Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/10/26 19:01]
letsko [ММ258]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
 +
 +**Мои поздравления победителю конкурса,​ Мерабу Левиашвили,​ призерам,​ Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову,​ а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Близится к завершению **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
Строка 21: Строка 23:
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
- 
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
-===== ММ259 ===== 
  
- **Конкурсная ​задача ММ259** (8 баллов) +====== Разбор задач ​====== 
- +---- 
-Решения принимаются до __31.10.2020__ +===== 
- +Вектором граней выпуклого многогранника ​назовем набор ​[f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub> ​– количество ​i-угольных ​граней P, а s наибольшее число ​сторон грани. Будем ​говорить, что относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
-Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах ​вписанной и описанной окружностей некоторого ​треугольника быть\\  +
-a) равновелик;\\ +
-б) подобен;​\\ +
-в) равен \\ +
-исходному?​ +
- +
-===== ММ260 ===== +
- +
- ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов+
- +
-Решения принимаются до __14.11.2020__ +
- +
- +
-Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 +
- +
-Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат ​соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем ​называть подобно-вписанным в ∆ABC, если +
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; +
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC. +
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?+
  
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ====== 
  
-===== ММ258 ===== +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
- **Конкурсная задача ММ258** (баллов)+
  
-Сколько элементов содержит множество сумм ​квадратов цифр квадратов ​чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному ​разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть ​сколько угодно).+Найти наибольшее возможное количество ​граней многогранника класса m.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}{{:​marathon:​mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}.+Привожу решения ​призеров конкурса, ​{{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}},​ а также обобщение задачи ​победителя ​конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
  
-**Обсуждение** ​+**Обсуждение**
  
-ММ258 не вызвала затруднений ​ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно, что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько, что его вполне ​можно осуществить вручную.+В отличие от ММ269, где вопрос ​задачи был сформулирован ​для частных значений ​m, а обобщали его сами ​конкурсанты, в ММ270 сразу же был ​сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже ​склонялся, но, к счастью не оказал"​ неверный ​ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
  
-Естественные обобщения задачи рассмотрели Олег ​Полубасов и Анатолий ​Казмерчук. Процитирую Олега:+Эта ситуация ​выбила почву из под ​ног большинства любителей ​обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли ​заодно и наибольшие количества вершин ​и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении ​основной задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб ЛевиашвилиОн перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы ​класса m и верхние ​оценки для числа граней ​таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-"​Если рассмотреть ​всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется, что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения: +Во всех присланных решениях имеется ​содержится ответ 7m-4 для больших значений mРазнятся ​эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную ​гипотезу ​(это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60 +
-Двухэлементное ​множество сумм ​даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}.  +
-Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз."+
  
-Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\ 
-Легко понять,​ что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\ 
-Немногим сложнее обосновывается,​ что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом,​ сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\ 
-А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее. ​ 
-По-видимому,​ они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\ 
-При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\ 
-Во-первых,​ сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления). 
-А во-вторых,​ 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами,​ а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось,​ что это будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел. 
  
-Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела.+**Награды**
  
-**Награды**+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
 +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-За решение задачи ММ256 участники Марафона ​получают следующие призовые баллы: \\ +Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-Анатолий Казмерчук ​- 8\\ +
-Олег Полубасов - 8\\ +
-Владислав Франк - 8\\ +
-Константин Шамсутдинов - 7\\ +
-Денис Овчинников - 7\\ +
-Виктор Филимоненков - 7\\ +
-Анна Букина - 7.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
 ---- ----
  
  
-===== ММ257 ===== +===== ММ269 =====
- ​**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)+
  
-__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__+ ​**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной ​математике. Однокурсники рассказали, что ​на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно, ​поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\ +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
-Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ +a) класса ​3;\\ 
-Ваня: Причем во всех связных ​компонентах графа имелись циклы.\\ +b) класса ​4?
-Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ +
-Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ +
-Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ +
-Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ +
-Зина: А всего в графе было ​не более 13 вершин.\\ +
-Лина: И при этом не было висячих вершин. ​\\ +
-Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ +
-Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\  +
-Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}{{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Сразу несколько участников покритиковали ведущего за то, что он не уточнил, что ​имеет в виду под "графом".  +Согласно ​традициям Марафона ​последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
-Сначала меня удивила такая реакция: ведь в предудыщих марафонских ​турнирах графы фигурировали десятки раз и подобных вопросов не возникало. +Результатом ​этого усложнения чаще всего был отток значительной части ​конкурсантов. А эта традиция неожиданно была ​нарушена! Из техкто регулярно участвовал в нынешнем ​конкурсене прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовалино не пощадили ведущего :-) Впрочемпосле ​моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Задумавшись я понял, что в большинстве предыдущих ​задач структура графа, возникающего на том ​или ином множестве, вводилась прямо в условии. +
-Впрочем,​ в ряде задач (ММ105, ММ116, ММ146, ММ153, ММ156) так же как и в ММ257 рассматривались абстрактные графы, но к неоднозначности ​это не приводило. А меожет, и приводило... Давно это было, 100 задач назад. +
-В общемна будущее:​ под графом я всегда имею в виду классический граф: непустое (обычно конечное) множество вершин и множество ребер, ​каждое из которых есть ​двухэлементое множество вершин+
-Это не значит,​ что я зарекаюсь ​использовать будущих задачах, орграфы, ​мультиграфы, гиперграфы,​ бинарные отношения и даже матроиды. Но когда я буду ​использовать такие структуры,​ я отдельно заострю на этом внимание.+
  
-Составляя задачуя вдохновлялся ММ237И начал с того, что продублировал реплику Фаины. Дальнейшие реплики подбирались такчтобы, с одной стороны, не было лишних, а с другой - граф определялся однозначно. +Разумеется, ​основные ​страсти кипели вокруг обобщения задачиочевидного по постановке вопросаНо только по постановке. Даа, ответ 3m-3 не годится! 
-Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне ​понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю ​и его друзей обсудить новый математический объект. +В какой-то момент у меня имелось три решенияв которых ​приводилась ​и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, ​три разных формулы, дающих ​разные ​ответы :-)\\ 
- +Понимая, что ​ситуация, когда "​Вася и Петя ​оба правы",​ маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решенийДополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одногов котором ошибок найти не удалось (иливсе же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ​ниже ​списка начисленных призовых ​баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
-У тех, кто отозвалсязадача затруднений не вызвала. Единственный балл ​изъят за излишнее увлечение сестрой таланта  ​+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​\\ 
-Анатолий Казмерчук - 10\\ +Олег Полубасов - 18;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 9\\ +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
-Владислав Франк - 9\\ +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
-Денис Овчинников - 9\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Виктор Филимоненков - 9\\ +Василий Дзюбенко 11;\\ 
-Олег Полубасов - 8.+Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла **+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
  
-===== ММ256 ===== +===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)+
  
-При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных ​числах?+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
  
-__Примечание: {x} – дробная часть числа ​x[x]  – целая ​часть (пол) числа x.__+Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведенийв которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых ​чисел
  
 +Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-**Решение**+[[problem 268|Решение ​задачи ММ268]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm256_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_256.pdf|Анатолия Казмерчука}}. С решением **vpb** можно познакомиться в разборе ММ256 на [[https://​dxdy.ru/​post1486803.html#​p1486803 | dxdy.ru]] 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-В Марафоне неоднократно встречались задачи про функции [x] и {x} (ММ79, ММ176, ММ202, ММ263...)\\ 
-Маскируется под них и ММ256. Но прозорливые конкурсанты верно разглядели в ней задачку по арифметике (теории чисел). И уверенно справились. 
-А вот попыток изучить аналоги и обобщения было меньше обычного. Единственным,​ кто преуспел в этом оказался (и это не стало неожиданностью для ведущего) Анатолий Казмерчук. 
- 
-На этот раз конкурсанты были довольно единодушны при оценивании задачи. Соглашусь с ними и я :-)  
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 10\\ 
-Константин Шамсутдинов - 8\\ 
-Олег Полубасов - 8\\ 
-Владислав Франк - 8\\ 
-Денис Овчинников - 8\\ 
-Виктор Филимоненков - 8\\ 
-vpb - 8. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла ** 
 ---- ----
  
  
-===== ММ255 ===== 
-**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов) 
  
-Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. ​+===== ММ267 =====
  
-**Решение**+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм255.docx|Виктора Филимоненкова}}{{:​marathon:​mm255_polubasoff.pdf|Олега ​Полубасова}} и {{:​marathon:​mm255_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}.+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще ​встречаются теу которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые ​не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
  
-**Обсуждение**  +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
- +
-Несложное обоснование существования чисел, имеющих в точности k представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных сомножителей,​ оценивалось в один дополнительный балл. Еще 1 или два балла начислялись за нахождение наименьших чисел для других значений k.  +
- +
-ММ255 еще раз продемонстрировала полярность вкусов и предпочтений конкурсантов. Впрочем,​ из усредненной эстетической оценки видно, что тех, кому задача понравилась - большинство. В любом случае еще раз призываю конкурсантов не забывать присылать свои оценки задач. И использовать шкалу оценок по полной. Оценка по однобалльной шкале не позволит ведущему учесть ваши предпочтения при составлении новых задач (хотя предпочтеyия ведущего,​ по-видимому,​ в любом случае будут иметь приоритет). +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ255 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Константин Шамсутдинов - 10\\ +
-Олег Полубасов - 9\\ +
-Анатолий Казмерчук - 8\\ +
-Владислав Франк - 8\\ +
-Денис Овчинников - 8\\ +
-Виктор Филимоненков - 7\\ +
-Владимир Дорофеев - 4. +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **+
  
 ---- ----
  
 +===== ММ266 =====
  
-===== ММ254 =====+**Конкурсная задача ​ММ266** (7 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ254** ​(баллов)+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, ​заметил ​два факта:\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-Вася вписал круг ​в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?​+Примечание: ​при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
  
-**Решение**+[[problem 266|Решение ​задачи ММ266]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​мм254_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm254_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_254.pdf|Анатолия Казмерчука}}.+----
  
-**Обсуждение** ​+===== ММ265 =====
  
-В отличие от прошлой задачи,​ при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы ​с пониманием условия и вопроса ​задачи. +**Конкурсная задача ММ265** (баллов)
-И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял,​ почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи),​ то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно. +
-Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово "​шагов",​ словом "​кругов",​ поясняя,​ что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду считать это за ошибку. +
-Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов ​(ведь в задаче спрашивалось "​может ли площадь кругов превысить 80%", а не "​превысит ли"​). +
-Теперь о замечаниях,​ за которые ​баллы снимались. +
-Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился,​ что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения. +
-Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов,​ покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие,​ я пришел к выводу,​ что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-) +
-Наконец,​ в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается,​ но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например,​ такой "​требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге"​.+
  
-Анатолий Казмерчук нашел диапазон, ​в котором может ​изменяться отношение площади ​треугольника ​к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. +Разрезать правильный треугольник ​на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-Олег Полубасов показалкак приближаться ​к границам этого диапазона, но не обосновал непреодолимость этих границ.  +
-Владислав Франк получил ​нижнюю границу.+
  
-Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов,​ вписанных в углы треугольника,​ к π/2.  +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
- +
-Участники поставили передо мной непростую задачу:​ зачастую те решения,​ которые содержали обобщения задачи,​ одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных баллов при одновременном вычитании основных см. ниже. +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Анатолий Казмерчук - 7\\ +
-Владислав Франк - 7\\ +
-Олег Полубасов - 7\\ +
-Константин Шамсутдинов - 6\\ +
-Виктор Филимоненков - 6\\ +
-Денис Овчинников - 5\\ +
-Валентин Пивоваров - 4. +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **+
  
 ---- ----
  
-===== ММ253 =====+===== ММ264 =====
  
-**Конкурсная задача ММ253** (баллов)+**Конкурсная задача ММ264** (балла)
  
-Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмыпроходящее через ​середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81. Найти объем ​призмы?+Назовем пару натуральных чисел и аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  ​и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказатьчто существует бесконечно много аддитивных ​пар.\\
  
-**Решение**+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей,​ сумма ​натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm253_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}} (замечательное своей краткостью),​ {{:​marathon:​mm253_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}} (замечательное своей основательностью),​ и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_253.pdf|Анатолия Казмерчука}} (как всегда, замечательное во всех отношениях).+[[problem 264|Решение задачи ​ММ264]]
  
-**Обсуждение** ​+----
  
-Предлагая эту задачу,​ я изначально был ​уверен, что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие ​двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали. +===== ММ263 ===== 
-Как выяснилось,​ зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда,​ в некоторых из решений по одному (разномуответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок.+ ​**Конкурсная ​задача ММ263** (4 балла)
  
-Составляя задачу,​ я долго бился над тем, чтобы оба ответа были "​приличными". Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных ​радикалов, то задуманное осуществить удалось.  +Сколько решений может иметь уравнение ​[3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте, когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу.+
  
-Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве ​решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения+([x] и {x} означают соответственно целую ​часть (пол) и дробную часть числа x.)
  
-**Награды**+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
  
-За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6\\ 
-Денис Овчинников - 5\\ 
-Василий Дзюбенко - 5\\ 
-Владислав Франк - 5\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5\\ 
-Валентин Пивоваров - 5\\ 
-Олег Полубасов - 4\\ 
-Виктор Филимоненков - 4. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла ** 
 ---- ----
  
  
----- +===== ММ262 =====
-===== ММ252 =====+
    
-**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой ​пары одинаковы:​  +Разносторонний ​треугольник назовем прогрессивным, если длины ​его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
-90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ +Доказать,​ что ​треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая,​ проходящая через ​точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне
-90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ +
-Доказать,​ что ​существует бесконечно много ​натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (pq – простые,​ k – натуральное), обладающих таким свойством.+
  
-**Решение**+Примечание:​ тривиальное решение ​(недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm252_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_252.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm252_ovcvinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}}.+[[problem 262|Решение задачи ​ММ262]]
  
-**Обсуждение** ​ 
- 
-На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений,​ чем на ММ251 :-( \\ 
-И это вопреки тому, что добавилось два новых участника:​ один относительно новый (в рамках текущего конкурса),​ а другой - новый участник Марафона в целом.\\ 
-Некоторые из "​пропавших"​ (надеюсь,​ все же, отлучившихся) конкурсантов признались,​ что они не справились с ММ252. При том, что задача,​ на мой взгляд,​ весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому,​ проблема в нахождении одного подходящего примера.\\ 
-В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь,​ для тех, кто присоединился к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиады,​ проводимой "​здесь и сейчас"​. Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.  ​ 
- 
-Анатолий Казмерчук доказал,​ что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.\\ 
-Денис Овчинников предпринял попытку доказать,​ что таковых нет и среди чисел p<​sup>​k</​sup>​q,​ при p > 2. Правда,​ в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "​темное пятно"​. Но, возможно,​ доказательство можно довести до ума. 
-Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег подловил ведущего на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано,​ что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится. 
- 
-Интересно,​ является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители. 
- ​Полагаю,​ что для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаю,​ что серий может быть много. Впрочем,​ это только мои предположения. ​ 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 5\\ 
-Олег Полубасов - 5\\ 
-Денис Овчинников - 5\\ 
-Виктор Филимоненков - 4\\ 
-Василий Дзюбенко - 4\\ 
-Владислав Франк - 4\\ 
-Константин Шамсутдинов - 4\\ 
-Валентин Пивоваров - 1. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла ** 
 ---- ----
- +===== ММ261 =====
- +
-===== ММ251 =====+
    
-**Конкурсная задача ММ251** (балла)+**Конкурсная задача ММ261** (балла)
  
-Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страницкоторое могло ​быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.+Натуральные числа ​12, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
  
-**Решение**+[[problem 261|Решение ​задачи ММ261]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_251.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm251_fomina.docx|Елены Фоминой}} (новичка Марафона). 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс "​для разогрева",​ вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов,​ в том числе у признанных асов. 
-Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:​\\ 
-Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;​\\ 
-Не уточнено,​ подходит ли одна страница под формулировку "​несколько страниц";​\\ 
-Не указано,​ на какой стороне разворота книги находится первая страница;​\\ 
-не указано,​ является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней... 
- 
-Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы,​ причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью,​ я, конечно,​ встречал,​ но это были отчеты,​ дипломные работы,​ диссертации... и ни разу не книги. (Правда,​ мне указали,​ что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)\\ 
-Что касается толкования слова "​несколько",​ на мой взгляд,​ одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью,​ этот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара вырванных страниц.\\ 
-Я не оговорил эти моменты вполне сознательно,​ полагая,​ что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем,​ я был уверен,​ что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное,​ часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.\\ 
-Каждый из перечисленных моментов,​ стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие,​ что страницы вырывались подряд. 
- 
-Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу,​ рассуждали,​ на мой взгляд,​ не вполне строго. Например,​ вывод, что в книге было 100 страниц,​ сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем,​ 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц. ​ 
-Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы,​ а из-за того, что "​один"​ - это не "​несколько"​. 
-Я не стал придираться к этим моментам. ​ 
- 
-Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков,​ рассмотревший как классические книжки,​ так и их альтернативные разновидности.\\ 
-А единственным конкурсантам,​ рассмотревшим обобщение задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил,​ какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц. 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 4\\ 
-Виктор Филимоненков - 3\\ 
-Олег Полубасов - 3\\ 
-Елена Фомина - 3\\ 
-Владимир Дорофеев - 3\\ 
-Владислав Франк - 3\\ 
-Константин Шамсутдинов - 3\\ 
-Константин Кноп - 1\\ 
-Александр Домашенко - 1\\ 
-Валентин Пивоваров - 1\\ 
-Анна Букина - 1\\ 
-cubaca - 1. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
 ---- ----
- 
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.txt · Последние изменения: 2021/06/17 17:02 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006