Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Это старая версия документа.


ММ100

Юбилейная задача представляет собой по сути целый букет задач, связанных общей тематикой и общими идеями. Часть подзадач - известные (но, с учетом их красоты, на мой взгляд, недостаточно известные) утверждения. Другие - новые (хотелось бы надеяться не только для меня).

Конкурсная задача ММ100 (17 баллов)

Пусть Sn множество всех перестановок множества Mn = {1,2,3…,n}

1. Найти и обосновать рекуррентное выражение количества перестановок g из Sn таких, что для всех k из Mn g(k) может отличаться от k:
a) не более, чем на 1;
b) не более, чем на 2.

2. Рассмотрим произвольный элемент из Sn и произвольное a из Mn. Найти вероятность того, что a входит в цикл длины k.

3. Для произвольного элемента g из Sn найти:
a) математическое ожидание количества циклов длины k;
b) математическое ожидание количества циклов;
c) моду циклового вида (учитываются количество и длина циклов);
d) полагая k > n/5, найти вероятность того, что в g будет хотя бы один цикл длины k.

4. Вспомним, что Sn является группой относительно композиции перестановок.
Обозначим s(n,k) = | {gk | g ∈ Sn} |, q(n,k) = s(n,k)/n!:
a) найти 20 наименьших значений s(n,k);
b) возможно ли равенство q(n,k) = 1/2 для нечетных k.

Решение задачи 100


ММ99

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

Конкурсная задача ММ99 (З-5) (8 баллов)

Продолжить последовательность 0,0,1,0,3,4,6,0,1,8,6,4,6,6,13,8…

Подсказка: при продолжении данная последовательность через некоторое время поведет себя весьма регулярно, а затем и вовсе стабилизируется.

Решение задачи 99


ММ98

Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывается только в основном Маpафоне.

Конкурсная задача ММ98 (7 баллов)

Васю Пупкина заслали в тыл врага с целью выявить секретный код, ввод которого предотвратит термоядерный взрыв.
Вася незамеченным проник в святая святых и сфотографировал секретный код на мобильник. Но, пробираясь к своим, Вася потерял мобильник и теперь пытается вспомнить код.
- Помню только, что код состоял из трех чисел, расположенных строго в порядке возрастания - удрученно докладывает Вася руководству.
- А какие числа: двузначные, трехзначные,..?
- Не помню…
- Вася, но ведь ты по образованию математик! Вспомни, может быть, среди чисел были какие-нибудь особенные: квадраты, кубы,..
- Нет, таких не было, но я припоминаю, что сложив сумму квадратов цифр одного из этих чисел с суммой кубов цифр другого я получил сумму этих двух чисел.
- Это уже кое-что! Но код можно вводить только один раз. В случае неверного кода взрыв неминуем. Вспоминай дальше.
- Вспомнил! Эти числа могли служить количествами вершин, граней и, соответственно, ребер некоторого выпуклого многогранника. Я даже мысленно представил себе подходящий многогранник.
- Хорошо. Дальше.
- Так… Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных квадратов. Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми…
А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера…
Все! Больше ничего не помню.

1. Помогите Васе спасти человечество.
2. Какие из пришедших на память Васе соотношений избыточны?

Решение задачи 98


ММ97

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

Конкурсная задача ММ97 (З-4) (3 балла)

Продолжить последовательность 10, 21, 55, 253, 1081,…

Решение задачи 97


ММ96

Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывается только в основном Маpафоне.

Конкурсная задача ММ96 (6 баллов)

Двое играют в такую игру:
С помощью идеального генератора случайных чисел выбирают натуральное число из интервала 1..10100. Если выпавшее число свободно от квадратов, первый игрок платит второму 200 рублей, в противном случае второй игрок платит первому 300 рублей. И т.д.
Кому выгодна такая игра?

Решение задачи 96


ММ95

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

Конкурсная задача ММ95 (З-3) (5 баллов)

Продолжить последовательность 1, 4, 11, 20, 31, 44, 61, 100…

Решение задачи 95


ММ94

Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс, но весьма близка к задачам этого конкурса по духу и происхождению. Формулировка задачи (характерная особенность 10-го тура Марафона) не является эталоном математической строгости. Эту строгость легко обеспечить, но мне представляется, что в предлагаемом виде задача выглядит поинтереснее.

Конкурсная задача ММ94 (4 балла)

Чем замечательна пара чисел 568 и 638?
Докажите, что аналогичных пар бесконечно много (т.е. указаннная пара, вовсе и не замечательна) :-)

Решение задачи 94


ММ93

Результат пpедлагаемой задачи (не) учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

Конкурсная задача ММ93 (З-2) (8 баллов)

Продолжить последовательность 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 184, 196, 225, 256, 280, 289, 316, 324, 340, 361, 364…

Решение задачи 93


ММ92

Конкурсная задача ММ92 (6 баллов)

Доказать, что натуральное число n является ненулевой степенью простого числа тогда и только тогда, когда n кратно n-ф(n), где ф(n) - функция Эйлера.

Решение задачи 92


ММ91

Результат пpедлагаемой задачи учитываtтся дважды:
В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

Конкурсная задача ММ91 (З-1) (3 балла)

Продолжить последовательность 2017, 16073, 20089, 26113.

Решение задачи 91


ММ90

Конкурсная задача ММ90 (5 баллов)

Первокурсник Вася Пупкин (умеющий быстро считать и знакомый с основами теории вероятности) сел в троллейбус и купил билет. Закрыв пальцем шестизначный номер билета, он стал открывать по одной цифре и высчитывать вероятность того, что его билет окажется счастливым (т.е. сумма первых трех цифр будет равна сумме трех последних).
С первой цифрой Васе не повезло.
Вторая цифра усугубила ситуацию, вероятность того, что билет окажется счастливым, составила всего 0.0282. Впрочем, могло быть и хуже.
Зато после открывания третьей цифры вероятность «счастья» возросла до 0.055.
С четвертой цифрой Васе вновь не повезло: хуже и придумать было нельзя.
Тем не менее билет все же оказался счастливым. Более того, сумма всех цифр номера совпала с возрастом Васиного папы.
Найти номер билета.

Решение задачи 90


ММ89

Конкурсная задача ММ89 (5 баллов)

Для каждого натурального n определим функцию f(n) так. f(n) = k, если:
1) на плоскости можно расположить k попарно различных точек так, чтобы множество всевозможных попарных расстояний между этими точками содержало ровно n элементов;
2) для любого бОльшего числа точек подобное расположение невозможно.

1. Доказать, что f(n) ≥ 2n+1.
2. Может ли f(n) быть строго больше 2n+1?

Решение задачи 89


ММ88

Конкурсная задача ММ88 (5 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много троек попарно различных ненулевых целых чисел (a, b, c) таких, что корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c и еще пяти квадратных трехчленов, полученных всевозможными перестановками коэффициентов a, b, c рациональны. Верно ли, что среди корней каждого из таких трехчленов обязательно есть целый?

Решение задачи 88


ММ87

Эта задача является прямым продолжением задачи №70

Конкурсная задача ММ87 (12 баллов)

Раньше в круговых турнирах по футболу была принята система подсчета очков, при которой за победу команде начислялось 2 очка, за ничью - 1 очко, а за поражение - 0 очков. Сейчас за победу команда получает 3 очка.

Обобщим эту ситуацию:
Пусть при одной системе подсчета очков команда получает 0 очков за поражение, 1 очко - за ничью и c1 очков - за победу (c1 > 1). Такую систему назовем старой. Систему, в которой за поражение команде начисляют 0 очков, за ничью - 1 очко, а за победу - c2 очков (с2 > c1) назовем новой.

Итоговую турнирную таблицу назовем строгой (в терминах задач 48 и 70 такие таблицы назывались правильными, но термин «строгая», представляется мне более удачным), если никакие две команды не набрали в итоге поровну очков.

Турнир будем называть перевертышем, если порядок расположения команд в итоговой таблице при подсчете по старой системе будет обратен порядку их расположения при подсчете очков по новой системе и при этом обе таблицы будут строгими.

Для заданных с1 и c2 определить наименьшее возможное число кругов в турнире-перевертыше.

Примечания:
1. Числа с1 и с2 могут быть любыми действительными с единственным ограничением c2 > c1 > 1.
2. Легко видеть, что любая система подсчета очков, при которой за победу дается больше очков, чем за ничью, а за ничью - больше, чем за поражение, сводится к «нормализованной» системе подсчета очков, при которой за поражение начисляется 0, за ничью - 1, а за победу - c очков при некотором c > 1.

Решение задачи 87


ММ86

Конкурсная задача ММ86 (6 баллов)

При каком соотношении между числами a, b, c, d прямоугольник со сторонами c, d можно накрыть прямоугольником со сторонами a, b.

Примечание:
Для придания однотипности ответам договоримся считать, что a ≥ b и c ≥ d.

Решение задачи 86


ММ85

Эта задача является прямым продолжением задачи 83

Конкурсная задача ММ85 (8 баллов)

Плоскость разлинована в клеточку (одна клека - квадрат со стороной 1). Доказать, что для любого натурального n найдется окружность, проходящая ровно через n узлов решетки.

Решение задачи 85


ММ84

Задача 84 являлась мини-конкурсом.
Дабы не ввести участников Марафона в заблуждение, сразу уточню, что префикс «мини» не означает легкости этой задачи. Просто конкурс состоял всего из одной задачи.

Конкурсная задача ММ84 (9 баллов)

Имеется двадцать мешков, наполненных одинаковыми с виду монетами. В первом мешке каждая монета имеет вес 20 грамм, во втором - 21, в третьем 22, … в двадцатом - 39. Мешки перепутаны и расставлены в случайном порядке.
С помощью одного взвешивания на стрелочных весах (показывающих точный вес в граммах) выяснить веса монет в каждом из мешков. При этом во взвешивании желательно использовать по возможности меньше монет.

Примечания:

1. Мешки содержат, а весы вмещают (не теряя точности) столько монет, сколько потребуется для решения задачи.

2. 20 мешков взяты для того, чтобы исключить решение задачи компьютерным перебором. Впрочем, если кто-либо из участников сможет преодолеть эту трудность (и убедить ведущего в корректности компьютерного решения), оно будет принято ;)

3. 9 баллов будут присуждаться тем участникам, в решениях которых будет использовано столько же монет, сколько в решении ведущего (разумеется, достаточность указаного количества монет должна быть строго обоснована). За решения более (менее) оптимальные, чем решение ведущего, будет начисляться больше (меньше) девяти баллов.

4. Известное мне решение заведомо не оптимально.

Решение задачи 84


ММ83

Эта задача навеяна рядом известных задач Гуго Штейнгауза.

Конкурсная задача ММ83 (8 баллов)

Плоскость разлинована в клеточку (одна клека - квадрат со стороной 1). Найти минимальный радиус окружности, проходящей через: 1) ровно 3 узла решетки;
2) ровно 6 узлов решетки;
3) ровно 12 узлов решетки;
4) ровно 16 узлов решетки;
5) по крайней мере 2008 узлов решетки.

Примечание:
Пункт 5 появился с «на злобу дня». На данный момент я не умею строго доказывать минимальность радиуса для этого пункта. Соответственно, строгое обоснование минимальности в этом пункте будет оцениваться дополнительными призовыми баллами, сверх тех восьми, что заявлены в цене задачи.

Решение задачи 83


ММ82

Конкурсная задача ММ82 (3 балла)

Сколько решеный в натуральных числах имеет уравнение 1/x - 1/y = 1/2008 ?

Решение задачи 82


ММ81

Эта задача является одновременно Новогодним конкурсом, наподобие одного из тех, что проводил в свое время журнал «Наука и жизнь».

Конкурсная задача ММ81 (10 баллов)

Представить число 2008, используя знаки математических операций (+, -, *, :, ^), круглые скобки, десятичную точку, знак квадратного корня, факториал, а также по возможности наименьшее количество цифр:
1) 0;
2) 1;
3) 2;
4) 3;
5) 4;
6) 5;
7) 6;
8) 7;
9) 8;
10) 9;
Итого 10 представлений.

Примечания:
1. Участник конкурса получает один призовой балл, если его представление числа 2008 данными цифрами является рекордным, то есть никто из конкурентов не смог найти представления, мспользующего меньшее количество данных цифр (прочие разрешенные символы не учитываются).
2. Можно приписывать цифры друг к другу, получая при этом многозначные числа. Приписываение выражений (или цифр к выражениям) запрещено. Например, 22^2 - корректная запись числа 484, а запись 3!3 не является представлением числа 63.
3. Система счисления десятичная.
4. Отдельным пунктом подчеркну, что никакие символы, кроме явно оговоренных в условии, не допустимы. Так что, изящные фокусы типа «любое число тремя двойками» не проходят.

Решение задачи 81


ММ80

Конкурсная задача ММ80 (7 баллов)

Для произвольного треугольника обозначим через S, S1, S2 и S3 площади исходного треугольника и треугольников, составленных соответственно из медиан, биссектрис и высот исходного треугольника (при условии, что эти треугольники существуют).
Могут ли числа S, S1, S2 и S3 образовывать арифметическую прогрессию.

Примечания: 1. Прогрессию с нулевой разностью не предлагать.
2. Решая эту задачу, я прибегал к помощи математических пакетов.

Решение задачи 80


ММ79

Решение этой задачи учитываtтся дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач.

Конкурсная задача ММ79 (А-5) (4 балла)

Сколько решений имеет нижеприведенная система уравнений?

[x] + {y} = [y]*{x}
x + y = n

Примечания:
[x] = floor(x) - целая часть (пол) x;
{x} = x - [x] - дробная часть x;
n - целочисленый параметр.

Решение задачи 79


ММ78

Конкурсная задача ММ78 (4 балла)

Квадрат разрезали на n квадратов. Сумма периметров этих квадратов оказалась в 3 раза больше периметра исходного квадрата. Конечно ли множество таких n, при которых возможна описанная ситуация?

Решение задачи 78


ММ77

Решение этой задачи учитываетья дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач.

Конкурсная задача ММ77 (А-4) (8 баллов)

Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если:
1) k = 2;
2) k = 3;
3) k = 4;
4) k = 6;
5) k = 8?

Решение задачи 77


ММ76

Конкурсная задача ММ76 (8 баллов)

На какое наибольшее число частей могут разбивать n-мерное пространство 2n гиперплоскостей, имеющих общую точку?

Примечание:
Гиперплоскоскостью называется плоскость, размерность которой на единицу меньше размерности пространства.

Решение задачи 76


ММ75

Эта задача в еще большей степени чем задача 45 навеяна известной задачей Иосифа Флавия (Josephus problem).
Ее решение учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач.

Конкурсная задача ММ75 (А-3) (8 баллов)

Для каждого натурального q, большего 1, опрелелим функцию натурального аргумента Jq(n) следующим образом:
Расставим натуральные числа от 1 до n по кругу. Пропускаем 1 и вычеркиваем числа 2,… q. Пропускаем число q+1 и вычеркиваем следующие q-1 чисел. И так далее. До те пор, пока не останется всего одно число. Оно-то и будет значением Jq(n).

1. Для каждого q описать все n, для которых Jq(n) = n.
2. Найти явную формулу для J3(n).

Решение задачи 75


ММ74

Конкурсная задача ММ74 (6 баллов)

Вася и Петя поспорили.
Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого правильные многоугольники, а все 16 ребер имеют длину 1, больше единицы. Петя же утверждает, что объем такого многогранника меньше единицы. Кто из них прав?

Решение задачи 74


ММ73

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач.

Конкурсная задача ММ73 (А-2) (6 баллов)

A - множество из пяти натуральных чисел. Множество B состоит из сумм элементов всевозможных подмножеств множества A, при условии, что эти суммы простые числа. Каково наибольше возможное число элементов B?

Для решения вышеизложенной задачи Вася написал программу. Эта программа обнуляет счетчик и (псевдо)случайным образом генерирует массив из пяти натуральных чисел. Затем перебираются (по одному разу) всевозможные суммы элементов этого массива (по одному, по два, по три, по четыре, по пять). Всякий раз, когда сумма является простым числом, счетчик увеличивается на единицу. Какое наибольшее значение счетчика может вернуть Васина программа?

Решение задачи 73


ММ72

Эта задача была предложена Владиславом Франком (и Джоан Роулинг).

Конкурсная задача ММ72 (5 баллов)

Если Вы читали первую книгу про Гарри Поттера, то наверняка помните загадку Снейпа.

В ряд стоят 7 бутылочек.
Из 7 бутылочек одна позволяет пройти вперед, одна - вернуться назад, в двух вино и в трех яд. Известно, что:
1) слева от вина - всегда яд;
2) по краям - различные напитки, но ни один из них не дает идти вперед;
3) ни самая маленькая, ни самая большая бутылочка не содержат яд;
4) вторая и шестая содержат одно и то же;

Гермиона смогла по этим данным и, видя бутылочки, определить, что зелье для прохода вперед находится в самой маленькой бутылочке, а зелье для прохода назад - в самой правой.

1. Что находится в пятой (слева) бутылочке?
2. Что находится в самой большой бутылочке?

Решение задачи 72


ММ71

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач.

Конкурсная задача ММ71 (А-1) (4 балла)

Назовем n-значное натуральное число «замечательным», если оно равно сумме n-х степеней своих цифр. Конечно ли множеcтво замечательных чисел?

Пpимечание:
Система счисления десятичная.

Решение задачи 71


ММ70

Это задача не входит в тематический конкурс.
Результат учитывется только в основном зачете Марафона.

Конкурсная задача ММ70 (12 баллов)

В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. в терминах задачи 48 турнир оказался правильным).
На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы не последнее, а первое место.
Более того, при подсчете очков по футбольным правилам, никакие два участника по-прежнему не имели бы поровну очков, но при этом выстроились бы в итоговой таблице в обратном порядке.

1. Какое наименьшее число партий могло быть сыграно в таком турнире?
2. При каком наименьшем k возможна описанная ситуация?
3. При каком наименьшем n достигается наименьшее k, при котором возможна такая ситуация.

Примечания:
В k-круговом турнире каждый участник встречается с каждым k раз.
За победу в партии в шахматном турнире начисляется одно очко, за ничью пол-очка, а за поражение ноль очков.
За победу в матче в в футбольом турнире начисляется три очка, за ничью одно очко, а за поражение ноль очков.
Разумеется, в турнире участвует более одного шахматиста.

Решение задачи 70


ММ69

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.

Завершающая задачка мини-конкурса логических задач, так же как и задачка, открывающая конкурс, футбольная.

Конкурсная задача ММ69 (Л-5) (8 баллов)

Мистер Жонсонд увидел в газете итоговую таблицу однокругового футбольного турнира:

О РМ
1.Честерман 11 8-0
2.Елсич 11 7-2
3.Пулливер 9 4-0
4.Сеналар 6 2-10
5.Тонбол 3 8-9
6.Бернблэк 1 1-9

Мистер Жонсонд попытался восстановить по этим данным турнирную таблицу, но ему не удалось сделать это в полном объеме. И тут он обнаружил, что в заметке, сопровождавшей таблицу, приведен счет одного из матчей, сыгранных «Честерманом».
После этоо мистер Жонсонд сумел восстановить таблицу полностью. Попробуйте и Вы последовать его примеру.

Пpимечания:
в колонке «О» указано количество очков, набpанных каждой командой;
в колонке «РМ» чеpез дефис указано суммаpное количество забитых и пpопущенных командой голов;
за победу команде начисляется 3 очка, за ничью - 1 очко.

Решение задачи 69


ММ68

Это задача не входит в тематический конкурс.
Результат учитывется только в основном зачете Марафона.

Конкурсная задача ММ68 (5 баллов)

1. Доказать, что для любого натурального n найдется натуральное k такое, что
числа Фибоначчи F(k), F(k+1), …, F(k+n-1) являются составными.
2. Какое наибольшее количество простых чисел может встретиться среди десяти идущих подряд чисел Фибоначчи?

Примечания:
1. Рекуррентое определение чисел Фибоначчи:
F(1) = F(2) = 1, F(n+1) = F(n) + F(n-1) при n > 2.
2. Напомню, что 1 не является ни простым, ни составным числом.

Решение задачи 68


ММ67

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.

Конкурсная задача ММ67 (Л-4) (7 баллов)

Четверо братьев (Джан, Джин, Джон и Джун ) поймали чужеземца, забредшего в их страну, где каждый обитатель был либо рыцарем, либо лжецом, и привели на суд к своему отцу. Их отец произнес такую речь: - В нашей стране мы терпимо относимся и к рыцарям, и к лжецам, но очень не любим дураков. Ты должен отгадать сколько мне лет, услышав по две подсказки от каждого из моих сыновей, тогда я отпущу тебя на все четыре стороны. Если же ты ошибешься, будешь рабом на моей плантации - глупцы не достойны лучшей участи. Но учти, среди моих сыновей могут оказаться как рыцари, так и лжецы. - А сам-то, кто будешь? - спросил путник - Можно ли тебе доверять? - Если я рыцарь, то я рыцарь, а уж если лжец, то лжец - ответил глава семейства - Слушай подсказки.

Джан: n составное.
Джин: если n составное, то Джан - рыцарь.
Джон: если n > 92, то n < 67.
Джун: n > 93
Джан: n + 10 простое.
Джин: 2n + 1 составное.
Джон: если n + 10 простое, то и n + 20 простое.
Джун: n не больше суммы квадратов своих цифр.

Помогите путнику выбраться на свободу.

Пpимечания: Возраст отца - натуральное число, обозначенное для краткости через n. Напомню, что задачах такого типа лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду.

Решение задачи 67


ММ66

Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона.

Конкурсная задача ММ66 (8 баллов)

Двое играют в такую игру: Каждый игрок очередным своим ходом берет из кучки, содержащей n камней, некоторое количество камней. За один ход можно взять количество камней, являющееся целой неотрицательной степенью одного из двух фиксированных натуральных чисел (a и b). Выигрывает тот, кто возьмет последний камень.

1. Существуют ли такие a и b, при которых шансы на выигрыш у второго игрока выше, чем у первого? 2. Оценить шансы игроков для случаев, когда a и b - простые числа. 3. Перед началом игры игроки делают ставки. Обе ставки забирает победитель. Ставка первого игрока в пять раз больше. Зато первый игрок имеет право (до того как узнает число n) выбрать числа a и b. Кому из игроков выгодны такие условия?

Примечания: 1. Число «камней» n для каждой игры выбирается случайно из диапазона [1.. 1000000] (распределение равномерное). 2. Соперники играют наилучшим образом.

Решение задачи 66


ММ65

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: в Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.

Конкурсная задача ММ65 (Л-3) (5 баллов)

Математик С предложил математикам А и В такую загадку:
- Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу А это произведение, а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.

Узвав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:

А: Я не знаю этих чисел.
В: Если бы «мое» число было произведением, я бы знал загаданные числа.
А: Но я, все равно, не знаю этих чисел.
В: Да и я не знаю.
А: А я уже знаю их.
В: Да и я знаю.

Что это за числа?

Решение задачи 65


ММ64

Это задача не входит в тематический конкурс.
Результат учитывется только в основном зачете Марафона.

Конкурсная задача ММ64 (6 баллов)

Доказать, что уравнение 2x2 + 4y4 + 7z7 = t13 (*) имеет:
1) бесконечно много решений во множестве четных натуральных чисел;
2) бесконечно много решений во множестве нечетных натуральных чисел;
3) бесконечно много решений, в каждом из которых есть как четные, так и нечетные числа, во множестве целых чисел.

Примечание:
Натуральный ряд начинается с единицы.

Решение задачи 64


ММ63

Результат этой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.

Конкурсная задача ММ63 (Л-2) (4 балла)

В стране, каждый житель которой либо рыцарь, либо лжец, за круглым столом собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба его соседа - лжецы.
На почве столь резких высказываний разразился небольшой скандал, в результате которого часть компании покинула застолье.
После этого каждый из оставшихся с удовлетворением объявил, что теперь оба его соседа - рыцари.
- И в самом деле, среди вас теперь ни одного лжеца - согласился с ними последний из покидавших компанию.
Тем временем, «отщепенцы» организовали новое собрание, и вновь за круглым столом. Каждый из сидящих за этим столом произнес, что среди его соседей ровно один рыцарь.
Сколько человек осталось сидеть на своих местах после раскола компании?

Пpимечание:
Напомню, что в задачах такого типа лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду.

Решение задачи 63


ММ62

Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона.

Конкурсная задача ММ62 (6 баллов)

Тетраэдр, имеющий площадь поверхности S, сумму длин ребер L, сумму двугранных углов U и сумму трехгранных углов W, рассекли плоскостью на два тетраэдра.
1) Какие значения может принимать S1 + S2 - сумма площадей поверхностей образовавшихся тетраэдров?
2) Какие значения может принимать L1 + L2?
3) Какие значения может принимать U1 + U2?
4) Какие значения может принимать W1 + W2?

Примечания: Под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида. Каждый пункт представляет собой самостоятельную задачу. То есть выражать, например, возможные значения U1 + U2 надо только через U, без учета других характеристик исходного тетраэдра. Трехгранные углы тетраэдра измеряются в стерадианах. (Полный телесный угол равен 4*Pi стерадиан).

Решение задачи 62


ММ61

Конкурсная задача ММ61 (Л-1) (4 балла)

Футбольные команды Честерман, Елсич, Пулливер, Сеналар и Тонбол провели однокруговой турнир.
Ниже приведены его итоги:

Команды О РМ
1. Елсич 10 3-0
2. Честерман 6 9-6
3. Пулливер 6 2-7
4. Сеналар 5 3-1
5. Тонбол 1 2-5

Требуется воостановить турнирную таблицу (указать счет каждого матча)

Примечания:
В колонке «О» указано количество очков, набранных
В колонке «РМ» через дефис указано суммарное количество забитых и пропущенных голов
За победу команде начисляется 3 очко, за ничью - 1 очко.

Решение задачи 61


Old

 

 


Страница: [[marathon:мм61-100]]

marathon/мм61-100.1444059977.txt · Последние изменения: 2015/10/05 18:46 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006