Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/09/28 07:23]
letsko
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
 +
 +**Мои поздравления победителю конкурса,​ Мерабу Левиашвили,​ призерам,​ Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову,​ а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Стартовал **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 +----
  
  
-===== ММ255 ​=====+====== ​Разбор задач ​====== 
 +---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
- ​**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов)+----
  
-Решения принимаются до __04.10.2020__ 
  
-Найти ​наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.  +**Конкурсная задача ​ММ270** (16 баллов)
-  +
-===== ММ256 =====+
  
- **Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
  
-Решения принимаются до __11.10.2020__+**Решение**
  
-При ​каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] ​имеет не менее ​1000000 ​решений в рациональных числах?+Привожу решения призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}},​ а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
  
-Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.+**Обсуждение**
  
-===== ММ257 =====+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты,​ в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся,​ но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
  
- **Конкурсная задача ММ257** ​(баллов)+Эта ситуация выбила почву из под ​ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, ​решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной ​задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал ​Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых ​(каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, ​больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-Решения принимаются до __18.10.2020__+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения ​степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа,​ а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
  
-Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237 
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. ​Но ни один из них не зафиксировал этот ​граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\+**Награды**
  
-Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ +За решение задачи ММ270 участники Марафона получают ​следующие призовые баллы:\\ 
-Ваня: Причем во всех связных компонентах графа ​имелись циклы.\\ +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
-Даня: А еще ​среди связных  компонент не было изоморфных.\\ +Олег Полубасов - 16;\\ 
-Маня: Число ребер в одной ​из компонент было равно половине общего ​числа ребер.\\ +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
-Саня: При этом ​число ребер было равно сумме ​количеств вершин и связных компонент.\\ +Александр Романов ​- 16;\\ 
-Таня: В графе была всего одна ​вершина степени 3.\\ +Константин Шамсутдинов ​- 10;\\ 
-Зина: А всего в графе было ​не более 13 вершин.\\ +Виктор ​Филимоненков ​- 10;\\ 
-Лина: И при этом ​не было висячих вершин. ​\\ +Денис Овчинников - 8.\\
-Нина: А степень ​одной из вершин не менее чем ​на 2 превосходила степень ​каждой из остальных ​вершин.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\+
  
-Услышавший эти реплики преподаватель ​сказал, что память подвела ровно одного человека.\\  +Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.8 балла
-Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\+
  
-===== ММ258 =====+----
  
- ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) 
  
-Решения принимаются до __24.10.2020__+===== ММ269 =====
  
-Сколько элементов ​содержит множество сумм квадратов цифр квадратов ​чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).+ **Конкурсная задача ​ММ269** (11 баллов)
  
-===== ММ259 =====+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
 +a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
- **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)+**Решение**
  
-Решения ​принимаются до __31.10.2020__+Привожу решения ​{{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
-Может ли треугольник ​с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  +**Обсуждение** 
-a) равновелик;\\ +
-б) подобен;​\\ +
-в) равен \\ +
-исходному?​+
  
-===== ММ260 =====+Согласно традициям ​Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
 +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе,​ не прислали решения ​ММ269 всего два человека. А остальные порадовали,​ но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбы,​ все же сжалились,​ сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
- **Конкурсная задача ​ММ260** ​(12 баллов)+Разумеется, ​основные страсти ​кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится
 +В какой-то момент у меня имелось три решения,​ в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы, ​дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, ​что ситуация, когда "​Вася и Петя оба правы",​ маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось ​(или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
-Решения принимаются ​до __14.11.2020__+**Награды**
  
 +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Олег Полубасов - 18;\\
 +Мераб Левиашвили - 16;\\
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\
 +Василий Дзюбенко - 11;\\
 +Александр Романов - 11;\\
 +Виктор Филимоненков - 11;\\
 +Денис Овчинников - 7.
  
-Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 +**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
- +
-Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат ​соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если +
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; +
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC. +
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника+
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ====== 
  
-===== ММ254 =====+===== ММ268 =====
  
-**Конкурсная задача ММ254** (баллов)+**Конкурсная задача ММ268** (баллов)
  
-Вася вписал круг в треугольник со сторонами 34, 5. И вписывает новые круги ​так, что ​каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что ​из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое ​число встречается ровно один раз, равную m. Сколько ​существует недопустимых чисел
  
-**Решение**+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-Привожу решения {{:​marathon:​мм254_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm254_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_254.pdf|Анатолия Казмерчука}}.+[[problem 268|Решение ​задачи ММ268]]
  
-**Обсуждение** ​+----
  
-В отличие от прошлой задачи,​ при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы с пониманием условия и вопроса задачи. 
-И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял,​ почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи),​ то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно. 
-Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово "​шагов",​ словом "​кругов",​ поясняя,​ что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду считать это за ошибку. 
-Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось "​может ли площадь кругов превысить 80%", а не "​превысит ли"​). 
-Теперь о замечаниях,​ за которые баллы снимались. 
-Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился,​ что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения. 
-Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов,​ покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие,​ я пришел к выводу,​ что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-) 
-Наконец,​ в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается,​ но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например,​ такой "​требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге"​. 
  
-Анатолий Казмерчук нашел диапазон,​ в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. 
-Олег Полубасов показал,​ как приближаться к границам этого диапазона,​ но не обосновал непреодолимость этих границ. ​ 
-Владислав Франк получил нижнюю границу. 
  
-Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов,​ вписанных в углы треугольника,​ к π/2. +===== ММ267 =====
  
-Участники поставили передо мной непростую задачу:​ зачастую те решения, которые содержали обобщения задачи, одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных ​баллов ​при одновременном вычитании основных см. ниже.+**Конкурсная задача ​ММ267** (7 баллов)
  
-**Награды**+Вася и Петя поспорили. Вася уверен,​ что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
  
-За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-Анатолий Казмерчук - 7\\ +
-Владислав Франк - 7\\ +
-Олег Полубасов - 7\\ +
-Константин Шамсутдинов - 6\\ +
-Виктор Филимоненков - 6\\ +
-Денис Овчинников - 5\\ +
-Валентин Пивоваров - 4. +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **+
  
 ---- ----
  
-===== ММ253 =====+===== ММ266 =====
  
-**Конкурсная задача ММ253** (баллов)+**Конкурсная задача ММ266** (баллов)
  
-Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</sub>B<​sub>​1</sub>C<sub>1</sub> равна 2. Сечение призмы, проходящее ​через ​середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81. Найти объем призмы?+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсниковродившихся в январе ​одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<sup>3</sup)=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение ​всех выписанных чисел;\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей, если ​известно,​ что все они ​младше Васи.
  
-**Решение**+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm253_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}} (замечательное своей краткостью),​ {{:​marathon:​mm253_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}} (замечательное своей основательностью),​ и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_253.pdf|Анатолия Казмерчука}} (как всегда, замечательное во всех отношениях).+[[problem 266|Решение задачи ​ММ266]]
  
-**Обсуждение** ​+----
  
-Предлагая эту задачу,​ я изначально был уверен,​ что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали. +===== ММ265 =====
-Как выяснилось,​ зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда,​ в некоторых из решений по одному (разному) ответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок.+
  
-Составляя задачу, я долго бился над тем, чтобы оба ответа были "приличными"​. Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов,​ то задуманное осуществить удалось.  +**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте,​ когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу.+
  
-Анатолий Казмерчук исследовал ​вопрос о количестве решений задачи ​в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-**Награды** +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
- +
-За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Анатолий Казмерчук - 6\\ +
-Денис Овчинников - 5\\ +
-Василий Дзюбенко - 5\\ +
-Владислав Франк - 5\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5\\ +
-Валентин Пивоваров - 5\\ +
-Олег Полубасов - 4\\ +
-Виктор Филимоненков - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла ** 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
----- +**Конкурсная задача ММ264** (балла)
-===== ММ252 ===== +
-  +
-**Конкурсная задача ММ252** (балла)+
  
-Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей такихчто ​суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:​  +Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, ​если ​τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
-90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15 1+9+10=2+3+15;\\ +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ +
-Доказать,​ что существует бесконечно много ​натуральных ​чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (p, q – простые,​ k – натуральное),​ обладающих таким свойством.+
  
-**Решение**+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей,​ сумма ​натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm252_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_252.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm252_ovcvinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}}.+[[problem 264|Решение задачи ​ММ264]]
  
-**Обсуждение** ​+----
  
-На задачу ​ММ252 поступило существенно меньше решений,​ чем на ММ251 :-( \\ +===== ММ263 ===== 
-И это вопреки тому, что добавилось два новых участника:​ один относительно новый (в рамках текущего конкурса), а другой - новый участник Марафона в целом.\\ + **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-Некоторые из "​пропавших"​ (надеюсь, все же, отлучившихся) конкурсантов признались, ​что они не справились с ММ252. При том, что задача,​ на мой взгляд,​ весьма проста. Ведь ​бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому,​ проблема в нахождении одного подходящего примера.\\ +
-В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь,​ для тех, кто присоединился к Марафону недавнопринципиальное отличие Марафона от олимпиады,​ проводимой "​здесь и сейчас"​. Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.  ​+
  
-Анатолий Казмерчук доказал, что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.\\ +Сколько решений может иметь уравнение ​[3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра ​c?\\
-Денис Овчинников предпринял попытку доказать,​ что таковых нет и среди чисел p<​sup>​k</​sup>​q,​ при p > 2. Правда, в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "​темное пятно"​. Но, возможно, доказательство можно довести до ума. +
-Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых ​чисел. Для этого Олег подловил ведущего ​на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано,​ что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится.+
  
-Интересно, является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители. +([x] и {x} означают соответственно ​целую часть ​(поли дробную часть числа x.)
- ​Полагаю,​ что ​для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаючто серий может быть много. Впрочем, это только мои предположения+
  
-**Награды**+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
  
-За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 5\\ 
-Олег Полубасов - 5\\ 
-Денис Овчинников - 5\\ 
-Виктор Филимоненков - 4\\ 
-Василий Дзюбенко - 4\\ 
-Владислав Франк - 4\\ 
-Константин Шамсутдинов - 4\\ 
-Валентин Пивоваров - 1. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла ** 
 ---- ----
  
  
-===== ММ251 =====+===== ММ262 =====
    
-**Конкурсная задача ММ251** (3 балла)+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-Из книги вырвано несколько страниц. Сумма ​номеров оставшихся ​страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страницкоторое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его ​сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказатьчто треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля ​и центр Шпикера, параллельна средней ​стороне
  
-**Решение**+Примечание:​ тривиальное решение ​(недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_251.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​mm251_fomina.docx|Елены Фоминой}} (новичка ​Марафона).+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
  
-**Обсуждение** +---- 
 +===== ММ261 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс "​для разогрева",​ вызвала затруднения у значительного ​числа ​конкурсантов, в том числе у признанных асов. +Натуральные числа ​1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп ​по 10 чисел. Найти наибольшую ​возможную ​сумму НОД этих десяток.
-Кроме неверных решений я получил ​также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:\\ +
-Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;\\ +
-Не уточнено,​ подходит ли одна страница под формулировку "​несколько страниц";​\\ +
-Не указано,​ на какой стороне разворота книги находится первая ​страница;​\\ +
-не указано, ​является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней...+
  
-Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы,​ причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких ​диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью, я, конечно, встречал,​ но это были отчеты,​ дипломные работы,​ диссертации... и ни разу не книги. (Правда,​ мне указали,​ что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)\\ +[[problem 261|Решение задачи ​ММ261]]
-Что касается толкования слова "​несколько",​ на мой взгляд,​ одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью,​ этот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара вырванных страниц.\\ +
-Я не оговорил эти моменты вполне сознательно,​ полагая,​ что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем,​ я был уверен,​ что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное,​ часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.\\ +
-Каждый из перечисленных моментов,​ стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие,​ что страницы вырывались подряд.+
  
-Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу,​ рассуждали,​ на мой взгляд,​ не вполне строго. Например,​ вывод, что в книге было 100 страниц,​ сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем,​ 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц. ​ 
-Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы,​ а из-за того, что "​один"​ - это не "​несколько"​. 
-Я не стал придираться к этим моментам. ​ 
- 
-Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков,​ рассмотревший как классические книжки,​ так и их альтернативные разновидности.\\ 
-А единственным конкурсантам,​ рассмотревшим обобщение задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил,​ какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц. 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 4\\ 
-Виктор Филимоненков - 3\\ 
-Олег Полубасов - 3\\ 
-Елена Фомина - 3\\ 
-Владимир Дорофеев - 3\\ 
-Владислав Франк - 3\\ 
-Константин Шамсутдинов - 3\\ 
-Константин Кноп - 1\\ 
-Александр Домашенко - 1\\ 
-Валентин Пивоваров - 1\\ 
-Анна Букина - 1\\ 
-cubaca - 1. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
 ---- ----
- 
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2021/06/17 17:02 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006