Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:мм61-100 [2015/10/20 13:51]
letsko [Old]
+++ marathon:мм61-100 [2020/05/27 00:32] (текущий)
letsko [ММ66]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+* [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]]
+----
+----
 ===== ММ100 =====
@@ Строка 81: / Строка 86: @@
 - Хорошо. Дальше.\\
 - Так... Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных
-квадратов. Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... \\
+квадратов.\\
-А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера...\\
+- Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... \\
-Все! Больше ничего не помню.
+- А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера...\\
+- Все! Больше ничего не помню.
 . Помогите Васе спасти человечество.\\
@@ Строка 648: / Строка 654: @@
 В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов.
 В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е.
-в терминах задачи 48 турнир оказался правильным).\\
+в терминах задачи 48 турнир оказался строгим).\\
 На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место,
 заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы
@@ Строка 777: / Строка 783: @@
 ===== ММ66 =====
-Это задача не входит в тематический конкурс.
+Эта задача не входит в тематический конкурс.
 Результат учитывется только в основном зачете Марафона.
@@ Строка 821: / Строка 827: @@
 а  В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.
-Узвав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
+Узнав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
 А: Я не знаю этих чисел.\\
@@ Строка 939: / Строка 945: @@
 ----
-===== Old =====
-[[old|Решение задач 1-38]]
 ----
+=====ММ60=====
+**Конкурсная задача ММ60** (12 баллов)
+Триша Тройкин, Петя Пятаков и Сёма Семак пытаются сконструировать собственный генератор псевдослучайных чисел.
+Для этого они взяли натуральные числа a и m (одни и те же у всех троих) и выстраивают последовательность по правилу:
+x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub>a (mod m).
+Начав с некоторого x<sub>1</sub>, Триша посчитал x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> и x<sub>4</sub>. Но x<sub>4</sub> оказалось равно x<sub>1</sub>.
+Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x<sub>1</sub>. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату.
+Петя совершил пять попыток подобрать x<sub>1</sub>. Но всякий раз получал новые циклы длины 5.
+Наиболее упорным оказался Сёма. Он совершил семь попыток. И получил семь циклов длины 7.
+При каком наименьшем m могла возникнуть такая ситуация?
+[[problem_60|Решение задачи ММ60]]
+----
+=====ММ59=====
+**Конкурсная задача ММ59** (8 баллов)
+Сколько существует гомоморфизмов из кольца классов вычетов по модулю m в кольцо классов вычетов по модулю n?
+[[problem_59|Решение задачи ММ59]]
+----
+=====ММ58=====
+**Конкурсная задача ММ58** (8 баллов)
+Обозначим через T(n) количество треугольников периметра n с целочисленными длинами сторон.
+) Конечно ли множество таких n, которые делят T(n)?\\
+) Конечно ли, множество таких n, при которых T(n) является полным квадратом?\\
+) Какие n встречаются чаще: те, при которых T(n) кратно 173, или те, при которых T(n) кратно 211?
+[[problem_58|Решение задачи ММ58]]
+----
+=====ММ57=====
+**Конкурсная задача ММ57** (10 баллов)
+Назовем многоугольник ординарным, если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника.
+) На сколько частей разбивают диагонали ординарный многоугольник?\\
+) Верно ли, что при фиксированном n среди частей, на которые разбивается диагоналями ординарный многоугольник всегда одно и тоже число треугольников?\\
+) При каком минимальном n в разбиении ординарного многоугольника может получиться восьмиугольник?\\
+) Существует ли ординарный многоугольник, в разбиении которого получается больше пятиугольников, чем треугольников?\\
+) При каких n существуют разбиения ординарного многоугольника, содержащие только треугольники и четырехугольники?
+[[problem_57|Решение задачи ММ57]]
+----
+=====ММ56=====
+**Конкурсная задача ММ56** (12 баллов)
+Назовем трехпарным число, допускающее представление в виде суммы трех взаимно простых натуральных слагаемых, любые два из которых не взаимно просты. Конечно ли множество натуральных чисел, не являющихся трехпарными?
+[[problem_56|Решение задачи ММ56]]
+----
+=====ММ55=====
+**Конкурсная задача ММ55** (7 баллов)
+Через точку внутри тетраэдра провели 4 плоскости, параллельные граням. На сколько частей разобьется тетраэдр? (1 балл)
+Какой наименьший объем может иметь тетраэдр, если объемы частей попарно различны и целочисленны? (6 баллов).
+[[problem_55|Решение задачи ММ55]]
+----
+=====ММ54=====
+**Конкурсная задача ММ54** (3 балла)
+Доказать, что максимум площадей четырехугольников со сторонами a, b, c, d не зависит от порядка следования сторон.
+[[problem_54|Решение задачи ММ54]]
+----
+=====ММ53=====
+**Конкурсная задача ММ53** (8 баллов)
+Найти самое маленькое число, допускающее представление в виде суммы шести слагаемых, обладающее следующими свойствами:\\
+) каждое слагаемое является натуральным числом;\\
+) любые два слагаемых не взаимно просты;\\
+) любые три слагаемых взаимно просты;\\
+) сумма любых четырех слагаемых кратна 4;\\
+) сумма любых пяти слагаемых кратна 5.
+[[problem_53|Решение задачи ММ53]]
+----
+=====ММ52=====
+**Конкурсная задача ММ52** (11 баллов)
+Конечно ли множество натуpальных чисел m таких, что количество обpатимых элементов в кольце классов вычетов по модулю m pавно количеству квадpатов в том же кольце?
+[[problem_52|Решение задачи ММ52]]
+----
+=====ММ51=====
+**Конкурсная задача ММ4** (3 балла)
+) Какое наибольшее (при данном n) число можно получить, расставляя скобки в выражении 1:2:3:...:n? (1 балл)\\
+) Верно ли, что для любого положительного рационального числа a существуют такое n и такой способ расстановки скобок, что значение выражения 1:2:3:...:n станет равным а? (2 балла)
+[[problem_51|Решение задачи ММ51]]
+----
+=====ММ50=====
+Задача ММ50 является прямым продолжением и обобщением задачи ММ13
+**Конкурсная задача ММ50** (13 баллов)
+Зададим на множестве V = {1,2,3,...,n} структуру графа, полагая, что вершины x и y из V смежны тогда и только тогда, когда
+¦x-y¦ = u или ¦x-y¦ = v, где u и v - некоторые фиксированные (для данного графа) натуральные числа (u меньше v). Полученный граф обозначим G(u,v,n).
+. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы граф G(u,v,n) был:\\
+.1) связен;\\
+.2) цепью;\\
+.3) циклом;\\
+(3 балла)
+. Пусть 2u < v, НОД(u,v) = 1, u+v - нечетно. Доказать, что найдется такое n<sub>0</sub>, что для всех n > n<sub>0</sub> граф G(u,v,n) - гамильтонов (т.е. в нем есть простой цикл, содержащий все вершины). (10 баллов)
+Замечание.\\
+Я убежден, что условие "2u меньше v" в пункте 2 является избыточным. Однако на момент опубликования задачи я не умел доказывать утверждение пункта 2 без этого ограничения.
+[[problem_50|Решение задачи ММ50]]
+----
+=====ММ49=====
+**Конкурсная задача ММ49** (3 балла)
+Для каждого натуpального числа a, чеpез m(a) обозначим мощность множества {HОД(x<sup>12</sup>, x+a) | x ∈ N}.\\
+Решить в натуральных числах уравнение: m(a) = a
+[[problem_49|Решение задачи ММ49]]
+----
+=====ММ48=====
+**Конкурсная задача ММ48** (7 баллов)
+Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть "строгой", если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир с строгой таблицей также будем называть "строгим".
+) Гросмейстер Грустин Попалов выиграл в строгом турнире больше партий, чем каждый из других участников. На каком месте мог он оказаться в итоге, если в турнире участвовало n шахматистов?
+(2 балла)
+) Гроссмейстер Любомир Миролюбоевич шесть лет подряд играл в однокруговых рождественских турнирах в городе Зейк-ан-Вее. Каждый год он завершал все свои партии вничью, но год от года занимал все более высокое место. В каждом турнире было n участников и все они были строгие. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?
+(2 балла)
+) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбоевич, сыграв вничью, все партии строгого турнира при n участниках.
+Найти явное выражение для d(n). (3 балла)
+[[problem_48|Решение задачи ММ48]]
+----
+=====ММ47=====
+**Конкурсная задача ММ47** (4 балла)
+В разностороннем треугольнике ABC провели биссектрису AD. При этом оказалось, что длины всех сторон треугольников ABD и ACD целочисленны. При каком наименьшем периметре треугольника ABC возможна такая ситуация?
+[[problem_47|Решение задачи ММ47]]
+----
+=====ММ45-46=====
+**Конкурсная задача ММ45-46** (30 баллов)
+Функция f(n) задается так: Натуральные числа от 1 до n расставлены по кругу. Начинаем отмечать числа 1, 2, 4, 7, 11, 16 и т.д. Значением f(n) будет то число, которое первым будет отмечено повторно.
+.1) Доказать, что существует бесконечно много n, для которых f(n) = 500501. (5 баллов)\\
+.1) Найти явную формулу для f(3<sup>k</sup>). (4 балла)\\
+.2) Описать все такие n, для которых f(n) определяется на n+1-вом шаге, (т. е. все числа будут отмечены по разу, прежде чем какое-то будет отмечено повторно). Найти явное выражение f(n) для таких n. (4 балла)\\
+.3) Доказать, что на множестве нечетных простых чисел f(n) инъективна (т.е. f(p) не может равняться f(q), если p и q - различные нечетные простые числа). (7 баллов)\\
+.2) Верно ли, что для любого натурального m найдется n такое, что f(n) = m?\\
+.3) Верно ли, что существует бесконечно много таких n, для которых f(n) = n?
+[[problem_MM45-46|Решение задачи ММ45-46]]
+----
+=====ММ44=====
+**Конкурсная задача ММ44** (3 балла)
+Решить в натуральных числах:\\
+x<sup>y</sup> = (x + y)<sup>x</sup> (1)
+[[problem_44|Решение задачи ММ44]]
+----
+=====ММ43=====
+**Конкурсная задача ММ43** (3 балла)
+Эта задача предложена для марафона Владиславом Франком.
+В вагоне экспресса Дакс-Бордо n мест.\\
+Человек заходит в вагон, имея билет без места. Он знает, что в вагоне свободно ровно одно место. Садится на произвольное. Потом начинают заходить пассажиры, знающие, где они должны сидеть. Иногда его сгоняют и он пересаживается на произвольное оставшееся место. И так пока вагон не заполнится.
+Найти матожидание числа пересадок.
+[[problem_43|Решение задачи ММ43]]
+----
+=====ММ42=====
+**Конкурсная задача ММ42** (3 балла)
+Вновь муха и тетраэдр.
+На этот раз правильный тетраэдр со стороной в 1 метр поставили на плоскость, а точечных размеров муха ползет от одной из вершин основания так, что угол наклона ее траектории к плоскости основания остается постоянным и равняется arcsin √(2/21).\\
+Какое расстояние преодолеет муха, когда она доползет до вершины тетраэдра?\\
+Сколько раз муха пересечет ребра тетраэдра к тому моменту, когда позади останется 90% пути?
+[[problem_42|Решение задачи ММ42]]
+----
+=====ММ41=====
+**Конкурсная задача ММ41** (3 балла)
+Двое играют в такую игру:\\
+Игроки A и B выставляют на кон по банкноте одинакового достоинства, на каждой из которых имеется семизначный номер. Игроки сравнивают соответствующие (стоящие в одинаковых позициях) цифры номеров. Если i-я цифра на банкноте игрока A больше i-й цифры на банкноте B, то A получает зачетный балл.
+Побеждает (и забирает банкноту противника) тот, кто наберет больше зачетных баллов. В случае равенства баллов игроки остаются при своих.\\
+Например, если у A номер банкноты 4987200, а у B - 4007311, то со счетом 3:2 победит B.\\
+Какую наименьшую сумму цифр может иметь номер банкноты, для которой математическое ожидание выигрыша положительно?
+[[problem_41|Решение задачи ММ41]]
+----
+=====ММ40=====
+**Конкурсная задача ММ40** (4 балла)
+Правильный тетраэдр со стороной в 1 метр находится в подвешенном состоянии. На одну из его вершин села муха точечных размеров и поползла по прямой по грани (не ребру) тетраэдра. С грани на грань муха переползает так, что на развертке тетраэдра ее путь оставался бы прямолинейным. Преодолев расстояние в целое число метров, не превосходящее десяти, муха вновь оказалась в вершине. Сколько метров проползла муха и сколько раз побывала при этом на грани, с которой начала движение?
+[[problem_40|Решение задачи ММ40]]
+----
+=====ММ39=====
+**Конкурсная задача ММ39** (8 баллов)
+Эта задачка перекликается с задачей №29.\\
+В качестве основания системы счисления рассматриваются натуральные числа, большие 1.
+Назовем число "полукубическим", если, приписывая его себе, получим куб некоторого натурального (натуральный ряд начинается с 1).\\
+) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют полукубические числа. (1 балл)\\
+) Привести пример таких a и g, что в системе счисления с основанием g число a будет трехзначным полукубическим числом. (2 балла)\\
+) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют двузначные полукубические числа. (5 баллов)
+[[problem_39|Решение задачи ММ39]]
+----
+=====ММ38=====
+**Конкурсная задача ММ8** (3 балла)
+Обозначим через f(n) количество последовательностей длины n из нулей, единиц и двоек таких, что никакие две единицы и никакие две двойки не могут стоять в них подряд. Найти явную формулу для f(n).
+[[problem_38|Решение задачи ММ38]]
+----
+=====ММ37=====
+**Конкурсная задача ММ37** (13 баллов)
+Монетный двор Дурляндии чеканит монеты трех достоинств: 6, 10 и 15 дурок.\\
+) Некоторые суммы (в целое число дурок) в принципе не могут быть набраны дурляндскими монетами. Какова максимальная из них? (2 балла);\\
+) Доказать, что два дурляндца, в кошельках которых достаточно монет подходящих достоинств, всегда смогут осуществить взаиморасчет с точностью до одной дурки (1 балл);\\
+) Обобщить 1-й пункт задачи на случай монет достоинством в ab, ac и bc дурок, где a, b и c - попарно взаимно простые натуральные числа (5 баллов);\\
+) Обобщить 3-й пункт задачи на случай монет достоинством в\\
+<m>a_1a_2...a_{n-2}a_{n-1}, a_1a_2...a_{n-2}a_n,..., a_1a_3...a_{n-1}a_n, a_2a_3...a_{n-1}a_n</m> дурок, где <m>a_1, a_2, ...a_n</m> - попарно взаимно простые числа. (5 баллов).
+[[problem_37|Решение задачи ММ37]]
+----
+=====ММ36=====
+**Конкурсная задача ММ36** (5 баллов)
+Функция f сопоставляет каждому натуральному числу n сумму остатков от деления n на все натуральные числа, меньшие n.\\
+) описать все такие n, для которых f(n) = n; (2 балла)\\
+) Доказать, что для любого натурального k f(2<sup>k</sup>) = f(2<sup>k</sup> - 1). (3 балла)\\
+[[problem_36|Решение задачи ММ36]]
+----
+=====ММ35=====
+**Конкурсная задача ММ35** (5 баллов)
+Васе и Пете задали задачку:\\
+"В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого угла. В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Найти их радиусы."\\
+Васе и Пете были известны конкретные числовые значения a и b.\\
+У Васи получились ответы 3 и <m>sqrt 3</m>, а у Пети - 2 и <m>sqrt 2</m>.
+Кто из них ошибся?
+[[problem_35|Решение задачи ММ35]]
+----
+=====ММ34=====
+**Конкурсная задача ММ34** (4 балла)
+Последовательность задана рекуррентно:
+<m>f(0) = 0, f(n+1) = {3f(n) + sqrt{5f(n)^2 + 4}}/2</m>
+Доказать, что она целочисленная.
+[[problem_34|Решение задачи ММ34]]
+----
+=====ММ33=====
+**Конкурсная задача ММ33** (10 баллов)
+Пусть E, F, G и H - середины сторон BC, CD, DA и AB четырехугольника ABCD, а K, L, M и N - точки пересечения прямых AE и BF, BF и CG, CG и DH, DH и AE соответственно. Назовем четырехугольник KLMN сопутствующим четырехугольником четырехугольника ABCD.
+Пусть, далее, ABC - некоторый треугольник.
+Описать геометрическое место точек D таких, что сопутствующий четырехугольник четырехугольника ABCD - трапеция.
+[[problem_33|Решение задачи ММ33]]
+----
+=====ММ32=====
+**Конкурсная задача ММ32** (3 баллов)
+Рассмотрим векторы, координаты которых в некотором ортонормированном базисе n-мерного пространства представляют собой перестановки множества {1, 2,.., n}. Каким может быть максимальный угол между такими векторами?
+[[problem_32|Решение задачи ММ32]]
+----
+=====ММ31=====
+**Конкурсная задача ММ31** (7 баллов)
+Пусть S<sub>n</sub> - симметрическая группа (т.е. группа, образованная всеми биекциями множества {1, 2,..., n} на себя относительно операции композиции) и O<sub>n</sub> - множество порядков всех элементов S<sub>n</sub>.\\
+) Могут множества O<sub>n</sub> совпадать при различных n? (2 балла)\\
+) Найти наименьшее n такое, что максимальные элементы множеств O<sub>n</sub> и O<sub>n+3</sub> равны. (5 баллов)
+[[problem_31|Решение задачи ММ31]]
+----
+=====ММ30=====
+**Конкурсная задача ММ30** (3 балла)
+Доказать, что для любого натурального числа n, можно подобрать множество M из n (разумеется, попарно различных) натуральных чисел таких, что сумма чисел из любого непустого подмножества M не является квадратом натурального числа.
+[[problem_30|Решение задачи ММ30]]
+----
+=====ММ29=====
+**Конкурсная задача ММ29** (7 баллов)
+Назовем натуральное число "полуквадратным", если приписывая это число само к себе, получим квадрат натурального числа.\\
+) существуют ли полуквадратные числа в десятичной системе счисления? (2 балла)\\
+) для каких g (натуральных, больших 1) в системе счисления с основанием g существуют полуквадратные числа? (5 баллов)
+[[problem_29|Решение задачи ММ29]]
+----
+=====ММ28=====
+**Конкурсная задача ММ28** (5 баллов)
+Васе Пупкину задали задачку:\\
+'В квадрат с целочисленной стороной a вписан правильный треугольник, площадь которого также выражается целым числом. Найти площадь треугольника.'
+Вася (которому число a было известно) выяснил, что задача имеет единственное решение, и имела бы единственное решение и для квадрата со стороной 2a.
+Чему равна площадь треугольника?
+[[problem_28|Решение задачи ММ28]]
+----
+=====ММ27=====
+**Конкурсная задача ММ27** (12 баллов)
+Эта задача перекликается с задачей №9 и отчасти с задачами ММ11 и ММ7.
+Граф G задан на множестве V = {1, 2,..., n} по правилу:\\
+вершины a и b соединены ребром, если a+b есть квадрат натурального числа.
+При каком наименьшем n в G есть:\\
+) циклы?\\
+) циклы четной длины?\\
+) четырехвершинная клика?\\
+) Те же вопросы, что и в п.п. 1-3, для графа заданного на множестве V по правилу:\\
+вершины a и b соединены ребром, если a+b есть куб натурального числа.
+Напомню, что клика - это такое подмножество вершин графа, что любые две из них соединены ребром.
+[[problem_27|Решение задачи ММ27]]
+----
+=====ММ26=====
+**Конкурсная задача ММ26** (9 баллов)
+Описать все натуральные n, для которых задача "Найти все натуральные k, кратные t, и имеющие ровно n натуральных делителей" (1) имеет единственное решение, если:\\
+) t = n;\\
+) t = 2n;\\
+) t = n<sup>2</sup>.
+[[problem_26|Решение задачи ММ26]]
+----
+=====ММ25=====
+**Конкурсная задача ММ25** (4 балла)
+Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры?
+[[problem_25|Решение задачи ММ25]]
+----
+=====ММ24=====
+**Конкурсная задача ММ24** (8 баллов)
+Описать г.м.т, равноудаленных от:\\
+) плоскости и не принадлежащей ей точки;\\
+) прямой и не принадлежащей ей точки;\\
+) двух пересекающихся прямых;\\
+) двух скрещивающихся прямых;\\
+) плоскости и перпендикулярной к ней прямой;\\
+) плоскости и наклонной к ней прямой.
+(Во всех пунктах рассмотрение проводится в трехмерном евклидовом пространстве. Для описания достаточно указать тип возникающей поверхности и ее расположение по отношению к заданным объектам.)
+[[problem_24|Решение задачи ММ24]]
+----
+=====ММ23=====
+**Конкурсная задача ММ23** (8 баллов)
+Верно ли, что у любого тетраэдра есть сечение, являющееся:\\
+а) параллелограммом;\\
+б) ромбом;\\
+в) прямоугольником;\\
+г) квадратом;\\
+д) трапецией;\\
+е) равнобочной трапецией;\\
+ж) равнобедренным треугольником;\\
+з) правильным треугольником?\\
+(Под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.)
+[[problem_23|Решение задачи ММ23]]
+----
+=====ММ22=====
+**Конкурсная задача ММ22** (6 баллов)
+У одного султана было два мудреца Али и Вали. В очередной раз обеспокоившись, не зря ли они едят свой хлеб с шербетом, султан вызвал мудрецов и сказал:\\
+- Прошлый раз вы успешно выдержали испытание, разгадав задуманные два числа. Но он было слишком легким. На этот раз я задумал три разных числа от 1 до 9. Али я сообщу их произведение, а Вали их сумму. После этого вы должны будете разгадать эти числа.\\
+Узнав произведение и сумму, мудрецы, как обычно, сначала задумались, а затем разговорились.
+А: Эх, если бы чисел как и в прошлый раз было два, я бы уже знал их. Но сейчас я их не знаю.\\
+В: Я тоже пока не знаю этих чисел.\\
+А: Зато я знаю их!
+Что это за числа?
+[[problem_22|Решение задачи ММ22]]
+----
+=====ММ21=====
+**Конкурсная задача ММ21** (10 баллов)
+Доказать, что уравнение <m>{x_1}^2 + {x_2}^3 + ... + {x_{n-2}}^{n-1} = {x_{n-1}}^{n}</m> (1) имеет бесконечно много решений в натуральных числах:\\
+a) при любом нечетном простом n (4 балла);\\
+б) при n=9 (6 баллов).
+[[problem_21|Решение задачи ММ21]]
+----
+=====ММ20=====
+**Конкурсная задача ММ20** (6 баллов)
+Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба.
+[[problem_20|Решение задачи ММ20]]
+----
+=====ММ19=====
+**Конкурсная задача ММ19** (6 баллов)
+Функция f(x) задана кусочно по правилу:\\
+f(x) = 4x+4 при x ≤ -1;\\
+f(x) = 0 при -1 < x ≤ 1;\\
+f(x) = x-1 при 1 < x ≤ 2;\\
+f(x) = 3-x при x > 2.
+Задать f(x) с помощью одного выражения, используя только знаки арифметических действий и абсолютной величины (разумеется значок 'x' и числовые коэффициенты тоже можно использовать).
+[[problem_19|Решение задачи ММ19]]
+----
+=====ММ18=====
+**Конкурсная задача ММ18** (3 балла)
+Найти все простые p, такие что числа 2+6p<sup>2</sup>+2p+3, 4p<sup>3</sup>+10p<sup>2</sup>+2p+9, 5p<sup>3</sup>+10p<sup>2</sup>+2p+12, 5p<sup>3</sup>+8p<sup>2</sup>+7p+5 просты.
+[[problem_18|Решение задачи ММ18]]
+----
+=====ММ17=====
+**Конкурсная задача ММ17** (5 баллов)
+Путник, оказавшийся на остpове, где живут pыцаpи (всегда говоpят пpавду) и лжецы (всегда вpут) встpетил гpуппу туземцев из семи человек. Hа плащах у туземцев кpасовались буквы A, B, C, D, E, F и G (по одной на каждого абоpигена).\\
+На вопрос странника о возрасте их вождя (в дальнейшем для краткости он обозначен буквой n) туземцы произнесли следующее:\\
+A: Если n < 60, то я рыцарь.\\
+B: Если F - рыцарь, то я лжец.\\
+C: G - лжец, а n+4 - составное.\\
+D: То, что я лжец, равносильно тому, что С - лжец.\\
+E: C - лжец или n+2 - составное.\\
+F: Если E - рыцарь, то n - составное.\\
+G: A - рыцарь или n+32 - составное.\\
+Сколько лет вождю?
+[[problem_17|Решение задачи ММ17]]
+----
+=====ММ16=====
+**Конкурсная задача ММ16** (8 баллов)
+Эта задача перекликается с задачей ММ15\\
+Вновь рассматриваются перестановки множества {1,2,...n}.\\
+Назовем перестановку правильной, если она не оставляет на месте ни одного элемента множества {1,2,...n}. Сколько существует правильных перестановок для n=20?
+[[problem_16|Решение задачи ММ16]]
+----
+=====ММ15=====
+**Конкурсная задача ММ15** (9 баллов)
+В качестве вводной предлагается задачка из конкурса 'Кенгуру' 1998 года:\\
+Мама печет 6 пирогов: сначала пирог с абрикосами (А), потом с брусникой (Б), с вишней (В), с грибами (Г), с джемом (Д) и с ежевикой (Е). Пока она этим занимается, на кухню иногда забегают дети и каждый раз съедают самый горячий пирог. В каком порядке не могли быть съедены пироги?\\
+) АБВГДЕ; 2) АБДГВЕ; 3) ВБДГЕА; 4) ГДЕБВА; 5) ЕДГВБА. (1 балл)
+А теперь основная часть задачи:\\
+Назовем перестановку множества {1,2,...,n} возможной, если она удовлетворяет условию вводной задачки. Сколько возможных перестановок для n=20? (8 баллов)
+[[problem_15|Решение задачи ММ15]]
+----
+=====ММ14=====
+**Конкурсная задача ММ14** (4 баллов)
+Какой наименьший порядок может иметь подгруппа группы аффинных преобразований плоскости, содержащая хотя бы одно преобразование, отличное от движения?
+Примечание\\
+Напомню, что движением плоскости называется ее преобразование (т.е. биективное отображение на себя), сохраняющее расстояние. Иными словами, расстояние между любыми двумя точками плоскости равно расстоянию между образами этих точек.
+Аффинным называется преобразование плоскости, сохраняющее прямолинейность. Иными словами, при аффинном преобразовании образы трех точек, лежащих на одной прямой, снова лежат на одной прямой.
+[[problem_14|Решение задачи ММ14]]
+----
+=====ММ13=====
+**Конкурсная задача ММ13** (8 баллов)
+(Эта задачка была предложена Ольгой Рукосуевой в конференции RU.Golovolomka. Но не вызвала особого интереса. На мой взгляд, зря.)
+Для каких натуральных n можно расставить числа 1,2,...n по окружности так, чтобы абсолютная величина разности соседних чисел равнялась 3, 4 или 5.
+[[problem_13|Решение задачи ММ13]]
+----
+=====ММ12=====
+**Конкурсная задача ММ12** (5 баллов)
+В магазине имеются следующие товары (по одной штуке каждого):\\
+Общая тетрадь - 21 p.\\
+Коврик для мыши - 35 p.\\
+Шампунь - 49 p.\\
+Пила - 56 p.\\
+Энциклопедия на компакт-диске - 63 p.\\
+Набор отверток - 72 p.\\
+Кружка - 75 p.\\
+Нож - 77 p.\\
+Мышь для коврика - 107 p.\\
+Альбом для фото - 119 p.\\
+Кастрюля - 126 p.\\
+Книжка по Delphi - 147 p.\\
+Часы - 203 p.\\
+Настольная лампа - 282 p.\\
+Первым в магазин зашел Вася Пупкин. После него - Петя Покупкин. Когда в магазин прибежал Федя Плоскогубкин, то там оставался всего один товар. Что купил Вася Пупкин, если известно, что он потратил в два раза меньше денег, чем Петя Покупкин?
+[[problem_12|Решение задачи ММ12]]
+----
+=====ММ11=====
+**Конкурсная задача ММ11** (5 баллов)
+Существует ли тетраэдр (под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида), все грани которого прямоугольные треугольники и при этом прямые углы распределены по вершинам тетраэдра так:\\
+а) (3, 1, 0, 0); (1 балл)\\
+б) (2, 2, 0, 0); (1 балл)\\
+в) (2, 1, 1, 0); (1 балл)\\
+г) (1, 1, 1, 1)? (2 балла)\\
+д) Существует ли тетраэдр, все грани которого прямоугольные треугольники, а все ребра имеют целочисленную длину? (3 балла)
+[[problem_11|Решение задачи ММ11]]
+----
+=====ММ10=====
+**Конкурсная задача ММ10** (5 баллов)
+Задать во множестве целых чисел Z две бинарные операции (+) и (*) так, чтобы относительно этих операций множество Z стало коммутативным кольцом с единицей, в котором число 1 было бы нейтральным элементом по сложению (т.е. в аддитивной группе кольца), а число 0 - нейтральным элементом по умножению.
+[[problem_10|Решение задачи ММ10]]
+----
+=====ММ9=====
+**Конкурсная задача ММ9** (9 баллов)
+Пусть k - фиксированное натуральное число.\\
+Рассмотрим граф, вершинами которого являются натуральные числа (таким образом, число вершин бесконечно).
+Вершины a и b соединены ребром, если a+b есть k-тая степень некоторого натурального числа.
+Доказать, что граф связен при:\\
+k = 2 (2 балла);\\
+k = 3 (3 балла);\\
+k = 4 (4 балла).
+[[problem_9|Решение задачи ММ9]]
+----
+=====ММ8=====
+**Конкурсная задача ММ8** (8 баллов)
+Последовательность задана по правилу:\\
+f(n) = -1, если n mod 53 = 0\\
+f(n) = n (mod (n mod 53)), в остальных слyчаях
+. Каков maximum значений f(n) (1 балл)\\
+. При каком наименьшем n достигается maximum. (1 балл)\\
+. Какое максимальное количество единиц, идyщих подряд, встречается в этой последовательности. (3 балла)\\
+. Какие числа встречаются в последовательности чаще чем -1? (3 балла)
+[[problem_8|Решение задачи ММ8]]
+----
+=====ММ7=====
+**Конкурсная задача ММ7** (7 баллов)
+На сколько кубов можно разрезать куб?
+[[problem_7|Решение задачи ММ7]]
+----
+=====ММ6=====
+**Конкурсная задача ММ6** (5 баллов)
+Какова вероятность того, что три случайных числа из интервала (0; 1) (распределение равномерное, выбор независим) являются сторонами тупоугольного треугольника?
+[[problem_6|Решение задачи ММ6]]
+----
+=====ММ5=====
+**Конкурсная задача ММ5** (3 баллов)
+При каком наименьшем натуральном d (натуральный ряд начинается с 1) существует арифметическая прогрессия с разностью d, в которой встречаются 7 простых чисел подряд?
+[[problem_5|Решение задачи ММ5]]
+----
+=====ММ4=====
+**Конкурсная задача ММ4** (5 баллов)
+Обозначим через f(n) количество представлений натурального числа n в виде суммы максимально возможного числа попарно различных натуральных слагаемых.
+Например, число 14 можно представить в виде суммы максимум 4-х попарно различных слагаемых. Поскольку таких представлений всего 5 (14 = 1+2+3+8 = 1+2+4+7 = 1+2+5+6 = 1+3+4+6 = 2+3+4+5), заключаем f(14) = 5.
+Среди натуральных чисел, не превосходящих 1 000 000 000, найти число n, для которого f(n) максимально.
+[[problem_4|Решение задачи ММ4]]
+----
+=====ММ3=====
+**Конкурсная задача ММ3** (5 баллов)
+Некий путешественник, идя по дороге в стране, где живут рыцари и лжецы, встретил группу из нескольких местных жителей. Каждый из встреченных по-очереди произнес две фразы (причем первые фразы зависели от порядкового номера говорящих, а вторые были одинаковы). k-й по счету сказал:
+"Среди нас не более k рыцарей. Среди моих спутников есть лжецы."
+Сколько человек встретил путешественник?
+Напомню, что в задачках такого типа рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.
+[[problem_3|Решение задачи ММ3]]
+----
+=====ММ2=====
+**Конкурсная задача ММ2** (7 баллов)
+Пусть P - периметр выпуклого n-угольника, а S - сумма длин его диагоналей.
+Найти диапазон изменения P/S при:\\
+n = 4; (2 балла)\\
+n = 5; (2 балла)\\
+произвольном n, большем 3; (3 балла)
+[[problem_2|Решение задачи ММ2]]
+----
+=====ММ1=====
+**Конкурсная задача ММ1** (5 баллов)
+Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли.
+При каком n вероятность выигрыша максимальна?
+[[problem_1|Решение задачи ММ1]]
+----
+----
+* [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]]
+* [[http://www-old.fizmat.vspu.ru/konkurs/archive.htm| Архив MM1-MM60 в HTML]]