|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеММ100Юбилейная задача представляет собой по сути целый букет задач, связанных общей тематикой и общими идеями. Часть подзадач - известные (но, с учетом их красоты, на мой взгляд, недостаточно известные) утверждения. Другие - новые (хотелось бы надеяться не только для меня). Конкурсная задача ММ100 (17 баллов) Пусть Sn множество всех перестановок множества Mn = {1,2,3…,n}
1. Найти и обосновать рекуррентное выражение количества перестановок g из
Sn таких, что для всех k из Mn g(k) может отличаться от k: 2. Рассмотрим произвольный элемент из Sn и произвольное a из Mn. Найти вероятность того, что a входит в цикл длины k.
3. Для произвольного элемента g из Sn найти:
4. Вспомним, что Sn является группой относительно композиции перестановок. ММ99
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Конкурсная задача ММ99 (З-5) (8 баллов) Продолжить последовательность 0,0,1,0,3,4,6,0,1,8,6,4,6,6,13,8… Подсказка: при продолжении данная последовательность через некоторое время поведет себя весьма регулярно, а затем и вовсе стабилизируется. ММ98Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывается только в основном Маpафоне. Конкурсная задача ММ98 (7 баллов)
Васю Пупкина заслали в тыл врага с целью выявить секретный код, ввод которого
предотвратит термоядерный взрыв.
1. Помогите Васе спасти человечество. ММ97
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Конкурсная задача ММ97 (З-4) (3 балла) Продолжить последовательность 10, 21, 55, 253, 1081,… ММ96Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывается только в основном Маpафоне. Конкурсная задача ММ96 (6 баллов)
Двое играют в такую игру: ММ95
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Конкурсная задача ММ95 (З-3) (5 баллов) Продолжить последовательность 1, 4, 11, 20, 31, 44, 61, 100… ММ94Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс, но весьма близка к задачам этого конкурса по духу и происхождению. Формулировка задачи (характерная особенность 10-го тура Марафона) не является эталоном математической строгости. Эту строгость легко обеспечить, но мне представляется, что в предлагаемом виде задача выглядит поинтереснее. Конкурсная задача ММ94 (4 балла)
Чем замечательна пара чисел 568 и 638? ММ93Результат пpедлагаемой задачи (не) учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности. Конкурсная задача ММ93 (З-2) (8 баллов) Продолжить последовательность 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 184, 196, 225, 256, 280, 289, 316, 324, 340, 361, 364… ММ92Конкурсная задача ММ92 (6 баллов) Доказать, что натуральное число n является ненулевой степенью простого числа тогда и только тогда, когда n кратно n-ф(n), где ф(n) - функция Эйлера. ММ91
Результат пpедлагаемой задачи учитываtтся дважды: Конкурсная задача ММ91 (З-1) (3 балла) Продолжить последовательность 2017, 16073, 20089, 26113. ММ90Конкурсная задача ММ90 (5 баллов)
Первокурсник Вася Пупкин (умеющий быстро считать и знакомый с основами
теории вероятности) сел в троллейбус и купил билет. Закрыв пальцем
шестизначный номер билета, он стал открывать по одной цифре и высчитывать
вероятность того, что его билет окажется счастливым (т.е. сумма первых
трех цифр будет равна сумме трех последних). ММ89Конкурсная задача ММ89 (5 баллов)
Для каждого натурального n определим функцию f(n) так.
f(n) = k, если:
1. Доказать, что f(n) ≥ 2n+1. ММ88Конкурсная задача ММ88 (5 баллов) Доказать, что существует бесконечно много троек попарно различных ненулевых целых чисел (a, b, c) таких, что корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c и еще пяти квадратных трехчленов, полученных всевозможными перестановками коэффициентов a, b, c рациональны. Верно ли, что среди корней каждого из таких трехчленов обязательно есть целый? ММ87Эта задача является прямым продолжением задачи №70 Конкурсная задача ММ87 (12 баллов) Раньше в круговых турнирах по футболу была принята система подсчета очков, при которой за победу команде начислялось 2 очка, за ничью - 1 очко, а за поражение - 0 очков. Сейчас за победу команда получает 3 очка.
Обобщим эту ситуацию: Итоговую турнирную таблицу назовем строгой (в терминах задач 48 и 70 такие таблицы назывались правильными, но термин «строгая», представляется мне более удачным), если никакие две команды не набрали в итоге поровну очков. Турнир будем называть перевертышем, если порядок расположения команд в итоговой таблице при подсчете по старой системе будет обратен порядку их расположения при подсчете очков по новой системе и при этом обе таблицы будут строгими. Для заданных с1 и c2 определить наименьшее возможное число кругов в турнире-перевертыше.
Примечания: ММ86Конкурсная задача ММ86 (6 баллов) При каком соотношении между числами a, b, c, d прямоугольник со сторонами c, d можно накрыть прямоугольником со сторонами a, b.
Примечание: ММ85Эта задача является прямым продолжением задачи 83 Конкурсная задача ММ85 (8 баллов) Плоскость разлинована в клеточку (одна клека - квадрат со стороной 1). Доказать, что для любого натурального n найдется окружность, проходящая ровно через n узлов решетки. ММ84
Задача 84 являлась мини-конкурсом. Конкурсная задача ММ84 (9 баллов)
Имеется двадцать мешков, наполненных одинаковыми с виду монетами.
В первом мешке каждая монета имеет вес 20 грамм, во втором - 21,
в третьем 22, … в двадцатом - 39. Мешки перепутаны и расставлены
в случайном порядке. Примечания: 1. Мешки содержат, а весы вмещают (не теряя точности) столько монет, сколько потребуется для решения задачи. 2. 20 мешков взяты для того, чтобы исключить решение задачи компьютерным перебором. Впрочем, если кто-либо из участников сможет преодолеть эту трудность (и убедить ведущего в корректности компьютерного решения), оно будет принято ;) 3. 9 баллов будут присуждаться тем участникам, в решениях которых будет использовано столько же монет, сколько в решении ведущего (разумеется, достаточность указаного количества монет должна быть строго обоснована). За решения более (менее) оптимальные, чем решение ведущего, будет начисляться больше (меньше) девяти баллов. 4. Известное мне решение заведомо не оптимально. ММ83Эта задача навеяна рядом известных задач Гуго Штейнгауза. Конкурсная задача ММ83 (8 баллов)
Плоскость разлинована в клеточку (одна клека - квадрат со стороной 1).
Найти минимальный радиус окружности, проходящей через:
1) ровно 3 узла решетки;
Примечание: ММ82Конкурсная задача ММ82 (3 балла) Сколько решеный в натуральных числах имеет уравнение 1/x - 1/y = 1/2008 ? ММ81Эта задача является одновременно Новогодним конкурсом, наподобие одного из тех, что проводил в свое время журнал «Наука и жизнь». Конкурсная задача ММ81 (10 баллов)
Представить число 2008, используя знаки математических операций
(+, -, *, :, ^), круглые скобки, десятичную точку, знак квадратного корня,
факториал, а также по возможности наименьшее количество цифр:
Примечания: ММ80Конкурсная задача ММ80 (7 баллов)
Для произвольного треугольника обозначим через S, S1, S2 и S3 площади
исходного треугольника и треугольников, составленных соответственно из
медиан, биссектрис и высот исходного треугольника (при условии, что эти
треугольники существуют).
Примечания:
1. Прогрессию с нулевой разностью не предлагать. ММ79
Решение этой задачи учитываtтся дважды: Конкурсная задача ММ79 (А-5) (4 балла) Сколько решений имеет нижеприведенная система уравнений?
[x] + {y} = [y]*{x}
Примечания: ММ78Конкурсная задача ММ78 (4 балла) Квадрат разрезали на n квадратов. Сумма периметров этих квадратов оказалась в 3 раза больше периметра исходного квадрата. Конечно ли множество таких n, при которых возможна описанная ситуация? ММ77
Решение этой задачи учитываетья дважды: Конкурсная задача ММ77 (А-4) (8 баллов)
Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных
делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если: ММ76Конкурсная задача ММ76 (8 баллов) На какое наибольшее число частей могут разбивать n-мерное пространство 2n гиперплоскостей, имеющих общую точку?
Примечание: ММ75
Эта задача в еще большей степени чем задача 45 навеяна известной
задачей Иосифа Флавия (Josephus problem). Конкурсная задача ММ75 (А-3) (8 баллов)
Для каждого натурального q, большего 1, опрелелим функцию натурального
аргумента Jq(n) следующим образом:
1. Для каждого q описать все n, для которых Jq(n) = n. ММ74Конкурсная задача ММ74 (6 баллов)
Вася и Петя поспорили. ММ73Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе арифметических задач. Конкурсная задача ММ73 (А-2) (6 баллов) A - множество из пяти натуральных чисел. Множество B состоит из сумм элементов всевозможных подмножеств множества A, при условии, что эти суммы простые числа. Каково наибольше возможное число элементов B? Для решения вышеизложенной задачи Вася написал программу. Эта программа обнуляет счетчик и (псевдо)случайным образом генерирует массив из пяти натуральных чисел. Затем перебираются (по одному разу) всевозможные суммы элементов этого массива (по одному, по два, по три, по четыре, по пять). Всякий раз, когда сумма является простым числом, счетчик увеличивается на единицу. Какое наибольшее значение счетчика может вернуть Васина программа? ММ72Эта задача была предложена Владиславом Франком (и Джоан Роулинг). Конкурсная задача ММ72 (5 баллов) Если Вы читали первую книгу про Гарри Поттера, то наверняка помните загадку Снейпа.
В ряд стоят 7 бутылочек. Гермиона смогла по этим данным и, видя бутылочки, определить, что зелье для прохода вперед находится в самой маленькой бутылочке, а зелье для прохода назад - в самой правой.
1. Что находится в пятой (слева) бутылочке? ММ71
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Конкурсная задача ММ71 (А-1) (4 балла) Назовем n-значное натуральное число «замечательным», если оно равно сумме n-х степеней своих цифр. Конечно ли множеcтво замечательных чисел?
Пpимечание: ММ70
Это задача не входит в тематический конкурс. Конкурсная задача ММ70 (12 баллов)
В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов.
В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е.
в терминах задачи 48 турнир оказался правильным).
1. Какое наименьшее число партий могло быть сыграно в таком турнире?
Примечания: ММ69
Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: Завершающая задачка мини-конкурса логических задач, так же как и задачка, открывающая конкурс, футбольная. Конкурсная задача ММ69 (Л-5) (8 баллов) Мистер Жонсонд увидел в газете итоговую таблицу однокругового футбольного турнира:
Мистер Жонсонд попытался восстановить по этим данным турнирную таблицу,
но ему не удалось сделать это в полном объеме. И тут он обнаружил, что
в заметке, сопровождавшей таблицу, приведен счет одного из матчей,
сыгранных «Честерманом».
Пpимечания: ММ68
Это задача не входит в тематический конкурс. Конкурсная задача ММ68 (5 баллов)
1. Доказать, что для любого натурального n найдется натуральное k такое, что
Примечания: ММ67Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача ММ67 (Л-4) (7 баллов) Четверо братьев (Джан, Джин, Джон и Джун ) поймали чужеземца, забредшего в их страну, где каждый обитатель был либо рыцарем, либо лжецом, и привели на суд к своему отцу. Их отец произнес такую речь: - В нашей стране мы терпимо относимся и к рыцарям, и к лжецам, но очень не любим дураков. Ты должен отгадать сколько мне лет, услышав по две подсказки от каждого из моих сыновей, тогда я отпущу тебя на все четыре стороны. Если же ты ошибешься, будешь рабом на моей плантации - глупцы не достойны лучшей участи. Но учти, среди моих сыновей могут оказаться как рыцари, так и лжецы. - А сам-то, кто будешь? - спросил путник - Можно ли тебе доверять? - Если я рыцарь, то я рыцарь, а уж если лжец, то лжец - ответил глава семейства - Слушай подсказки.
Джан: n составное. Помогите путнику выбраться на свободу. Пpимечания: Возраст отца - натуральное число, обозначенное для краткости через n. Напомню, что задачах такого типа лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. ММ66Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача ММ66 (8 баллов) Двое играют в такую игру: Каждый игрок очередным своим ходом берет из кучки, содержащей n камней, некоторое количество камней. За один ход можно взять количество камней, являющееся целой неотрицательной степенью одного из двух фиксированных натуральных чисел (a и b). Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. 1. Существуют ли такие a и b, при которых шансы на выигрыш у второго игрока выше, чем у первого? 2. Оценить шансы игроков для случаев, когда a и b - простые числа. 3. Перед началом игры игроки делают ставки. Обе ставки забирает победитель. Ставка первого игрока в пять раз больше. Зато первый игрок имеет право (до того как узнает число n) выбрать числа a и b. Кому из игроков выгодны такие условия? Примечания: 1. Число «камней» n для каждой игры выбирается случайно из диапазона [1.. 1000000] (распределение равномерное). 2. Соперники играют наилучшим образом. ММ65Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды: в Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача ММ65 (Л-3) (5 баллов)
Математик С предложил математикам А и В такую загадку: Узнав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
А: Я не знаю этих чисел. Что это за числа? ММ64
Это задача не входит в тематический конкурс. Конкурсная задача ММ64 (6 баллов)
Доказать, что уравнение
2x2 + 4y4 + 7z7 = t13 (*) имеет:
Примечание: ММ63Результат этой задачи учитывается дважды: В Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач. Конкурсная задача ММ63 (Л-2) (4 балла)
В стране, каждый житель которой либо рыцарь, либо лжец, за круглым столом
собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба
его соседа - лжецы.
Пpимечание: ММ62Это задача не входит в тематический конкурс. Результат учитывется только в основном зачете Марафона. Конкурсная задача ММ62 (6 баллов)
Тетраэдр, имеющий площадь поверхности S, сумму длин ребер L, сумму
двугранных углов U и сумму трехгранных углов W, рассекли плоскостью на
два тетраэдра. Примечания: Под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида. Каждый пункт представляет собой самостоятельную задачу. То есть выражать, например, возможные значения U1 + U2 надо только через U, без учета других характеристик исходного тетраэдра. Трехгранные углы тетраэдра измеряются в стерадианах. (Полный телесный угол равен 4*Pi стерадиан). ММ61Конкурсная задача ММ61 (Л-1) (4 балла)
Футбольные команды Честерман, Елсич, Пулливер, Сеналар и Тонбол провели однокруговой турнир.
Требуется воостановить турнирную таблицу (указать счет каждого матча)
Примечания: ММ60Конкурсная задача ММ60 (12 баллов) Триша Тройкин, Петя Пятаков и Сёма Семак пытаются сконструировать собственный генератор псевдослучайных чисел. Для этого они взяли натуральные числа a и m (одни и те же у всех троих) и выстраивают последовательность по правилу: xn+1 = xna (mod m). Начав с некоторого x11, Триша посчитал x2, x3 и x4. Но x4 оказалось равно x1. Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x1. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату. Петя совершил пять попыток подобрать x1. Но всякий раз получал новые циклы длины 5. Наиболее упорным оказался Сёма. Он совершил семь попыток. И получил семь циклов длины 7. При каком наименьшем m могла возникнуть такая ситуация? ММ59Конкурсная задача ММ59 (8 баллов) Сколько существует гомоморфизмов из кольца классов вычетов по модулю m в кольцо классов вычетов по модулю n? ММ58Конкурсная задача ММ58 (8 баллов) Обозначим через T(n) количество треугольников периметра n с целочисленными длинами сторон.
1) Конечно ли множество таких n, которые делят T(n)? ММ57Конкурсная задача ММ57 (10 баллов) Назовем многоугольник ординарным, если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника.
1) На сколько частей разбивают диагонали ординарный многоугольник? ММ56Конкурсная задача ММ56 (12 баллов) Назовем трехпарным число, допускающее представление в виде суммы трех взаимно простых натуральных слагаемых, любые два из которых не взаимно просты. Конечно ли множество натуральных чисел, не являющихся трехпарными? ММ55Конкурсная задача ММ55 (7 баллов) Через точку внутри тетраэдра провели 4 плоскости, параллельные граням. На сколько частей разобьется тетраэдр? (1 балл) Какой наименьший объем может иметь тетраэдр, если объемы частей попарно различны и целочисленны? (6 баллов). ММ54Конкурсная задача ММ54 (3 балла) Доказать, что максимум площадей четырехугольников со сторонами a, b, c, d не зависит от порядка следования сторон. ММ53Конкурсная задача ММ53 (8 баллов)
Найти самое маленькое число, допускающее представление в виде суммы шести слагаемых, обладающее следующими свойствами: ММ52Конкурсная задача ММ52 (11 баллов) Конечно ли множество натуpальных чисел m таких, что количество обpатимых элементов в кольце классов вычетов по модулю m pавно количеству квадpатов в том же кольце? ММ51Конкурсная задача ММ4 (3 балла)
1) Какое наибольшее (при данном n) число можно получить, расставляя скобки в выражении 1:2:3:…:n? (1 балл) ММ50Задача ММ50 является прямым продолжением и обобщением задачи ММ13 Конкурсная задача ММ50 (13 баллов) Зададим на множестве V = {1,2,3,…,n} структуру графа, полагая, что вершины x и y из V смежны тогда и только тогда, когда ¦x-y¦ = u или ¦x-y¦ = v, где u и v - некоторые фиксированные (для данного графа) натуральные числа (u меньше v). Полученный граф обозначим G(u,v,n).
1. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы граф G(u,v,n) был: 2. Пусть 2u < v, НОД(u,v) = 1, u+v - нечетно. Доказать, что найдется такое n0, что для всех n > n0 граф G(u,v,n) - гамильтонов (т.е. в нем есть простой цикл, содержащий все вершины). (10 баллов)
Замечание. ММ49Конкурсная задача ММ49 (3 балла)
Для каждого натуpального числа a, чеpез m(a) обозначим мощность множества {HОД(x12, x+a) | x ∈ N}. ММ48Конкурсная задача ММ48 (7 баллов) Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть «строгой», если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир с строгой таблицей также будем называть «строгим». 1) Гросмейстер Грустин Попалов выиграл в строгом турнире больше партий, чем каждый из других участников. На каком месте мог он оказаться в итоге, если в турнире участвовало n шахматистов? (2 балла) 2) Гроссмейстер Любомир Миролюбоевич шесть лет подряд играл в однокруговых рождественских турнирах в городе Зейк-ан-Вее. Каждый год он завершал все свои партии вничью, но год от года занимал все более высокое место. В каждом турнире было n участников и все они были строгие. При каком наименьшем n возможна такая ситуация? (2 балла) 3) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбоевич, сыграв вничью, все партии строгого турнира при n участниках. Найти явное выражение для d(n). (3 балла) ММ47Конкурсная задача ММ47 (4 балла) В разностороннем треугольнике ABC провели биссектрису AD. При этом оказалось, что длины всех сторон треугольников ABD и ACD целочисленны. При каком наименьшем периметре треугольника ABC возможна такая ситуация? ММ45-46Конкурсная задача ММ45-46 (30 баллов) Функция f(n) задается так: Натуральные числа от 1 до n расставлены по кругу. Начинаем отмечать числа 1, 2, 4, 7, 11, 16 и т.д. Значением f(n) будет то число, которое первым будет отмечено повторно.
45.1) Доказать, что существует бесконечно много n, для которых f(n) = 500501. (5 баллов) ММ44ММ43Конкурсная задача ММ43 (3 балла) Эта задача предложена для марафона Владиславом Франком.
В вагоне экспресса Дакс-Бордо n мест. ММ42Конкурсная задача ММ42 (3 балла) Вновь муха и тетраэдр.
На этот раз правильный тетраэдр со стороной в 1 метр поставили на плоскость, а точечных размеров муха ползет от одной из вершин основания так, что угол наклона ее траектории к плоскости основания остается постоянным и равняется arcsin √(2/21). ММ41Конкурсная задача ММ41 (3 балла)
Двое играют в такую игру: ММ40Конкурсная задача ММ40 (4 балла) Правильный тетраэдр со стороной в 1 метр находится в подвешенном состоянии. На одну из его вершин села муха точечных размеров и поползла по прямой по грани (не ребру) тетраэдра. С грани на грань муха переползает так, что на развертке тетраэдра ее путь оставался бы прямолинейным. Преодолев расстояние в целое число метров, не превосходящее десяти, муха вновь оказалась в вершине. Сколько метров проползла муха и сколько раз побывала при этом на грани, с которой начала движение? ММ39Конкурсная задача ММ39 (8 баллов)
Эта задачка перекликается с задачей №29.
Назовем число «полукубическим», если, приписывая его себе, получим куб некоторого натурального (натуральный ряд начинается с 1). ММ38Конкурсная задача ММ8 (3 балла) Обозначим через f(n) количество последовательностей длины n из нулей, единиц и двоек таких, что никакие две единицы и никакие две двойки не могут стоять в них подряд. Найти явную формулу для f(n). ММ37Конкурсная задача ММ37 (13 баллов)
Монетный двор Дурляндии чеканит монеты трех достоинств: 6, 10 и 15 дурок. ММ36Конкурсная задача ММ36 (5 баллов)
Функция f сопоставляет каждому натуральному числу n сумму остатков от деления n на все натуральные числа, меньшие n. ММ35Конкурсная задача ММ35 (5 баллов)
Васе и Пете задали задачку: ММ34Конкурсная задача ММ34 (4 балла) Последовательность задана рекуррентно:
Доказать, что она целочисленная. ММ33Конкурсная задача ММ33 (10 баллов) Пусть E, F, G и H - середины сторон BC, CD, DA и AB четырехугольника ABCD, а K, L, M и N - точки пересечения прямых AE и BF, BF и CG, CG и DH, DH и AE соответственно. Назовем четырехугольник KLMN сопутствующим четырехугольником четырехугольника ABCD. Пусть, далее, ABC - некоторый треугольник. Описать геометрическое место точек D таких, что сопутствующий четырехугольник четырехугольника ABCD - трапеция. ММ32Конкурсная задача ММ32 (3 баллов) Рассмотрим векторы, координаты которых в некотором ортонормированном базисе n-мерного пространства представляют собой перестановки множества {1, 2,.., n}. Каким может быть максимальный угол между такими векторами? ММ31Конкурсная задача ММ31 (7 баллов)
Пусть Sn - симметрическая группа (т.е. группа, образованная всеми биекциями множества {1, 2,…, n} на себя относительно операции композиции) и On - множество порядков всех элементов Sn. ММ30Конкурсная задача ММ30 (3 балла) Доказать, что для любого натурального числа n, можно подобрать множество M из n (разумеется, попарно различных) натуральных чисел таких, что сумма чисел из любого непустого подмножества M не является квадратом натурального числа. ММ29Конкурсная задача ММ29 (7 баллов)
Назовем натуральное число «полуквадратным», если приписывая это число само к себе, получим квадрат натурального числа. ММ28Конкурсная задача ММ28 (5 баллов)
Васе Пупкину задали задачку: ММ27Конкурсная задача ММ27 (12 баллов) Эта задача перекликается с задачей №9 и отчасти с задачами ММ11 и ММ7.
Граф G задан на множестве V = {1, 2,…, n} по правилу:
При каком наименьшем n в G есть: Напомню, что клика - это такое подмножество вершин графа, что любые две из них соединены ребром. ММ26Конкурсная задача ММ26 (9 баллов)
Описать все натуральные n, для которых задача «Найти все натуральные k, кратные t, и имеющие ровно n натуральных делителей» (1) имеет единственное решение, если: ММ25Конкурсная задача ММ25 (4 баллов) Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры? ММ24Конкурсная задача ММ24 (8 баллов)
Описать г.м.т, равноудаленных от: (Во всех пунктах рассмотрение проводится в трехмерном евклидовом пространстве. Для описания достаточно указать тип возникающей поверхности и ее расположение по отношению к заданным объектам.) ММ23Конкурсная задача ММ23 (8 баллов)
Верно ли, что у любого тетраэдра есть сечение, являющееся: (Под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.) ММ22Конкурсная задача ММ22 (6 баллов)
У одного султана было два мудреца Али и Вали. В очередной раз обеспокоившись, не зря ли они едят свой хлеб с шербетом, султан вызвал мудрецов и сказал:
А: Эх, если бы чисел как и в прошлый раз было два, я бы уже знал их. Но сейчас я их не знаю. Что это за числа? ММ21Конкурсная задача ММ21 (10 баллов)
Доказать, что уравнение (1) имеет бесконечно много решений в натуральных числах: ММ20Конкурсная задача ММ20 (6 баллов) Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба. ММ19Конкурсная задача ММ19 (6 баллов)
Функция f(x) задана кусочно по правилу: Задать f(x) с помощью одного выражения, используя только знаки арифметических действий и абсолютной величины (разумеется значок 'x' и числовые коэффициенты тоже можно использовать). ММ18Конкурсная задача ММ18 (3 балла) Найти все простые p, такие что числа 2+6p2+2p+3, 4p3+10p2+2p+9, 5p3+10p2+2p+12, 5p3+8p2+7p+5 просты. ММ17Конкурсная задача ММ17 (5 баллов)
Путник, оказавшийся на остpове, где живут pыцаpи (всегда говоpят пpавду) и лжецы (всегда вpут) встpетил гpуппу туземцев из семи человек. Hа плащах у туземцев кpасовались буквы A, B, C, D, E, F и G (по одной на каждого абоpигена). ММ16Конкурсная задача ММ16 (8 баллов)
Эта задача перекликается с задачей ММ15 ММ15Конкурсная задача ММ15 (9 баллов)
В качестве вводной предлагается задачка из конкурса 'Кенгуру' 1998 года:
А теперь основная часть задачи: ММ14Конкурсная задача ММ14 (4 баллов) Какой наименьший порядок может иметь подгруппа группы аффинных преобразований плоскости, содержащая хотя бы одно преобразование, отличное от движения?
Примечание ММ13Конкурсная задача ММ13 (8 баллов) (Эта задачка была предложена Ольгой Рукосуевой в конференции RU.Golovolomka. Но не вызвала особого интереса. На мой взгляд, зря.) Для каких натуральных n можно расставить числа 1,2,…n по окружности так, чтобы абсолютная величина разности соседних чисел равнялась 3, 4 или 5. ММ12Конкурсная задача ММ12 (5 баллов)
В магазине имеются следующие товары (по одной штуке каждого): ММ11Конкурсная задача ММ11 (5 баллов)
Существует ли тетраэдр (под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида), все грани которого прямоугольные треугольники и при этом прямые углы распределены по вершинам тетраэдра так: ММ10Конкурсная задача ММ10 (5 баллов) Задать во множестве целых чисел Z две бинарные операции (+) и (*) так, чтобы относительно этих операций множество Z стало коммутативным кольцом с единицей, в котором число 1 было бы нейтральным элементом по сложению (т.е. в аддитивной группе кольца), а число 0 - нейтральным элементом по умножению. ММ9Конкурсная задача ММ9 (9 баллов)
Пусть k - фиксированное натуральное число. ММ8Конкурсная задача ММ8 (8 баллов)
Последовательность задана по правилу:
1. Каков maximum значений f(n) (1 балл) ММ7ММ6Конкурсная задача ММ6 (5 баллов) Какова вероятность того, что три случайных числа из интервала (0; 1) (распределение равномерное, выбор независим) являются сторонами тупоугольного треугольника? ММ5Конкурсная задача ММ5 (3 баллов) При каком наименьшем натуральном d (натуральный ряд начинается с 1) существует арифметическая прогрессия с разностью d, в которой встречаются 7 простых чисел подряд? ММ4Конкурсная задача ММ4 (5 баллов) Обозначим через f(n) количество представлений натурального числа n в виде суммы максимально возможного числа попарно различных натуральных слагаемых. Например, число 14 можно представить в виде суммы максимум 4-х попарно различных слагаемых. Поскольку таких представлений всего 5 (14 = 1+2+3+8 = 1+2+4+7 = 1+2+5+6 = 1+3+4+6 = 2+3+4+5), заключаем f(14) = 5. Среди натуральных чисел, не превосходящих 1 000 000 000, найти число n, для которого f(n) максимально. ММ3Конкурсная задача ММ3 (5 баллов) Некий путешественник, идя по дороге в стране, где живут рыцари и лжецы, встретил группу из нескольких местных жителей. Каждый из встреченных по-очереди произнес две фразы (причем первые фразы зависели от порядкового номера говорящих, а вторые были одинаковы). k-й по счету сказал: «Среди нас не более k рыцарей. Среди моих спутников есть лжецы.» Сколько человек встретил путешественник? Напомню, что в задачках такого типа рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. ММ2Конкурсная задача ММ2 (7 баллов)
Пусть P - периметр выпуклого n-угольника, а S - сумма длин его диагоналей.
Найти диапазон изменения P/S при: ММ1Конкурсная задача ММ1 (5 баллов) Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли. При каком n вероятность выигрыша максимальна?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|