Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/09/20 07:12]
letsko
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
 +
 +**Мои поздравления победителю конкурса,​ Мерабу Левиашвили,​ призерам,​ Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову,​ а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Стартовал **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 +----
  
  
-===== ММ254 ​=====+====== ​Разбор задач ​====== 
 +---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
- ​**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)+----
  
-Решения принимаются до __26.09.2020__ 
  
-Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает ​новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. ​Может ​ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (кругеможет случиться это событие?​+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
  
-===== ММ255 =====+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
  
- **Конкурсная задача ММ255** (7 баллов)+**Решение**
  
-Решения принимаются до __04.10.2020__+Привожу решения призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}},​ а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} ​.
  
-Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.  +**Обсуждение**
-  +
-===== ММ256 =====+
  
- **Конкурсная задача ​ММ256** ​(8 баллов)+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
  
-Решения принимаются до __11.10.2020__+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны ​при ​успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае ​двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-При каком ​наименьшем натуральном n уравнение ​n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] ​имеет не менее ​1000000 ​решений ​в рациональных числах?+Во всех присланных решениях ​имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти ​решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решений, где 7m-4 именно гипотеза).
  
-Примечание:​ {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x. 
  
-===== ММ257 =====+**Награды**
  
- ​**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)+За решение задачи ММ270 ​участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
 +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-Решения принимаются ​до __18.10.2020__+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237+----
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\ 
  
-Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ +===== ММ269 =====
-Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ +
-Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ +
-Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ +
-Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ +
-Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ +
-Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ +
-Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ +
-Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\+
  
-Услышавший эти реплики преподаватель ​сказал, что память подвела ровно одного ​человека.\\  + ​**Конкурсная задача ​ММ269** ​(11 баллов)
-Сможет ли Вася ​(умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\+
  
-===== ММ258 ===== +Какова максимальная возможная ​степень вершины выпуклого многогранника\\  
- +a) класса ​3;\\ 
- **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов+b) класса ​4?
- +
-Решения принимаются до __24.10.2020__ +
- +
-Сколько элементов ​содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей ​может быть сколько угодно). +
- +
-===== ММ259 ===== +
- +
- ​**Конкурсная ​задача ММ259** (8 баллов) +
- +
-Решения принимаются до __31.10.2020__ +
- +
-Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах ​вписанной и описанной окружностей некоторого ​треугольника быть\\  +
-a) равновелик;\\ +
-б) подобен;​\\ +
-в) равен ​\\ +
-исходному?​ +
- +
-===== ММ260 ===== +
- +
- ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) +
- +
-Решения принимаются до __14.11.2020__ +
- +
- +
-Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 +
- +
-Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если +
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA+
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC. +
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​ +
- +
----- +
- +
-====== Разбор задач ====== +
- +
-**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов) +
- +
-Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81. Найти объем призмы?+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm253_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}} (замечательное своей краткостью), {{:​marathon:​mm253_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}} (замечательное ​своей основательностью)и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_253.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​(как всегда, замечательное во всех отношениях).+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Предлагая эту задачу ​я изначально был уверен, что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали. +Согласно ​традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном ​конкурсе.  
-Как выяснилось, зряВсе присланные решения содержат по два ответа. Правда, в некоторых из решений по одному азномуответу оказались ​неверны из-за вычислительных ошибок+Результатом этого ​усложнения чаще ​всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из техкто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовалино не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, ​все ​же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
- +
-Составляя задачу, ​я долго бился над темчтобы оба ответа были "​приличными". Если под ​приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикаловто задуманное осуществить удалось.  +
-Но сделать ​оба ответа совсем ​компактными я так и не смог. Остановился на варианте,​ когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу.+
  
-Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве решений задачи в зависимости ​от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
 +В какой-то момент у меня имелось три решения, ​в которых ​приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной ​степени ​вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы,​ дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ситуация,​ когда "​Вася ​и Петя оба правы", маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные ​трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти ​не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение ​из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук ​6\\ +Олег Полубасов ​18;\\ 
-Денис Овчинников ​5\\ +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
-Василий ​Дзюбенко - 5\\ +Анатолий ​Казмерчук - 13;\\ 
-Владислав Франк - 5\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5\\ +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
-Валентин Пивоваров ​5\\ +Александр Романов - 11;\\ 
-Олег Полубасов - 4\\ +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
-Виктор Филимоненков - 4.+Денис Овчинников - 7.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла **+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
  
----- +===== ММ268 =====
-===== ММ252 ===== +
-  +
-**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)+
  
-Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы ​сомножителей внутри каждой пары одинаковы:  +**Конкурсная задача ​ММ268** ​(9 баллов)
-90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ +
-90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ +
-Доказать, ​что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q ​(p, q – простые,​ k – натуральное), обладающих таким свойством.+
  
-**Решение**+Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? 
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm252_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_252.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm252_ovcvinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}}.+Примечание: ​в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-**Обсуждение** +[[problem 268|Решение ​задачи ММ268]]
  
-На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений,​ чем на ММ251 :-( \\ +----
-И это вопреки тому, что добавилось два новых участника:​ один относительно новый (в рамках текущего конкурса),​ а другой ​новый участник Марафона в целом.\\ +
-Некоторые из "​пропавших"​ (надеюсь,​ все же, отлучившихся) конкурсантов признались,​ что они не справились с ММ252. При том, что задача,​ на мой взгляд,​ весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому,​ проблема в нахождении одного подходящего примера.\\ +
-В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь,​ для тех, кто присоединился к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиады,​ проводимой "​здесь и сейчас"​. Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.  ​+
  
-Анатолий Казмерчук доказал,​ что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.\\ 
-Денис Овчинников предпринял попытку доказать,​ что таковых нет и среди чисел p<​sup>​k</​sup>​q,​ при p > 2. Правда,​ в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "​темное пятно"​. Но, возможно,​ доказательство можно довести до ума. 
-Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег подловил ведущего на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано,​ что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится. 
  
-Интересно,​ является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители. 
- ​Полагаю,​ что для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаю,​ что серий может быть много. Впрочем,​ это только мои предположения. ​ 
  
-**Награды**+===== ММ267 =====
  
-За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-Анатолий Казмерчук - 5\\ +
-Олег Полубасов - 5\\ +
-Денис Овчинников - 5\\ +
-Виктор Филимоненков - 4\\ +
-Василий Дзюбенко - 4\\ +
-Владислав Франк - 4\\ +
-Константин Шамсутдинов - 4\\ +
-Валентин Пивоваров - 1.+
  
-**Эстетическая оценка ​задачи - 3.балла ** +Вася и Петя поспорили. Вася уверен, ​что среди представлений натурального числа n в виде суммы ​натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых ​каждое слагаемое присутствует не более ​двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны ​3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-----+
  
 +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
  
-===== ММ251 ===== +----
-  +
-**Конкурсная задача ММ251** (3 балла)+
  
-Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц,​ которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы,​ при условии,​ что в книге было n страниц.+===== ММ266 =====
  
-**Решение**+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
  
-Привожу решения ​{{:​marathon:​kazmerchuk_mm_251.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm251_fomina.docx|Елены Фоминой}} (новичка Марафона).+Вася ​Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, ​заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных ​чисел;​\\ 
 +2) сумма ​кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно,​ что все ​они младше Васи.
  
-**Обсуждение** +Примечание:​ при ​сравнении возрастов ​учитываются дни, но не часы рождения.
  
-Совершенно неожиданно ​задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс "​для разогрева",​ вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов,​ в том числе у признанных асов. +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:​\\ +
-Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;​\\ +
-Не уточнено,​ подходит ли одна страница под формулировку "​несколько страниц";​\\ +
-Не указано,​ на какой стороне разворота книги находится первая страница;​\\ +
-не указано,​ является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней...+
  
-Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы,​ причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью,​ я, конечно,​ встречал,​ но это были отчеты,​ дипломные работы,​ диссертации... и ни разу не книги. (Правда,​ мне указали,​ что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)\\ +----
-Что касается толкования слова "​несколько",​ на мой взгляд,​ одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью,​ этот момент не важен. Каждый вырванный лист ​это пара вырванных страниц.\\ +
-Я не оговорил эти моменты вполне сознательно,​ полагая,​ что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем,​ я был уверен,​ что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное,​ часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.\\ +
-Каждый из перечисленных моментов,​ стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие,​ что страницы вырывались подряд.+
  
-Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу,​ рассуждали,​ на мой взгляд,​ не вполне строго. Например,​ вывод, что в книге было 100 страниц,​ сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем,​ 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц.  +===== ММ265 =====
-Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы,​ а из-за того, что "​один"​ - это не "​несколько"​. +
-Я не стал придираться к этим моментам. ​+
  
-Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков,​ рассмотревший как классические книжки,​ так и их альтернативные разновидности.\\ +**Конкурсная задача ​ММ265** (5 баллов)
-А единственным конкурсантам, рассмотревшим обобщение ​задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил, какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц.+
  
-**Награды**+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Анатолий Казмерчук - 4\\ +
-Виктор Филимоненков - 3\\ +
-Олег Полубасов - 3\\ +
-Елена Фомина - 3\\ +
-Владимир Дорофеев - 3\\ +
-Владислав Франк - 3\\ +
-Константин Шамсутдинов - 3\\ +
-Константин Кноп - 1\\ +
-Александр Домашенко - 1\\ +
-Валентин Пивоваров - 1\\ +
-Анна Букина - 1\\ +
-cubaca - 1.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
 ---- ----
  
-===== ММ250 ===== +===== ММ264 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) +
- +
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. +
- +
-[[problem 250|Решение задачи ММ250]] +
- +
-----+
  
-===== ММ249 =====+**Конкурсная задача ​ММ264** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)+Назовем пару ​натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, что существует ​бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение ​x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ​ровно 2020 решений?+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-[[problem ​249|Решение задачи ММ249]]+[[problem ​264|Решение задачи ММ264]]
  
 ---- ----
  
-===== ММ248 =====+===== ММ263 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ​ММ248** (8 баллов)+Сколько решений может иметь ​уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых ​чисел. +([x] и {x} означают соответственно целую часть (поли дробную часть ​числа x.)
  
-[[problem ​248|Решение задачи ММ248]]+[[problem ​263|Решение задачи ММ263]]
  
 ---- ----
  
-===== ММ247 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ247** (баллов)+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
 +Разносторонний треугольник назовем прогрессивным,​ если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. ​
 +Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая,​ проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера,​ параллельна средней стороне. ​
  
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(nn+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} +Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у насслава Богу, ​не ЕГЭ :-)
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n).+
  
-[[problem ​247|Решение задачи ММ247]]+[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
  
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
  
-===== ММ246 ===== +[[problem ​261|Решение задачи ММ261]]
- +
-**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) +
- +
- +
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​ +
- +
-[[problem ​246|Решение задачи ММ246]]+
  
 ---- ----
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2021/06/17 17:02 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006