marathon:about [2020/05/02 11:35] letsko [ММ252] |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
Стартовал **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
Активная фаза (разбор задач), как обычно, начнется осенью. Но решения можно (и нужно) присылать прямо сейчас. | |
| |
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
| ---- |
| |
| |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
| ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
| ---- |
| |
===== ММ251 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ251** (3 балла) | ====== Разбор задач ====== |
| ---- |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
Решения принимаются до __05.09.2020__ | ---- |
| |
Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n –наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц. | |
| |
===== ММ252 ===== | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ252** (4 балла) | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
| |
Решения принимаются до __12.09.2020__ | **Решение** |
| |
Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:\\ | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15;\\ | |
90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, 2+5+9=3+3+10.\\ | |
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<sup>k</sup>q (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством. | |
| |
===== ММ253 ===== | **Обсуждение** |
| |
**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов) | В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
| |
Решения принимаются до __19.09.2020__ | Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
| |
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB<sub>1</sub> перпендикулярно ему имеет площадь 28✔(39)/81. Найти объем призмы? | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
| |
===== ММ254 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов) | **Награды** |
| |
Решения принимаются до __26.09.2020__ | За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
| Мераб Левиашвили - 18;\\ |
| Олег Полубасов - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие? | Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
| |
===== ММ255 ===== | ---- |
| |
**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __04.10.2020__ | ===== ММ269 ===== |
| |
Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. | **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
===== ММ256 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов) | Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
| a) класса 3;\\ |
Решения принимаются до __11.10.2020__ | b) класса 4? |
| |
При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<sup>2</sup> +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах? | |
| |
Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x. | |
| |
===== ММ257 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __18.10.2020__ | |
| |
Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237 | |
| |
Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:\\ | |
| |
Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ | |
Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ | |
Даня: А еще среди связных компонент не было изоморфных.\\ | |
Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ | |
Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ | |
Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ | |
Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ | |
Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ | |
Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ | |
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ | |
| |
Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\ | |
Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\ | |
| |
===== ММ258 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __24.10.2020__ | |
| |
Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). | |
| |
===== ММ259 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __31.10.2020__ | |
| |
Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ | |
a) равновелик;\\ | |
б) подобен;\\ | |
в) равен \\ | |
исходному? | |
| |
===== ММ260 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __14.11.2020__ | |
| |
| |
Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 | |
| |
Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если | |
AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; | |
треугольник KLM подобен треугольнику ABC. | |
Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? | |
| |
---- | |
| |
====== Разбор задач ====== | |
---- | |
===== ММ250 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) | |
| |
Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. | |
| |
**Решение** | **Решение** |
| |
Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм250.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:mm250_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_250_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм250.pdf|авторское}}. | Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
| |
**Обсуждение** | **Обсуждение** |
| |
При составлении задач XXV конкурса в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.\\ | Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
Придумав (но еще не решив) обсуждаемую задачу, я полагал, что она не тянет на заключительную. Почему? Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14. Существование подходящего многогранника легко обосновывается. Остается проверить, что многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, что сумма длин диагоналей меньше суммы длин ребер, потребовало некоторых ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний случай. И... тут я понял, что задача вполне годится для юбилейной. Решение стало в разы короче, а подходящий ответ - единственным! | Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
| |
Как обычно, последний (и самый трудный) участок дистанции дался не всем. Поступило всего 5 решений ММ250, из которых верны лишь 4. | Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
| В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
"Ощущая дыхание в спину" со стороны преследователей Анатолий Казмерчук мощно спуртовал, рассмотрев несколько аналогов задачи.\\ | Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
Не исключено, что не меньше красот имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц: без единого рисунка (для сравнения - у Анатолия, кроме чертежей в основном тексте, имеется приложение с тремя десятками рисунков); с многочисленными формулами, набранными обычным текстом; массой собственных обозначений, отличных от стандартных; списком опечаток на страницу, присланным отдельно...\\ | |
Точнее, удалось, но лишь настолько, чтобы понять, что задача решена и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника. | |
| |
В конце решения Анатолия Казмерчука имеется отсылка к плоскому аналогу задачи. Приведенные там рассуждения, по сути, повторяют решение MM2. Было бы красивее, если бы ММ1, но составляя ММ1 (как, впрочем, и ММ2) я еще не задумывался над ММ250. | |
| |
**Награды** | **Награды** |
| |
За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
Анатолий Казмерчук - 17;\\ | Олег Полубасов - 18;\\ |
Мераб Левиашвили - 15;\\ | Мераб Левиашвили - 16;\\ |
Константин Шамсутдинов - 15;\\ | Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
Виктор Филимоненков - 14;\\ | Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
Владислав Франк - 6. | Василий Дзюбенко - 11;\\ |
| Александр Романов - 11;\\ |
| Виктор Филимоненков - 11;\\ |
| Денис Овчинников - 7. |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** | **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
---- | ---- |
| |
===== ММ249 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) | ===== ММ268 ===== |
| |
Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup>=a иметь ровно 2020 решений? | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
| |
**Решение** | Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
Привожу решения {{:marathon:мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}, {{:marathon:shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}. | Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
**Обсуждение** | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
| |
Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах. | ---- |
В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако, на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин, ни Анатолий темп не снижали. | |
| |
Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение, меня поймут. | |
Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249. | |
| |
Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). | |
Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки. | |
| |
**Награды** | ===== ММ267 ===== |
| |
За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
Мераб Левиашвили - 15;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 12;\\ | |
Анатолий Казмерчук - 12;\\ | |
Виктор Филимоненков - 10;\\ | |
vpb - 10;\\ | |
Владислав Франк - 9. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов ** | Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
---- | |
| |
===== ММ248 ===== | [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
| |
**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) | ---- |
| |
Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. | ===== ММ266 ===== |
| |
**Решение** | **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
| |
Привожу решения {{:marathon:frank_248.pdf|Владислава Франка}}, {{:marathon:merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:marathon:fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}. | Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
(Решение Анатолия Казмерчука, как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.) | 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
**Обсуждение** | Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
| |
ММ248 далась не всем конкурсантам. | |
Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. | |
Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один элемент - двойка! | |
Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко. | |
В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам). | |
| |
К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число. | |
(Хотя нельзя исключить, что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.) | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы: | [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
Владислав Франк - 9; | |
vpb - 9; | |
Анатолий Казмерчук - 8; | |
Константин Шамсутдинов - 8; | |
Виктор Филимоненков - 8; | |
Мераб Левиашвили - 8; | |
Александр Домашенко - 3; | |
Владимир Дорофеев - 1; | |
Анна Букина - 1. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** | |
---- | ---- |
| |
===== ММ247 ===== | ===== ММ265 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) | **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
| |
| Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
| |
Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)} | [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n). | |
| |
**Решение** | ---- |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. | ===== ММ264 ===== |
| |
**Обсуждение** | **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
ММ247 - обещанное продолжение ММ238. | Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей. | Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!) | |
Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ | |
Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. | |
Ограничились :-(\\ | |
Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):\\ | |
Сколько целых значений принимает f<sub>k</sub>(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f<sub>5</sub>(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<sub>k</sub>(n))) целых значениях f<sub>k</sub>(n) не подтвердилась)\\ | |
Ясно, что каждое свое значение f<sub>k</sub>(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается? | |
| |
**Награды** | (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
| |
За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
Анатолий Казмерчук - 9;\\ | |
Владислав Франк - 9;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 9;\\ | |
Владимир Дорофеев - 8;\\ | |
Анна Букина - 7;\\ | |
Мераб Левиашвили - 7;\\ | |
Валентин Пивоваров - 6;\\ | |
Александр Домашенко - 6;\\ | |
waxter - 6;\\ | |
Виктор Филимоненков - 5. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла** | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
| |
===== ММ246 ===== | Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) | ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
| |
| [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
| |
Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? | ---- |
| |
**Решение** | |
| |
Привожу решения {{:marathon:shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:marathon:fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:mm246.pdf|авторское}}. | ===== ММ262 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
**Обсуждение** | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
| Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
| |
ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. | Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ошибка легко проверяется. | |
Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!). | |
| |
Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами. | [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
| |
Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника. | ---- |
К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа ;-) | ===== ММ261 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один с разрезами,исходящими из одной вершины. | Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
К вопросу о красоте. \\ | |
ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.\\ | |
Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ | |
Часто наличие нескольких, а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного. | |
Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. | |
Например, два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. | |
А для разносторонних, попавших в ответ это не так. | |
Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ | |
Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка. | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | |
Александр Домашенко - 7;\\ | |
Анатолий Казмерчук - 7;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 7;\\ | |
Мераб Левиашвили - 7;\\ | |
Виктор Филимоненков - 7;\\ | |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | |
Валентин Пивоваров - 5;\\ | |
Владислав Франк - 5;\\ | |
Анна Букина - 5;\\ | |
Владимир Дорофеев - 4.\\ | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** | |
---- | |
| |
| [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
| |
---- | ---- |