marathon:мм61-100 [2016/10/10 19:26] letsko [ММ48] |
marathon:мм61-100 [2020/05/27 00:32] (текущий) letsko [ММ66] |
| |
| * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]] |
| ---- |
| ---- |
| |
===== ММ100 ===== | ===== ММ100 ===== |
| |
- Хорошо. Дальше.\\ | - Хорошо. Дальше.\\ |
- Так... Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных | - Так... Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных |
квадратов. Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... \\ | квадратов.\\ |
А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера...\\ | - Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... \\ |
Все! Больше ничего не помню. | - А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера...\\ |
| - Все! Больше ничего не помню. |
| |
1. Помогите Васе спасти человечество.\\ | 1. Помогите Васе спасти человечество.\\ |
В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. | В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. |
В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. | В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. |
в терминах задачи 48 турнир оказался правильным).\\ | в терминах задачи 48 турнир оказался строгим).\\ |
На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, | На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, |
заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы | заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы |
===== ММ66 ===== | ===== ММ66 ===== |
| |
Это задача не входит в тематический конкурс. | Эта задача не входит в тематический конкурс. |
Результат учитывется только в основном зачете Марафона. | Результат учитывется только в основном зачете Марафона. |
| |
x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub>a (mod m). | x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub>a (mod m). |
| |
Начав с некоторого x<sub>1</sub>1, Триша посчитал x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> и x<sub>4</sub>. Но x<sub>4</sub> оказалось равно x<sub>1</sub>. | Начав с некоторого x<sub>1</sub>, Триша посчитал x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> и x<sub>4</sub>. Но x<sub>4</sub> оказалось равно x<sub>1</sub>. |
Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x<sub>1</sub>. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату. | Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x<sub>1</sub>. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату. |
| |
| |
45.1) Доказать, что существует бесконечно много n, для которых f(n) = 500501. (5 баллов)\\ | 45.1) Доказать, что существует бесконечно много n, для которых f(n) = 500501. (5 баллов)\\ |
46.1) Найти явную формулу для f(3k). (4 балла)\\ | 46.1) Найти явную формулу для f(3<sup>k</sup>). (4 балла)\\ |
46.2) Описать все такие n, для которых f(n) определяется на n+1-вом шаге, (т. е. все числа будут отмечены по разу, прежде чем какое-то будет отмечено повторно). Найти явное выражение f(n) для таких n. (4 балла)\\ | 46.2) Описать все такие n, для которых f(n) определяется на n+1-вом шаге, (т. е. все числа будут отмечены по разу, прежде чем какое-то будет отмечено повторно). Найти явное выражение f(n) для таких n. (4 балла)\\ |
46.3) Доказать, что на множестве нечетных простых чисел f(n) инъективна (т.е. f(p) не может равняться f(q), если p и q - различные нечетные простые числа). (7 баллов)\\ | 46.3) Доказать, что на множестве нечетных простых чисел f(n) инъективна (т.е. f(p) не может равняться f(q), если p и q - различные нечетные простые числа). (7 баллов)\\ |
=====ММ25===== | =====ММ25===== |
| |
**Конкурсная задача ММ25** (4 баллов) | **Конкурсная задача ММ25** (4 балла) |
| |
Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры? | Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры? |
=====ММ9===== | =====ММ9===== |
| |
**Конкурсная задача ММ9** 93 баллов) | **Конкурсная задача ММ9** (9 баллов) |
| |
Пусть k - фиксированное натуральное число.\\ | Пусть k - фиксированное натуральное число.\\ |
| |
---- | ---- |
| ---- |
| |
| * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]] |
| |
* [[http://www-old.fizmat.vspu.ru/konkurs/archive.htm| Архив MM1-MM60 в HTML]] | * [[http://www-old.fizmat.vspu.ru/konkurs/archive.htm| Архив MM1-MM60 в HTML]] |
| |