Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2016/12/08 22:28]
letsko
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Завершается **22-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Старожилы Марафона,​ наверняка,​ обратили внимание,​ что привычное слово "​тур"​ заменено на "​конкурс"​. Это сделано,​ чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования. 
- 
-В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в правила Марафона внесены некоторые уточнения. 
- 
-22-й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках. 
-Во всех задачах,​ где речь идет о многогранниках,​ под словом "​многогранник"​ подразумевается выпуклый многогранник. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
Строка 34: Строка 30:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
-===== ММ220 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов) 
  
-Решения принимаются до __17.12.2016__ +====== ​Разбор задач ======
- +
-Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей,​ а многогранника,​ имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей,​ не существует.+
 ---- ----
 +=====
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-====== Разбор задач ====== 
 ---- ----
  
-=====ММ219===== 
  
-**Конкурсная задача ММ219** (баллов) ​+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
  
-Какое ​наибольшее количество ​диагоналей может иметь ​одиннадцатигранник?+Найти ​наибольшее возможное количество ​граней многогранника класса m.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения Олега ПолубасоваАнатолия Казмерчука и Владислава Франка. +Привожу решения ​призеров конкурса,​ {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} ​.
  
 **Обсуждение** **Обсуждение**
  
-По мере продвижения к финишу конкурса ​задачи ​традиционно усложняются. Не удивительно, что часть марафонцев сошли ​с дистанции, а другие держатся из последних сил. Но есть ​и те, у кого открылось ​второе дыхание. Посмотрим, у кого хватит ​сил на финишный ​рывок.+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется ​это просто. В ММ269 ответа на общий ​вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не оказал" неверный ​ответ). А для ММ270 у меня был верный ​обоснованный ​ответ.
  
-Интересно, что Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук, ​обобщая задачу, передоказали теорему [[http://​cms.math.ca/​openaccess/​cjm/​v15/​cjm1963v15.0744-0751.pdf| Грюнбаумаоцкина]]\\ +Эта ситуация выбила почву из под ​ног большинства любителей ​обобщений. Да, практически всерешившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы ​на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачиЕдинственным, ​кто ​изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов ​размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае ​двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля ​он получил наименьшие значения m, для ​которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние ​оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {678}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом ​отдельным документом), ​в том числеи по причине слишком большого ​веса основного решения.
-В [[http://​dxdy.ru/​post1158048.html#​p1158048|упоминавшейся ранее]] книжжке Бранко ​Грюнбаума есть расширенный вариант этой теоремы.\\ +
-Пусть (g<​sub>​3</​sub>,​ g<​sub>​4</​sub>,​ g<​sub>​5</​sub>,​ g<​sub>​6</​sub>​) - вектор, характеризующий количества треугольных, четытеругольных, пятиугольных ​и шестиугольных ​граней простого (степень каждой вершины ​равна 3) многогранникаи других граней ​у него нет, т.е. по теореме Эберхарда 3g<​sub>​3</​sub>​+2g<​sub>​4</​sub>​+g<​sub>​5</​sub>​=12. Тогда:\\ +
-векторы ​0, 0, 12, g<​sub>​6</​sub>​ и 0, 6, 0, g<​sub>​6</​sub>​ реализуемы тогда и только тогда, когда g<​sub>​6</​sub>​≠1;​\+
-вектор ​400, g<​sub>​6</​sub> ​реализуем тогда и только ​тогда, когда g<​sub>​6</​sub> ​четно и отлично от 2;\\ +
-вектор 3, 1, 1g<​sub>​6</​sub> ​реализуем тогда и только тогда, тогда g<​sub>​6</​sub> ​нечетно и больше 1.\\+
  
-Предлагая данную задачу,​ я уже знал ответ на вопрос о наибольшем возможном числе диагоналей многогранника с произвольным фиксированным количеством ​граней. Но, в отличие от Анатолия и Олега я не предоказывал теорему Грюнбаума_Моцкина, а нашел ее в сети.\\ +Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для ​больших значений m. Разнятся эти решения степенью ​гипотетичности и обоснованности данного ​ответаа также ​количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу то касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-Вот как ​выглядит центральный фрагмент авторского решения MM219 "методом чайника" в свете этой теоремы:\\ +
-Предположим, что существует многогранник ​с вектором граней (01, 10, 0). Фрагмент соответствующего графа приведен в левой части рис. 1.+
  
-{{ :​marathon:​mm219.png?​200 |рис.1}} 
- 
-Отсечением от него ребра, ровно одна вершина которого принадлежит четырехугольной грани, получим многогранник с вектором (0,1,10,1). У полученного многогранника отсечем шестигранник,​ как показано в правой части рис 1. Получим многогранник с вектором граней (0,0,12,1). Но по теореме Грюнбаума-Моцкина такого многогранника не существует. Значит,​ не существует и исходного многогранника. Остается привести пример ​ многогранника с вектором (0,​2,​8,​1),​имеющего 73 диагонали. ​ 
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение и обобщение ​ММ219 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук ​получают ​по 12 призовых баллов.\\ +За решение ​задачи ММ270 участники Марафона получают ​следующие ​призовые баллы:\\ 
-За решение ММ219 участникам начислены следующие призовые баллы:\\  +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
-Владислав Франк 8; \\ +Олег Полубасов - 16;\\ 
-Владимир Чубанов ​и Виктор Филимоненков- ​по 6.+Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов ​- 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\ 
 + 
 +Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла** 
 ---- ----
  
  
-=====ММ218=====+===== ММ269 =====
  
-**Конкурсная задача ММ218** (баллов)+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
  
-Найти наименьшее ​возможное количество диагоналей ​многогранника, имеющего 2017 ребер. ​ +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
- +a) класса 3;\\ 
- +b) класса 4?
-[[problem 218|Решение задачи ММ218]]+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения ​Владимира Чубанова, ​{{:​marathon:​mm218_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_pr_218_1.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​frank_mm218.pdf|Владислава Франка}}. +Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
-**Решение ​Владимира Чубанова**+**Обсуждение** ​
  
-ММ218+Согласно традициям ​Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
 +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе,​ не прислали решения ​ММ269 всего два человека. А остальные порадовали,​ но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбы,​ все же сжалились,​ сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
-Найти наименьшее возможное количество ​диагоналей многогранника, имеющего ​2017 ребер.+Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
 +В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной ​возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ситуация,​ когда "​Вася и Петя ​оба правы",​ маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактатывоспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых ​баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом ​решении)
  
-Ответ: 1004 диагоналей.+**Награды**
  
-{{ :​marathon:​pic_mm218.png?​200 |[img]http://​s019.radikal.ru/​i600/​1611/​e3/​e8f7633cbe66.png[/​img]|рис. 1}} +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают ​следующие призовые баллы: \\ 
-Пример на 1004 построить ​легко (см. ​рисунок). Поставили треугольную призму "​домиком"​ и с одной стороны ​-- со стороны AB -- добавили ​1004 точки в плоскости ​ABDF (на рисунке отмечена только часть этих точек). Получили 1008 точек основания и 2 точки "сверху"​.\\ +Олег Полубасов 18;\\ 
-Количество рёбер: 1008+1004+4+1 = 2017;\\ +Мераб Левиашвили ​- 16;\\ 
-Количество (пространственных) диагоналей: 1004 -- все новые точки соединены с т.E. Других диагоналей нет.\\+Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин ​Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов ​- 11;\\ 
 +Виктор ​Филимоненков 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-Аргументы в пользу того, что меньше быть не может.\\ +**Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.7 балла** 
-При рассмотрении суммарно всех диагоналей (пространственные + диагонали граней) нетрудно заметить, ​что наиболее выгодная ​стратегия лежит не в уменьшении числа вершин и не в разделении вершин по разным граням,​ а в максимальной консолидации вершин в одной грани-плоскости (поскольку \binom{n}{2} растёт квадратично, при таком количестве точек это перевешивает остальные стратегии).\\ +----
-Поднять только одну вершину над плоскостью недостаточно ​-- количество рёбер будет чётным.\\ +
-Поднять 2 вершины над плоскостью можно несколькими принципиально разными способами,​ которые несложно перебрать руками и убедиться,​ что представленный вариант принадлежит множеству самых выгодных.+
  
-Кроме того, приведу и свое решение задачи. 
  
-**Авторское решение**+===== ММ268 =====
  
-Я специально не стал заострять внимание на технических деталях, чтобы не скрыть ​в них основные (довольно простыеидеи.+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
  
-Пусть ​многогранник имеет ​вершин, e ребер и f гранейа h<​sub>​1</​sub>​,h<​sub>​2</​sub>​...<​sub>​f</​sub>​ - количества сторон граней. Очевидночто количество ребер такого многогранника многогранника вычисляется по формуле:\\+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое nчто из чисел ​1,2,,n можно составить ​сумму произведенийв которой ​каждое число встречается ровно один ​раз, равную m. Сколько существует ​недопустимых чисел
  
-<m>d=({matrix{2}{1}{{v}{2}}}) - e-1/2 sum{i=1}{f}{h_i(h_i-3)}</​m>​ (1)+Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-Легко видеть, ​что при фиксированных e и f  сумма+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
  
-<​m>​1/​2 sum{i=1}{f}{h_i(h_i-3)}</​m> ​+----
  
-будет тем меньше,​ чем равномернее распределены значения h<​sub>​i</​sub>​. И, соответственно,​ тем больше,​ чем больше самое большое из h<​sub>​i</​sub>​ (в дальнейшем будем считать,​ что это h<​sub>​1</​sub>​.\\ 
-При четных e h<​sub>​1</​sub>​ может достигать e/2. Этот случай соответствует пирамидам,​ у которых d=0.  
  
-В нашем случае наибольшее значение h<​sub>​1</​sub>​ = 1008 достигается при v = 1010, f = 1009. Соответствующие многогранники (еще две его грани четырехугольны,​ а остальные треугольны) легко строится. Их изображения можно найти в некоторых из приводимых решений. По формуле (1) (или в лоб) находим,​ что для такого многогранника d = 1004. 
  
-Ясно, что с ростом v уменьшаемое в (1) будет расти, а вычитаемое уменьшаться. Следовательно будет расти и d.+===== ММ267 =====
  
-Картина,​ возникающая при ​уменьшении v, не столь очевидна. Ведь в этом случае в (1) будут уменьшаться и уменьшаемое и вычитаемое.\\ +**Конкурсная ​задача ​ММ267** ​(баллов)
-Так, при v = 1009, f = 1010  ​существует многогранник, имеющий одну 1007-угольную и 1009 треугольных граней. Впрочем,​ для того, чтобы понять,​ что у него больше диагоналей,​ чем вышеописанный, ​даже не нужно прибегать к формуле (1). Ведь, ​чтобы получить новый многогранник из предыдущего,​ достаточно малым шевелением:​\\ +
-а) перегнуть четырехугольные грани по диагонали ​(при этом добавятся две грани, два ребра и две диагонали);\\ +
-б) спрямить одну из сторон 1008-угольного основания (при этом уйдут одна вершина,​ одна грань, два ребра и одна диагональ).\\  +
-Итого, у нового многогранника получится 1004+2-1 = 1005 диагоналей.+
  
-Но уже следующее уменьшение v на 1 приведет к лавинообразному росту d. В самом ​деле, пусть ​v = 1008, f = 1011. Тогда наибольшее возможное значение h<​sub>​1</​sub>​ равно 1004 (иначе просто некуда будет "впихнуть" ​необходимое количество граней и ребер). Остальные ​1010 грани - треугольники ((см. соответствующий граф на рисунке)Для ​такого многогранника формула (1) дает d=3009. ​+Вася и Петя поспорили. Вася ​уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более ​двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны ​3. Петя уверен ​в обратномКто из них прав?
  
-{{ :​marathon:​pic_mm218_val.png?​200 ​|рис.1}}+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
  
-При дальнейшем уменьшении v наибольшее возможное h<​sub>​1</​sub>​ убывает более быстрыми темпами и, следовательно,​ d растет. Так, при наименьшем возможном v, равном 675, наибольшее h<​sub>​1</​sub>​ будет 5, а d=675·674/​2-2017-5 = 225453.+----
  
-**Обсуждение**+===== ММ266 =====
  
-Подзаголовок "От двух до пяти",​ смутивший одних и вдохновивших других марафонцев, ​случайно достался этой ​задаче в наследство от ММ208.+**Конкурсная задача ​ММ266** (7 баллов)
  
-Судя по присланным ​решениям, ММ218 оказалась достаточно сложной. Я же рассматривал ее, как ​весьма простую. По-видимому, это следствие того, что ​данную задачу ​я поставил уже ​после того, ​как исследовал вопросы о количестве диагоналей многогранников с фиксированным ​количеством вершин (граней). В частности, к этому времени я уже ​знал (и умел доказывать), что ​для минимизации количества диагоналей надо ​максимизировать число сторон самой ​большой грани. +Вася Пупкин выписал дни рождения ​семерых ​своих однокурсников, родившихся в январе одного и того ​же года, что ​и Васяипоэкспериментировав с выписанными числами, заметил два ​факта:\\  
-Чтобы понять,​ насколько по-разному ​воспринимали сложность задачи участники и ведущий достаточно сравнить авторское решение с решением ​Владислава Франка,​ в котором Влад долго ​и скрупулезно обосновывает... неверный ​ответ :-) Сразу отмечу (а товедь, не каждый осилит несколько ​страниц), что в решении Влада есть и верный ответ, но Влад предпочел ​сохранить в итоговом варианте весь тернистый путь к нему+1τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>​где n – произведение ​всех выписанных чисел;\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей, если ​известно, что все они младше Васи.
  
-Изначально я планировал давать 5 баллов за решения, в которых будут указаны ​многогранники с 1004 и 1055 диагоналями и приведены (возможно,​ не идеально строгие,​ но убедительные) соображения,​ подтверждающие невозможность меньшего ​числа диагоналей. Т. е. близкие к тому, что ​приведено мной. Но в процессе изучения ​решений участников, я слегка персмотрел эти критерии в сторону увеличения призовых баллов. Я старался не замечать откровения типа 553+553 = 1006 :) По крайней мере, при оценивании. +Примечаниепри сравнении возрастов учитываются днино не часы рождения.
- +
-Разумеется, число 2017 не особенное по отношению к ММ218. Важна лишь его нечетность. Мне понравилось, что формула d=(e-9)/2 возвращает наименьшее возможное количество диагоналей многогранника с нечетным числом ребер для ​всех без исключения допустимых значений e и дает заведомо бессмысленные значения для тех e, для которых не существует многогранников. Многие другие формулы,​ связанные с количеством диагоналей многогранников, допускают исключения ​для малых значений параметров   +
- +
-**Награды**+
  
-За решение ​ММ218 участникам начислены следующие призовые баллы:​\\  +[[problem 266|Решение задачи ​ММ266]]
-Владислав Франк, Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 8;\\  +
-Владимир Чубанов - 6;\\ +
-Виктор Филимоненков и Владимир Дорофеев - по 4.\\ +
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла** 
 ---- ----
  
-=====ММ217=====+===== ММ265 =====
  
-**Конкурсная задача ММ217** (баллов)+**Конкурсная задача ММ265** (баллов)
  
-Диагонали AC<​sub>​1</​sub>​ и BD<​sub>​1</​sub>​ шестигранника ABCDA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​D<​sub>​1</​sub>,​ все грани ​которого четырехугольны, пересекаются в точке O.  Могут ​ли остальные пары диагоналей скрещиваться? ​+Разрезать правильный треугольник ​на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-[[problem ​217|Решение задачи ММ217]] +[[problem ​265|Решение задачи ММ265]]
-----+
  
-=====ММ216===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ216** (10 баллов) 
- 
-Назовем натуральное число n красивым,​ если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей,​ кратно n.\\ 
-1. Доказать,​ что все праймориалы красивы.\\ 
-2. Верно ли, что все факториалы красивы?​\\ 
-3. Сколько существует красивых чисел вида k<​sup>​7</​sup>,​ где k - некоторое натуральное число?​\\ 
-4. Сколько существует красивых чисел вида 7k<​sup>​k</​sup>,​ где k - некоторое натуральное число? 
- 
-[[problem 216|Решение задачи ММ216]] 
 ---- ----
  
-=====ММ215=====+===== ММ264 =====
  
-**Конкурсная задача ММ215** (4 балла) +**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
- +
-На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?​ +
- +
-[[problem 215|Решение задачи ММ215]] +
-----+
  
-=====ММ214=====+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной,​ если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-**Конкурсная задача ММ214** (4 балла)+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных ​делителей,​ сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?​\\  +[[problem 264|Решение задачи ​ММ264]]
-2. При каком наименьшем ​числе граней существует многогранник,​ все грани которого пятиугольны?​+
  
-[[problem 214|Решение задачи ММ214]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ263 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-=====ММ213=====+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-**Конкурсная задача ​ММ213** ​(балла)+([x] и {x} означают соответственно целую ​часть ​(пол) и дробную часть числа x.)
  
-1. Пусть ​ H = {h<​sub>​1</​sub>,​ h_2,​..., ​ h<​sub>​f</​sub>​} , где  ​f ​ - количество граней,​ а  h<​sub>​i</​sub> ​ - число сторон ​ i -й грани. Какое наименьшее значение ​может принимать f-|H| ?\\ +[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-2. Пусть g<​sub>​i</​sub>​ означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<​sub>​i</​sub>​ не превышать 2? +
  
-[[problem 213|Решение задачи ММ213]] 
 ---- ----
  
-=====ММ212===== 
  
-**Конкурсная задача ММ212** (балла)+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершинможет быть разрезан ​на  4030 тетраэдров.+Разносторонний ​треугольник назовем прогрессивнымесли длины ​его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказатьчто треугольник прогрессивен ​тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через ​точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне
  
-**Решение**+Примечание:​ тривиальное решение ​(недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-[[problem ​212|Решение задачи ММ212]] +[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
-----+
  
-=====ММ211=====+---- 
 +===== ММ261 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ​ММ211** (3 балла)+Натуральные ​числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
  
-Доказать,​ что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого ​четырехугольники.+[[problem 261|Решение ​задачи ​ММ261]]
  
-[[problem 211|Решение задачи ММ211]] 
 ---- ----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1481225281.txt · Последние изменения: 2016/12/08 22:28 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006