что в предлагаемом виде задача выглядит поинтереснее. Конкурсная задача ММ94 (4 балла)
Чем замечательна пара чисел 568 и 638? ММ93Результат пpедлагаемой задачи (не) учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности. Конкурсная задача ММ93 (З-2) (8 баллов) Продолжить последовательность 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 184, 196, 225, 256, 280, 289, 316, 324, 340, 361, 364… ММ92Конкурсная задача ММ92 (6 баллов) Доказать, что натуральное число n является ненулевой степенью простого числа тогда и только тогда, когда n кратно n-ф(n), где ф(n) - функция Эйлера. ММ91
Результат пpедлагаемой задачи учитываtтся дважды: Конкурсная задача ММ91 (З-1) (3 балла) Продолжить последовательность 2017, 16073, 20089, 26113. ММ90Конкурсная задача ММ90 (5 баллов)
Первокурсник Вася Пупкин (умеющий быстро считать и знакомый с основами
теории вероятности) сел в троллейбус и купил билет. Закрыв пальцем
шестизначный номер билета, он стал открывать по одной цифре и высчитывать
вероятность того, что его билет окажется счастливым (т.е. сумма первых
трех цифр будет равна сумме трех последних). ММ89Конкурсная задача ММ89 (5 баллов)
Для каждого натурального n определим функцию f(n) так.
f(n) = k, если:
1. Доказать, что f(n) ≥ 2n+1. ММ88Конкурсная задача ММ88 (5 баллов) Доказать, что существует бесконечно много троек попарно различных ненулевых целых чисел (a, b, c) таких, что корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c и еще пяти квадратных трехчленов, полученных всевозможными перестановками коэффициентов a, b, c рациональны. Верно ли, что среди корней каждого из таких трехчленов обязательно есть целый? ММ87Эта задача является прямым продолжением задачи №70 Конкурсная задача ММ87 (12 баллов) Раньше в круговых турнирах по футболу была принята система подсчета очков, при которой за победу команде начислялось 2 очка, за ничью - 1 очко, а за поражение - 0 очков. Сейчас за победу команда получает 3 очка.
Обобщим эту ситуацию: Итоговую турнирную таблицу назовем строгой (в терминах задач 48 и 70 такие таблицы назывались правильными, но термин «строгая», представляется мне более удачным), если никакие две команды не набрали в итоге поровну очков. Турнир будем называть перевертышем, если порядок расположения команд в итоговой таблице при подсчете по старой системе будет обратен порядку их расположения при подсчете очков по новой системе и при этом обе таблицы будут строгими. Для заданных с1 и c2 определить наименьшее возможное число кругов в турнире-перевертыше.
Примечания: ММ86Конкурсная задача ММ86 (6 баллов) При каком соотношении между числами a, b, c, d прямоугольник со сторонами c, d можно накрыть прямоугольником со сторонами a, b.
Примечание: ММ85Эта задача является прямым продолжением задачи 83 Конкурсная задача ММ85 (8 баллов) Плоскость разлинована в клеточку (одна клека - квадрат со стороной 1). Доказать, что для любого натурального n найдется окружность, проходящая ровно через n узлов решетки. ММ84
Задача 84 являлась мини-конкурсом. Конкурсная задача ММ84 (9 баллов)
Имеется двадцать мешков, наполненных одинаковыми с виду монетами.
В первом мешке каждая монета имеет вес 20 грамм, во втором - 21,
в третьем 22, … в двадцатом - 39. Мешки перепутаны и расставлены
в случайном порядке. Примечания: 1. Мешки содержат, а весы вмещают (не теряя точности) столько монет, сколько потребуется для решения задачи. 2. 20 мешков взяты для того, чтобы исключить решение задачи компьютерным перебором. Впрочем, если кто-либо из участников сможет преодолеть эту трудность (и убедить ведущего в корректности компьютерного решения), оно будет принято ;) 3. 9 баллов будут присуждаться тем участникам, в решениях которых будет использовано столько же монет, сколько в решении ведущего (разумеется, достаточность указаного количества монет должна быть строго обоснована). За решения более (менее) оптимальные, чем решение ведущего, будет начисляться больше (меньше) девяти баллов. 4. Известное мне решение заведомо не оптимально. ММ83Эта задача навеяна рядом известных задач Гуго Штейнгауза. Конкурсная задача ММ83 (8 баллов)
Плоскость разлинована в клеточку (одна клека - квадрат со стороной 1).
Найти минимальный радиус окружности, проходящей через:
1) ровно 3 узла решетки;
Примечание: ММ82Конкурсная задача ММ82 (3 балла) Сколько решеный в натуральных числах имеет уравнение 1/x - 1/y = 1/2008 ? ММ81Эта задача является одновременно Новогодним конкурсом, наподобие одного из тех, что проводил в свое время журнал «Наука и жизнь». Конкурсная задача ММ81 (10 баллов)
Представить число 2008, используя знаки математических операций
(+, -, *, :, ^), круглые скобки, десятичную точку, знак квадратного корня,
факториал, а также по возможности наименьшее количество цифр:
Примечания: ММ80Конкурсная задача ММ80 (7 баллов)
Для произвольного треугольника обозначим через S, S1, S2 и S3 площади
исходного треугольника и треугольников, составленных соответственно из
медиан, биссектрис и высот исходного треугольника (при условии, что эти
треугольники существуют).
Примечания:
1. Прогрессию с нулевой разностью не предлагать. ММ79
Решение этой задачи учитываtтся дважды: Конкурсная задача ММ79 (А-5) (4 балла) Сколько решений имеет нижеприведенная система уравнений?
[x] + {y} = [y]*{x}
Примечания: ММ78Конкурсная задача ММ78 (4 балла) Квадрат разрезали на n квадратов. Сумма периметров этих квадратов оказалась в 3 раза больше периметра исходного квадрата. Конечно ли множество таких n, при которых возможна описанная ситуация? ММ77
Решение этой задачи учитываетья дважды: Конкурсная задача ММ77 (А-4) (8 баллов)
Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных
делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если: ММ76Конкурсная задача ММ76 (8 баллов) На какое наибольшее число частей могут разбивать n-мерное пространство 2n гиперплоскостей, имеющих общую точку?
Примечание: ММ75
Эта задача в еще большей степени чем задача 45 навеяна известной
задачей Иосифа Флавия (Josephus problem). Конкурсная задача ММ75 (А-3) (8 баллов)
Для каждого натурального q, большего 1, опрелелим функцию натурального
аргумента Jq(n) следующим образом:
1. Для каждого q описать все n, для которых Jq(n) = n. ММ74Конкурсная задача ММ74 (6 баллов)
Вася и Петя поспорили. ММ73Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач. Конкурсная задача ММ73 (А-2) (6 баллов) A - множество из пяти натуральных чисел. Множество B состоит из сумм элементов всевозможных подмножеств множества A, при условии, что эти суммы простые числа. Каково наибольше возможное число элементов B? Для решения вышеизложенной задачи Вася написал программу. Эта программа обнуляет счетчик и (псевдо)случайным образом генерирует массив из пяти натуральных чисел. Затем перебираются (по одному разу) всевозможные суммы элементов этого массива (по одному, по два, по три, по четыре, по пять). Всякий раз, когда сумма является простым числом, счетчик увеличивается на единицу. Какое наибольшее значение счетчика может вернуть Васина программа? ММ72Эта задача была предложена Владиславом Франком (и Джоан Роулинг). Конкурсная задача ММ72 (5 баллов) Если Вы читали первую книгу про Гарри Поттера, то наверняка помните загадку Снейпа.
В ряд стоят 7 бутылочек. Гермиона смогла по этим данным и, видя бутылочки, определить, что зелье для прохода вперед находится в самой маленькой бутылочке, а зелье для прохода назад - в самой правой.
1. Что находится в пятой (слева) бутылочке? ММ71
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Конкурсная задача ММ71 (А-1) (4 балла) Назовем n-значное натуральное число «замечательным», если оно равно сумме n-х степеней своих цифр. Конечно ли множеcтво замечательных чисел?
Пpимечание: ММ70
Это задача не входит в тематический конкурс. Конкурсная задача ММ70 (12 баллов)
В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов.
В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е.
в терминах задачи 48 турнир оказался правильным).
1. Какое наименьшее число партий могло быть сыграно в таком турнире?
Примечания: ММ69
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Завершающая задачка мини-конкурса логических задач, так же как и задачка, открывающая конкурс, футбольная. Конкурсная задача ММ69 (Л-5) (8 баллов) Мистер Жонсонд увидел в газете итоговую таблицу однокругового футбольного турнира:
Мистер Жонсонд попытался восстановить по этим данным турнирную таблицу,
но ему не удалось сделать это в полном объеме. И тут он обнаружил, что
в заметке, сопровождавшей таблицу, приведен счет одного из матчей,
сыгранных «Честерманом».
Пpимечания: ММ68
Это задача не входит в тематический конкурс. Конкурсная задача ММ68 (5 баллов)
1. Доказать, что для любого натурального n найдется натуральное k такое, что
Примечания: ММ67Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача ММ67 (Л-4) (7 баллов) Четверо братьев (Джан, Джин, Джон и Джун ) поймали чужеземца, забредшего в их страну, где каждый обитатель был либо рыцарем, либо лжецом, и привели на суд к своему отцу. Их отец произнес такую речь: - В нашей стране мы терпимо относимся и к рыцарям, и к лжецам, но очень не любим дураков. Ты должен отгадать сколько мне лет, услышав по две подсказки от каждого из моих сыновей, тогда я отпущу тебя на все четыре стороны. Если же ты ошибешься, будешь рабом на моей плантации - глупцы не достойны лучшей участи. Но учти, среди моих сыновей могут оказаться как рыцари, так и лжецы. - А сам-то, кто будешь? - спросил путник - Можно ли тебе доверять? - Если я рыцарь, то я рыцарь, а уж если лжец, то лжец - ответил глава семейства - Слушай подсказки.
Джан: n составное. Помогите путнику выбраться на свободу. Пpимечания: Возраст отца - натуральное число, обозначенное для краткости через n. Напомню, что задачах такого типа лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. ММ66Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача ММ66 (8 баллов) Двое играют в такую игру: Каждый игрок очередным своим ходом берет из кучки, содержащей n камней, некоторое количество камней. За один ход можно взять количество камней, являющееся целой неотрицательной степенью одного из двух фиксированных натуральных чисел (a и b). Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. 1. Существуют ли такие a и b, при которых шансы на выигрыш у второго игрока выше, чем у первого? 2. Оценить шансы игроков для случаев, когда a и b - простые числа. 3. Перед началом игры игроки делают ставки. Обе ставки забирает победитель. Ставка первого игрока в пять раз больше. Зато первый игрок имеет право (до того как узнает число n) выбрать числа a и b. Кому из игроков выгодны такие условия? Примечания: 1. Число «камней» n для каждой игры выбирается случайно из диапазона [1.. 1000000] (распределение равномерное). 2. Соперники играют наилучшим образом. ММ65Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: в Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача ММ65 (Л-3) (5 баллов)
Математик С предложил математикам А и В такую загадку: Узвав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
А: Я не знаю этих чисел. Что это за числа? ММ64
Это задача не входит в тематический конкурс. Конкурсная задача ММ64 (6 баллов)
Доказать, что уравнение
2x2 + 4y4 + 7z7 = t13 (*) имеет:
Примечание: ММ63Результат этой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача ММ63 (Л-2) (4 балла)
В стране, каждый житель которой либо рыцарь, либо лжец, за круглым столом
собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба
его соседа - лжецы.
Пpимечание: ММ62Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача ММ62 (6 баллов)
Тетраэдр, имеющий площадь поверхности S, сумму длин ребер L, сумму
двугранных углов U и сумму трехгранных углов W, рассекли плоскостью на
два тетраэдра. Примечания: Под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида. Каждый пункт представляет собой самостоятельную задачу. То есть выражать, например, возможные значения U1 + U2 надо только через U, без учета других характеристик исходного тетраэдра. Трехгранные углы тетраэдра измеряются в стерадианах. (Полный телесный угол равен 4*Pi стерадиан). ММ61Конкурсная задача ММ61 (Л-1) (4 балла)
Футбольные команды Честерман, Елсич, Пулливер, Сеналар и Тонбол провели однокруговой турнир.
Требуется воостановить турнирную таблицу (указать счет каждого матча)
Примечания:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|