marathon:мм61-100 [2015/10/20 13:51] letsko [Old] |
marathon:мм61-100 [2020/05/27 00:32] (текущий) letsko [ММ66] |
| |
| * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]] |
| ---- |
| ---- |
| |
===== ММ100 ===== | ===== ММ100 ===== |
| |
- Хорошо. Дальше.\\ | - Хорошо. Дальше.\\ |
- Так... Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных | - Так... Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных |
квадратов. Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... \\ | квадратов.\\ |
А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера...\\ | - Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... \\ |
Все! Больше ничего не помню. | - А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера...\\ |
| - Все! Больше ничего не помню. |
| |
1. Помогите Васе спасти человечество.\\ | 1. Помогите Васе спасти человечество.\\ |
В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. | В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. |
В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. | В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. |
в терминах задачи 48 турнир оказался правильным).\\ | в терминах задачи 48 турнир оказался строгим).\\ |
На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, | На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, |
заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы | заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы |
===== ММ66 ===== | ===== ММ66 ===== |
| |
Это задача не входит в тематический конкурс. | Эта задача не входит в тематический конкурс. |
Результат учитывется только в основном зачете Марафона. | Результат учитывется только в основном зачете Марафона. |
| |
а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа. | а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа. |
| |
Узвав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог: | Узнав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог: |
| |
А: Я не знаю этих чисел.\\ | А: Я не знаю этих чисел.\\ |
---- | ---- |
| |
===== Old ===== | |
[[old|Решение задач 1-38]] | |
---- | ---- |
| =====ММ60===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ60** (12 баллов) |
| |
| Триша Тройкин, Петя Пятаков и Сёма Семак пытаются сконструировать собственный генератор псевдослучайных чисел. |
| Для этого они взяли натуральные числа a и m (одни и те же у всех троих) и выстраивают последовательность по правилу: |
| |
| x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub>a (mod m). |
| |
| Начав с некоторого x<sub>1</sub>, Триша посчитал x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> и x<sub>4</sub>. Но x<sub>4</sub> оказалось равно x<sub>1</sub>. |
| Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x<sub>1</sub>. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату. |
| |
| Петя совершил пять попыток подобрать x<sub>1</sub>. Но всякий раз получал новые циклы длины 5. |
| Наиболее упорным оказался Сёма. Он совершил семь попыток. И получил семь циклов длины 7. |
| |
| При каком наименьшем m могла возникнуть такая ситуация? |
| |
| [[problem_60|Решение задачи ММ60]] |
| ---- |
| |
| |
| |
| |
| =====ММ59===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ59** (8 баллов) |
| |
| Сколько существует гомоморфизмов из кольца классов вычетов по модулю m в кольцо классов вычетов по модулю n? |
| |
| [[problem_59|Решение задачи ММ59]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ58===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ58** (8 баллов) |
| |
| Обозначим через T(n) количество треугольников периметра n с целочисленными длинами сторон. |
| |
| 1) Конечно ли множество таких n, которые делят T(n)?\\ |
| 2) Конечно ли, множество таких n, при которых T(n) является полным квадратом?\\ |
| 3) Какие n встречаются чаще: те, при которых T(n) кратно 173, или те, при которых T(n) кратно 211? |
| |
| [[problem_58|Решение задачи ММ58]] |
| |
| |
| ---- |
| |
| =====ММ57===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ57** (10 баллов) |
| |
| Назовем многоугольник ординарным, если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника. |
| |
| 1) На сколько частей разбивают диагонали ординарный многоугольник?\\ |
| 2) Верно ли, что при фиксированном n среди частей, на которые разбивается диагоналями ординарный многоугольник всегда одно и тоже число треугольников?\\ |
| 3) При каком минимальном n в разбиении ординарного многоугольника может получиться восьмиугольник?\\ |
| 4) Существует ли ординарный многоугольник, в разбиении которого получается больше пятиугольников, чем треугольников?\\ |
| 5) При каких n существуют разбиения ординарного многоугольника, содержащие только треугольники и четырехугольники? |
| |
| [[problem_57|Решение задачи ММ57]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ56===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ56** (12 баллов) |
| |
| Назовем трехпарным число, допускающее представление в виде суммы трех взаимно простых натуральных слагаемых, любые два из которых не взаимно просты. Конечно ли множество натуральных чисел, не являющихся трехпарными? |
| |
| [[problem_56|Решение задачи ММ56]] |
| |
| ---- |
| |
| =====ММ55===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ55** (7 баллов) |
| |
| Через точку внутри тетраэдра провели 4 плоскости, параллельные граням. На сколько частей разобьется тетраэдр? (1 балл) |
| Какой наименьший объем может иметь тетраэдр, если объемы частей попарно различны и целочисленны? (6 баллов). |
| |
| [[problem_55|Решение задачи ММ55]] |
| ---- |
| |
| =====ММ54===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ54** (3 балла) |
| |
| Доказать, что максимум площадей четырехугольников со сторонами a, b, c, d не зависит от порядка следования сторон. |
| |
| [[problem_54|Решение задачи ММ54]] |
| ---- |
| |
| =====ММ53===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ53** (8 баллов) |
| |
| Найти самое маленькое число, допускающее представление в виде суммы шести слагаемых, обладающее следующими свойствами:\\ |
| 1) каждое слагаемое является натуральным числом;\\ |
| 2) любые два слагаемых не взаимно просты;\\ |
| 3) любые три слагаемых взаимно просты;\\ |
| 4) сумма любых четырех слагаемых кратна 4;\\ |
| 5) сумма любых пяти слагаемых кратна 5. |
| |
| [[problem_53|Решение задачи ММ53]] |
| ---- |
| |
| =====ММ52===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ52** (11 баллов) |
| |
| Конечно ли множество натуpальных чисел m таких, что количество обpатимых элементов в кольце классов вычетов по модулю m pавно количеству квадpатов в том же кольце? |
| |
| [[problem_52|Решение задачи ММ52]] |
| ---- |
| |
| =====ММ51===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ4** (3 балла) |
| |
| 1) Какое наибольшее (при данном n) число можно получить, расставляя скобки в выражении 1:2:3:...:n? (1 балл)\\ |
| 2) Верно ли, что для любого положительного рационального числа a существуют такое n и такой способ расстановки скобок, что значение выражения 1:2:3:...:n станет равным а? (2 балла) |
| |
| [[problem_51|Решение задачи ММ51]] |
| ---- |
| |
| =====ММ50===== |
| |
| Задача ММ50 является прямым продолжением и обобщением задачи ММ13 |
| |
| **Конкурсная задача ММ50** (13 баллов) |
| |
| Зададим на множестве V = {1,2,3,...,n} структуру графа, полагая, что вершины x и y из V смежны тогда и только тогда, когда |
| ¦x-y¦ = u или ¦x-y¦ = v, где u и v - некоторые фиксированные (для данного графа) натуральные числа (u меньше v). Полученный граф обозначим G(u,v,n). |
| |
| 1. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы граф G(u,v,n) был:\\ |
| 1.1) связен;\\ |
| 1.2) цепью;\\ |
| 1.3) циклом;\\ |
| (3 балла) |
| |
| 2. Пусть 2u < v, НОД(u,v) = 1, u+v - нечетно. Доказать, что найдется такое n<sub>0</sub>, что для всех n > n<sub>0</sub> граф G(u,v,n) - гамильтонов (т.е. в нем есть простой цикл, содержащий все вершины). (10 баллов) |
| |
| Замечание.\\ |
| Я убежден, что условие "2u меньше v" в пункте 2 является избыточным. Однако на момент опубликования задачи я не умел доказывать утверждение пункта 2 без этого ограничения. |
| |
| [[problem_50|Решение задачи ММ50]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| |
| =====ММ49===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ49** (3 балла) |
| |
| Для каждого натуpального числа a, чеpез m(a) обозначим мощность множества {HОД(x<sup>12</sup>, x+a) | x ∈ N}.\\ |
| Решить в натуральных числах уравнение: m(a) = a |
| |
| [[problem_49|Решение задачи ММ49]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ48===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ48** (7 баллов) |
| |
| Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть "строгой", если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир с строгой таблицей также будем называть "строгим". |
| |
| 1) Гросмейстер Грустин Попалов выиграл в строгом турнире больше партий, чем каждый из других участников. На каком месте мог он оказаться в итоге, если в турнире участвовало n шахматистов? |
| (2 балла) |
| |
| 2) Гроссмейстер Любомир Миролюбоевич шесть лет подряд играл в однокруговых рождественских турнирах в городе Зейк-ан-Вее. Каждый год он завершал все свои партии вничью, но год от года занимал все более высокое место. В каждом турнире было n участников и все они были строгие. При каком наименьшем n возможна такая ситуация? |
| (2 балла) |
| |
| 3) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбоевич, сыграв вничью, все партии строгого турнира при n участниках. |
| Найти явное выражение для d(n). (3 балла) |
| |
| [[problem_48|Решение задачи ММ48]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ47===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ47** (4 балла) |
| |
| В разностороннем треугольнике ABC провели биссектрису AD. При этом оказалось, что длины всех сторон треугольников ABD и ACD целочисленны. При каком наименьшем периметре треугольника ABC возможна такая ситуация? |
| |
| [[problem_47|Решение задачи ММ47]] |
| ---- |
| |
| =====ММ45-46===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ45-46** (30 баллов) |
| |
| Функция f(n) задается так: Натуральные числа от 1 до n расставлены по кругу. Начинаем отмечать числа 1, 2, 4, 7, 11, 16 и т.д. Значением f(n) будет то число, которое первым будет отмечено повторно. |
| |
| 45.1) Доказать, что существует бесконечно много n, для которых f(n) = 500501. (5 баллов)\\ |
| 46.1) Найти явную формулу для f(3<sup>k</sup>). (4 балла)\\ |
| 46.2) Описать все такие n, для которых f(n) определяется на n+1-вом шаге, (т. е. все числа будут отмечены по разу, прежде чем какое-то будет отмечено повторно). Найти явное выражение f(n) для таких n. (4 балла)\\ |
| 46.3) Доказать, что на множестве нечетных простых чисел f(n) инъективна (т.е. f(p) не может равняться f(q), если p и q - различные нечетные простые числа). (7 баллов)\\ |
| 45.2) Верно ли, что для любого натурального m найдется n такое, что f(n) = m?\\ |
| 45.3) Верно ли, что существует бесконечно много таких n, для которых f(n) = n? |
| |
| [[problem_MM45-46|Решение задачи ММ45-46]] |
| ---- |
| |
| |
| |
| =====ММ44===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ44** (3 балла) |
| |
| Решить в натуральных числах:\\ |
| x<sup>y</sup> = (x + y)<sup>x</sup> (1) |
| |
| [[problem_44|Решение задачи ММ44]] |
| ---- |
| =====ММ43===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ43** (3 балла) |
| |
| Эта задача предложена для марафона Владиславом Франком. |
| |
| В вагоне экспресса Дакс-Бордо n мест.\\ |
| Человек заходит в вагон, имея билет без места. Он знает, что в вагоне свободно ровно одно место. Садится на произвольное. Потом начинают заходить пассажиры, знающие, где они должны сидеть. Иногда его сгоняют и он пересаживается на произвольное оставшееся место. И так пока вагон не заполнится. |
| Найти матожидание числа пересадок. |
| |
| [[problem_43|Решение задачи ММ43]] |
| ---- |
| |
| =====ММ42===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ42** (3 балла) |
| |
| Вновь муха и тетраэдр. |
| |
| На этот раз правильный тетраэдр со стороной в 1 метр поставили на плоскость, а точечных размеров муха ползет от одной из вершин основания так, что угол наклона ее траектории к плоскости основания остается постоянным и равняется arcsin √(2/21).\\ |
| Какое расстояние преодолеет муха, когда она доползет до вершины тетраэдра?\\ |
| Сколько раз муха пересечет ребра тетраэдра к тому моменту, когда позади останется 90% пути? |
| |
| [[problem_42|Решение задачи ММ42]] |
| ---- |
| |
| =====ММ41===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ41** (3 балла) |
| |
| Двое играют в такую игру:\\ |
| Игроки A и B выставляют на кон по банкноте одинакового достоинства, на каждой из которых имеется семизначный номер. Игроки сравнивают соответствующие (стоящие в одинаковых позициях) цифры номеров. Если i-я цифра на банкноте игрока A больше i-й цифры на банкноте B, то A получает зачетный балл. |
| Побеждает (и забирает банкноту противника) тот, кто наберет больше зачетных баллов. В случае равенства баллов игроки остаются при своих.\\ |
| Например, если у A номер банкноты 4987200, а у B - 4007311, то со счетом 3:2 победит B.\\ |
| Какую наименьшую сумму цифр может иметь номер банкноты, для которой математическое ожидание выигрыша положительно? |
| |
| [[problem_41|Решение задачи ММ41]] |
| ---- |
| |
| |
| |
| =====ММ40===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ40** (4 балла) |
| |
| Правильный тетраэдр со стороной в 1 метр находится в подвешенном состоянии. На одну из его вершин села муха точечных размеров и поползла по прямой по грани (не ребру) тетраэдра. С грани на грань муха переползает так, что на развертке тетраэдра ее путь оставался бы прямолинейным. Преодолев расстояние в целое число метров, не превосходящее десяти, муха вновь оказалась в вершине. Сколько метров проползла муха и сколько раз побывала при этом на грани, с которой начала движение? |
| |
| [[problem_40|Решение задачи ММ40]] |
| ---- |
| =====ММ39===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ39** (8 баллов) |
| |
| Эта задачка перекликается с задачей №29.\\ |
| В качестве основания системы счисления рассматриваются натуральные числа, большие 1. |
| |
| Назовем число "полукубическим", если, приписывая его себе, получим куб некоторого натурального (натуральный ряд начинается с 1).\\ |
| 1) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют полукубические числа. (1 балл)\\ |
| 2) Привести пример таких a и g, что в системе счисления с основанием g число a будет трехзначным полукубическим числом. (2 балла)\\ |
| 3) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют двузначные полукубические числа. (5 баллов) |
| |
| [[problem_39|Решение задачи ММ39]] |
| ---- |
| |
| =====ММ38===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ8** (3 балла) |
| |
| Обозначим через f(n) количество последовательностей длины n из нулей, единиц и двоек таких, что никакие две единицы и никакие две двойки не могут стоять в них подряд. Найти явную формулу для f(n). |
| |
| [[problem_38|Решение задачи ММ38]] |
| ---- |
| |
| =====ММ37===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ37** (13 баллов) |
| |
| Монетный двор Дурляндии чеканит монеты трех достоинств: 6, 10 и 15 дурок.\\ |
| 1) Некоторые суммы (в целое число дурок) в принципе не могут быть набраны дурляндскими монетами. Какова максимальная из них? (2 балла);\\ |
| 2) Доказать, что два дурляндца, в кошельках которых достаточно монет подходящих достоинств, всегда смогут осуществить взаиморасчет с точностью до одной дурки (1 балл);\\ |
| 3) Обобщить 1-й пункт задачи на случай монет достоинством в ab, ac и bc дурок, где a, b и c - попарно взаимно простые натуральные числа (5 баллов);\\ |
| 4) Обобщить 3-й пункт задачи на случай монет достоинством в\\ |
| <m>a_1a_2...a_{n-2}a_{n-1}, a_1a_2...a_{n-2}a_n,..., a_1a_3...a_{n-1}a_n, a_2a_3...a_{n-1}a_n</m> дурок, где <m>a_1, a_2, ...a_n</m> - попарно взаимно простые числа. (5 баллов). |
| |
| [[problem_37|Решение задачи ММ37]] |
| ---- |
| |
| =====ММ36===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ36** (5 баллов) |
| |
| Функция f сопоставляет каждому натуральному числу n сумму остатков от деления n на все натуральные числа, меньшие n.\\ |
| 1) описать все такие n, для которых f(n) = n; (2 балла)\\ |
| 2) Доказать, что для любого натурального k f(2<sup>k</sup>) = f(2<sup>k</sup> - 1). (3 балла)\\ |
| |
| [[problem_36|Решение задачи ММ36]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ35===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ35** (5 баллов) |
| |
| Васе и Пете задали задачку:\\ |
| "В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого угла. В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Найти их радиусы."\\ |
| Васе и Пете были известны конкретные числовые значения a и b.\\ |
| У Васи получились ответы 3 и <m>sqrt 3</m>, а у Пети - 2 и <m>sqrt 2</m>. |
| Кто из них ошибся? |
| |
| [[problem_35|Решение задачи ММ35]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ34===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ34** (4 балла) |
| |
| Последовательность задана рекуррентно: |
| |
| <m>f(0) = 0, f(n+1) = {3f(n) + sqrt{5f(n)^2 + 4}}/2</m> |
| |
| Доказать, что она целочисленная. |
| |
| [[problem_34|Решение задачи ММ34]] |
| ---- |
| |
| =====ММ33===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ33** (10 баллов) |
| |
| Пусть E, F, G и H - середины сторон BC, CD, DA и AB четырехугольника ABCD, а K, L, M и N - точки пересечения прямых AE и BF, BF и CG, CG и DH, DH и AE соответственно. Назовем четырехугольник KLMN сопутствующим четырехугольником четырехугольника ABCD. |
| |
| Пусть, далее, ABC - некоторый треугольник. |
| Описать геометрическое место точек D таких, что сопутствующий четырехугольник четырехугольника ABCD - трапеция. |
| |
| [[problem_33|Решение задачи ММ33]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ32===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ32** (3 баллов) |
| |
| Рассмотрим векторы, координаты которых в некотором ортонормированном базисе n-мерного пространства представляют собой перестановки множества {1, 2,.., n}. Каким может быть максимальный угол между такими векторами? |
| |
| [[problem_32|Решение задачи ММ32]] |
| ---- |
| |
| =====ММ31===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ31** (7 баллов) |
| |
| Пусть S<sub>n</sub> - симметрическая группа (т.е. группа, образованная всеми биекциями множества {1, 2,..., n} на себя относительно операции композиции) и O<sub>n</sub> - множество порядков всех элементов S<sub>n</sub>.\\ |
| 1) Могут множества O<sub>n</sub> совпадать при различных n? (2 балла)\\ |
| 2) Найти наименьшее n такое, что максимальные элементы множеств O<sub>n</sub> и O<sub>n+3</sub> равны. (5 баллов) |
| |
| [[problem_31|Решение задачи ММ31]] |
| ---- |
| |
| =====ММ30===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ30** (3 балла) |
| |
| Доказать, что для любого натурального числа n, можно подобрать множество M из n (разумеется, попарно различных) натуральных чисел таких, что сумма чисел из любого непустого подмножества M не является квадратом натурального числа. |
| |
| [[problem_30|Решение задачи ММ30]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ29===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ29** (7 баллов) |
| |
| Назовем натуральное число "полуквадратным", если приписывая это число само к себе, получим квадрат натурального числа.\\ |
| 1) существуют ли полуквадратные числа в десятичной системе счисления? (2 балла)\\ |
| 2) для каких g (натуральных, больших 1) в системе счисления с основанием g существуют полуквадратные числа? (5 баллов) |
| |
| [[problem_29|Решение задачи ММ29]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ28===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ28** (5 баллов) |
| |
| Васе Пупкину задали задачку:\\ |
| 'В квадрат с целочисленной стороной a вписан правильный треугольник, площадь которого также выражается целым числом. Найти площадь треугольника.' |
| Вася (которому число a было известно) выяснил, что задача имеет единственное решение, и имела бы единственное решение и для квадрата со стороной 2a. |
| Чему равна площадь треугольника? |
| |
| [[problem_28|Решение задачи ММ28]] |
| ---- |
| |
| =====ММ27===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ27** (12 баллов) |
| |
| Эта задача перекликается с задачей №9 и отчасти с задачами ММ11 и ММ7. |
| |
| Граф G задан на множестве V = {1, 2,..., n} по правилу:\\ |
| вершины a и b соединены ребром, если a+b есть квадрат натурального числа. |
| |
| При каком наименьшем n в G есть:\\ |
| 1) циклы?\\ |
| 2) циклы четной длины?\\ |
| 3) четырехвершинная клика?\\ |
| 4) Те же вопросы, что и в п.п. 1-3, для графа заданного на множестве V по правилу:\\ |
| вершины a и b соединены ребром, если a+b есть куб натурального числа. |
| |
| Напомню, что клика - это такое подмножество вершин графа, что любые две из них соединены ребром. |
| |
| [[problem_27|Решение задачи ММ27]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ26===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ26** (9 баллов) |
| |
| Описать все натуральные n, для которых задача "Найти все натуральные k, кратные t, и имеющие ровно n натуральных делителей" (1) имеет единственное решение, если:\\ |
| 1) t = n;\\ |
| 2) t = 2n;\\ |
| 3) t = n<sup>2</sup>. |
| |
| [[problem_26|Решение задачи ММ26]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ25===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ25** (4 балла) |
| |
| Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры? |
| |
| [[problem_25|Решение задачи ММ25]] |
| ---- |
| |
| =====ММ24===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ24** (8 баллов) |
| |
| Описать г.м.т, равноудаленных от:\\ |
| 1) плоскости и не принадлежащей ей точки;\\ |
| 2) прямой и не принадлежащей ей точки;\\ |
| 3) двух пересекающихся прямых;\\ |
| 4) двух скрещивающихся прямых;\\ |
| 5) плоскости и перпендикулярной к ней прямой;\\ |
| 6) плоскости и наклонной к ней прямой. |
| |
| (Во всех пунктах рассмотрение проводится в трехмерном евклидовом пространстве. Для описания достаточно указать тип возникающей поверхности и ее расположение по отношению к заданным объектам.) |
| |
| [[problem_24|Решение задачи ММ24]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ23===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ23** (8 баллов) |
| |
| Верно ли, что у любого тетраэдра есть сечение, являющееся:\\ |
| а) параллелограммом;\\ |
| б) ромбом;\\ |
| в) прямоугольником;\\ |
| г) квадратом;\\ |
| д) трапецией;\\ |
| е) равнобочной трапецией;\\ |
| ж) равнобедренным треугольником;\\ |
| з) правильным треугольником?\\ |
| |
| (Под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.) |
| |
| [[problem_23|Решение задачи ММ23]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ22===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ22** (6 баллов) |
| |
| У одного султана было два мудреца Али и Вали. В очередной раз обеспокоившись, не зря ли они едят свой хлеб с шербетом, султан вызвал мудрецов и сказал:\\ |
| - Прошлый раз вы успешно выдержали испытание, разгадав задуманные два числа. Но он было слишком легким. На этот раз я задумал три разных числа от 1 до 9. Али я сообщу их произведение, а Вали их сумму. После этого вы должны будете разгадать эти числа.\\ |
| Узнав произведение и сумму, мудрецы, как обычно, сначала задумались, а затем разговорились. |
| |
| А: Эх, если бы чисел как и в прошлый раз было два, я бы уже знал их. Но сейчас я их не знаю.\\ |
| В: Я тоже пока не знаю этих чисел.\\ |
| А: Зато я знаю их! |
| |
| Что это за числа? |
| |
| [[problem_22|Решение задачи ММ22]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ21===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ21** (10 баллов) |
| |
| Доказать, что уравнение <m>{x_1}^2 + {x_2}^3 + ... + {x_{n-2}}^{n-1} = {x_{n-1}}^{n}</m> (1) имеет бесконечно много решений в натуральных числах:\\ |
| a) при любом нечетном простом n (4 балла);\\ |
| б) при n=9 (6 баллов). |
| |
| [[problem_21|Решение задачи ММ21]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ20===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ20** (6 баллов) |
| |
| Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба. |
| |
| [[problem_20|Решение задачи ММ20]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ19===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ19** (6 баллов) |
| |
| Функция f(x) задана кусочно по правилу:\\ |
| f(x) = 4x+4 при x ≤ -1;\\ |
| f(x) = 0 при -1 < x ≤ 1;\\ |
| f(x) = x-1 при 1 < x ≤ 2;\\ |
| f(x) = 3-x при x > 2. |
| |
| Задать f(x) с помощью одного выражения, используя только знаки арифметических действий и абсолютной величины (разумеется значок 'x' и числовые коэффициенты тоже можно использовать). |
| |
| [[problem_19|Решение задачи ММ19]] |
| ---- |
| |
| =====ММ18===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ18** (3 балла) |
| |
| Найти все простые p, такие что числа 2+6p<sup>2</sup>+2p+3, 4p<sup>3</sup>+10p<sup>2</sup>+2p+9, 5p<sup>3</sup>+10p<sup>2</sup>+2p+12, 5p<sup>3</sup>+8p<sup>2</sup>+7p+5 просты. |
| |
| [[problem_18|Решение задачи ММ18]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ17===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ17** (5 баллов) |
| |
| Путник, оказавшийся на остpове, где живут pыцаpи (всегда говоpят пpавду) и лжецы (всегда вpут) встpетил гpуппу туземцев из семи человек. Hа плащах у туземцев кpасовались буквы A, B, C, D, E, F и G (по одной на каждого абоpигена).\\ |
| На вопрос странника о возрасте их вождя (в дальнейшем для краткости он обозначен буквой n) туземцы произнесли следующее:\\ |
| A: Если n < 60, то я рыцарь.\\ |
| B: Если F - рыцарь, то я лжец.\\ |
| C: G - лжец, а n+4 - составное.\\ |
| D: То, что я лжец, равносильно тому, что С - лжец.\\ |
| E: C - лжец или n+2 - составное.\\ |
| F: Если E - рыцарь, то n - составное.\\ |
| G: A - рыцарь или n+32 - составное.\\ |
| Сколько лет вождю? |
| |
| [[problem_17|Решение задачи ММ17]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ16===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ16** (8 баллов) |
| |
| Эта задача перекликается с задачей ММ15\\ |
| Вновь рассматриваются перестановки множества {1,2,...n}.\\ |
| Назовем перестановку правильной, если она не оставляет на месте ни одного элемента множества {1,2,...n}. Сколько существует правильных перестановок для n=20? |
| |
| [[problem_16|Решение задачи ММ16]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ15===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ15** (9 баллов) |
| |
| В качестве вводной предлагается задачка из конкурса 'Кенгуру' 1998 года:\\ |
| Мама печет 6 пирогов: сначала пирог с абрикосами (А), потом с брусникой (Б), с вишней (В), с грибами (Г), с джемом (Д) и с ежевикой (Е). Пока она этим занимается, на кухню иногда забегают дети и каждый раз съедают самый горячий пирог. В каком порядке не могли быть съедены пироги?\\ |
| 1) АБВГДЕ; 2) АБДГВЕ; 3) ВБДГЕА; 4) ГДЕБВА; 5) ЕДГВБА. (1 балл) |
| |
| А теперь основная часть задачи:\\ |
| Назовем перестановку множества {1,2,...,n} возможной, если она удовлетворяет условию вводной задачки. Сколько возможных перестановок для n=20? (8 баллов) |
| |
| [[problem_15|Решение задачи ММ15]] |
| ---- |
| |
| =====ММ14===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ14** (4 баллов) |
| |
| Какой наименьший порядок может иметь подгруппа группы аффинных преобразований плоскости, содержащая хотя бы одно преобразование, отличное от движения? |
| |
| Примечание\\ |
| Напомню, что движением плоскости называется ее преобразование (т.е. биективное отображение на себя), сохраняющее расстояние. Иными словами, расстояние между любыми двумя точками плоскости равно расстоянию между образами этих точек. |
| Аффинным называется преобразование плоскости, сохраняющее прямолинейность. Иными словами, при аффинном преобразовании образы трех точек, лежащих на одной прямой, снова лежат на одной прямой. |
| |
| [[problem_14|Решение задачи ММ14]] |
| ---- |
| |
| =====ММ13===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ13** (8 баллов) |
| |
| |
| (Эта задачка была предложена Ольгой Рукосуевой в конференции RU.Golovolomka. Но не вызвала особого интереса. На мой взгляд, зря.) |
| |
| Для каких натуральных n можно расставить числа 1,2,...n по окружности так, чтобы абсолютная величина разности соседних чисел равнялась 3, 4 или 5. |
| |
| [[problem_13|Решение задачи ММ13]] |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ12===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ12** (5 баллов) |
| |
| В магазине имеются следующие товары (по одной штуке каждого):\\ |
| Общая тетрадь - 21 p.\\ |
| Коврик для мыши - 35 p.\\ |
| Шампунь - 49 p.\\ |
| Пила - 56 p.\\ |
| Энциклопедия на компакт-диске - 63 p.\\ |
| Набор отверток - 72 p.\\ |
| Кружка - 75 p.\\ |
| Нож - 77 p.\\ |
| Мышь для коврика - 107 p.\\ |
| Альбом для фото - 119 p.\\ |
| Кастрюля - 126 p.\\ |
| Книжка по Delphi - 147 p.\\ |
| Часы - 203 p.\\ |
| Настольная лампа - 282 p.\\ |
| Первым в магазин зашел Вася Пупкин. После него - Петя Покупкин. Когда в магазин прибежал Федя Плоскогубкин, то там оставался всего один товар. Что купил Вася Пупкин, если известно, что он потратил в два раза меньше денег, чем Петя Покупкин? |
| |
| [[problem_12|Решение задачи ММ12]] |
| ---- |
| |
| =====ММ11===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ11** (5 баллов) |
| |
| Существует ли тетраэдр (под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида), все грани которого прямоугольные треугольники и при этом прямые углы распределены по вершинам тетраэдра так:\\ |
| а) (3, 1, 0, 0); (1 балл)\\ |
| б) (2, 2, 0, 0); (1 балл)\\ |
| в) (2, 1, 1, 0); (1 балл)\\ |
| г) (1, 1, 1, 1)? (2 балла)\\ |
| д) Существует ли тетраэдр, все грани которого прямоугольные треугольники, а все ребра имеют целочисленную длину? (3 балла) |
| |
| [[problem_11|Решение задачи ММ11]] |
| ---- |
| |
| =====ММ10===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ10** (5 баллов) |
| |
| Задать во множестве целых чисел Z две бинарные операции (+) и (*) так, чтобы относительно этих операций множество Z стало коммутативным кольцом с единицей, в котором число 1 было бы нейтральным элементом по сложению (т.е. в аддитивной группе кольца), а число 0 - нейтральным элементом по умножению. |
| |
| [[problem_10|Решение задачи ММ10]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ9===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ9** (9 баллов) |
| |
| Пусть k - фиксированное натуральное число.\\ |
| Рассмотрим граф, вершинами которого являются натуральные числа (таким образом, число вершин бесконечно). |
| Вершины a и b соединены ребром, если a+b есть k-тая степень некоторого натурального числа. |
| Доказать, что граф связен при:\\ |
| k = 2 (2 балла);\\ |
| k = 3 (3 балла);\\ |
| k = 4 (4 балла). |
| |
| [[problem_9|Решение задачи ММ9]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ8===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ8** (8 баллов) |
| |
| Последовательность задана по правилу:\\ |
| f(n) = -1, если n mod 53 = 0\\ |
| f(n) = n (mod (n mod 53)), в остальных слyчаях |
| |
| 1. Каков maximum значений f(n) (1 балл)\\ |
| 2. При каком наименьшем n достигается maximum. (1 балл)\\ |
| 3. Какое максимальное количество единиц, идyщих подряд, встречается в этой последовательности. (3 балла)\\ |
| 4. Какие числа встречаются в последовательности чаще чем -1? (3 балла) |
| |
| [[problem_8|Решение задачи ММ8]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ7===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ7** (7 баллов) |
| |
| На сколько кубов можно разрезать куб? |
| |
| [[problem_7|Решение задачи ММ7]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ6===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ6** (5 баллов) |
| |
| Какова вероятность того, что три случайных числа из интервала (0; 1) (распределение равномерное, выбор независим) являются сторонами тупоугольного треугольника? |
| |
| [[problem_6|Решение задачи ММ6]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ5===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ5** (3 баллов) |
| |
| При каком наименьшем натуральном d (натуральный ряд начинается с 1) существует арифметическая прогрессия с разностью d, в которой встречаются 7 простых чисел подряд? |
| |
| [[problem_5|Решение задачи ММ5]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| |
| =====ММ4===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ4** (5 баллов) |
| |
| Обозначим через f(n) количество представлений натурального числа n в виде суммы максимально возможного числа попарно различных натуральных слагаемых. |
| Например, число 14 можно представить в виде суммы максимум 4-х попарно различных слагаемых. Поскольку таких представлений всего 5 (14 = 1+2+3+8 = 1+2+4+7 = 1+2+5+6 = 1+3+4+6 = 2+3+4+5), заключаем f(14) = 5. |
| |
| Среди натуральных чисел, не превосходящих 1 000 000 000, найти число n, для которого f(n) максимально. |
| |
| [[problem_4|Решение задачи ММ4]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ3===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ3** (5 баллов) |
| |
| Некий путешественник, идя по дороге в стране, где живут рыцари и лжецы, встретил группу из нескольких местных жителей. Каждый из встреченных по-очереди произнес две фразы (причем первые фразы зависели от порядкового номера говорящих, а вторые были одинаковы). k-й по счету сказал: |
| "Среди нас не более k рыцарей. Среди моих спутников есть лжецы." |
| Сколько человек встретил путешественник? |
| Напомню, что в задачках такого типа рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. |
| |
| [[problem_3|Решение задачи ММ3]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ2===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ2** (7 баллов) |
| |
| Пусть P - периметр выпуклого n-угольника, а S - сумма длин его диагоналей. |
| Найти диапазон изменения P/S при:\\ |
| n = 4; (2 балла)\\ |
| n = 5; (2 балла)\\ |
| произвольном n, большем 3; (3 балла) |
| |
| [[problem_2|Решение задачи ММ2]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| =====ММ1===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ1** (5 баллов) |
| |
| Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли. |
| При каком n вероятность выигрыша максимальна? |
| |
| [[problem_1|Решение задачи ММ1]] |
| |
| ---- |
| ---- |
| |
| * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]] |
| |
| * [[http://www-old.fizmat.vspu.ru/konkurs/archive.htm| Архив MM1-MM60 в HTML]] |
| |