• Правила марафона
• Рейтинг участников
• Архив Марафона

Завершается 22-й конкурс в рамках Математического марафона

Старожилы Марафона, наверняка, обратили внимание, что привычное слово «тур» заменено на «конкурс». Это сделано, чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования.

В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в правила Марафона внесены некоторые уточнения.

22-й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках. Во всех задачах, где речь идет о многогранниках, под словом «многогранник» подразумевается выпуклый многогранник.

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.

Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Конкурсная задача ММ220 (15 баллов)

Решения принимаются до 17.12.2016

Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует.

Конкурсная задача ММ219 (8 баллов)

Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник?

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Владислава Франка.

Обсуждение

По мере продвижения к финишу конкурса задачи традиционно усложняются. Не удивительно, что часть марафонцев сошли с дистанции, а другие держатся из последних сил. Но есть и те, у кого открылось второе дыхание. Посмотрим, у кого хватит сил на финишный рывок.

Интересно, что Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук, обобщая задачу, передоказали теорему Грюнбаума-Моцкина
В упоминавшейся ранее книжжке Бранко Грюнбаума есть расширенный вариант этой теоремы.
Пусть (g₃, g₄, g₅, g₆) - вектор, характеризующий количества треугольных, четытеругольных, пятиугольных и шестиугольных граней простого (степень каждой вершины равна 3) многогранника, и других граней у него нет, т.е. по теореме Эберхарда 3g₃+2g₄+g₅=12. Тогда:
векторы 0, 0, 12, g₆ и 0, 6, 0, g₆ реализуемы тогда и только тогда, когда g₆≠1;
вектор 4, 0, 0, g₆ реализуем тогда и только тогда, когда g₆ четно и отлично от 2;
вектор 3, 1, 1, g₆ реализуем тогда и только тогда, тогда g₆ нечетно и больше 1.

Предлагая данную задачу, я уже знал ответ на вопрос о наибольшем возможном числе диагоналей многогранника с произвольным фиксированным количеством граней. Но, в отличие от Анатолия и Олега я не предоказывал теорему Грюнбаума_Моцкина, а нашел ее в сети.
Вот как выглядит центральный фрагмент авторского решения MM219 «методом чайника» в свете этой теоремы:
Предположим, что существует многогранник с вектором граней (0, 1, 10, 0). Фрагмент соответствующего графа приведен в левой части рис. 1.

Отсечением от него ребра, ровно одна вершина которого принадлежит четырехугольной грани, получим многогранник с вектором (0,1,10,1). У полученного многогранника отсечем шестигранник, как показано в правой части рис 1. Получим многогранник с вектором граней (0,0,12,1). Но по теореме Грюнбаума-Моцкина такого многогранника не существует. Значит, не существует и исходного многогранника. Остается привести пример многогранника с вектором (0,2,8,1),имеющего 73 диагонали.

Награды

За решение и обобщение ММ219 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 12 призовых баллов.
За решение ММ219 участникам начислены следующие призовые баллы:
Владислав Франк - 8;
Владимир Чубанов и Виктор Филимоненков- по 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла

Конкурсная задача ММ218 (5 баллов)

Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер.

Решение задачи ММ218

Конкурсная задача ММ217 (6 баллов)

Диагонали AC₁ и BD₁ шестигранника ABCDA₁B₁C₁D₁, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?

Решение задачи ММ217

Конкурсная задача ММ216 (10 баллов)

Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n.
1. Доказать, что все праймориалы красивы.
2. Верно ли, что все факториалы красивы?
3. Сколько существует красивых чисел вида k⁷, где k - некоторое натуральное число?
4. Сколько существует красивых чисел вида 7k^k, где k - некоторое натуральное число?

Решение задачи ММ216

Конкурсная задача ММ215 (4 балла)

На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?

Решение задачи ММ215

Конкурсная задача ММ214 (4 балла)

1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?
2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны?

Решение задачи ММ214

Конкурсная задача ММ213 (4 балла)

1. Пусть H = {h₁, h_2,…, h_f} , где f - количество граней, а h_i - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?
2. Пусть g_i означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g_i не превышать 2?

Решение задачи ММ213

Конкурсная задача ММ212 (4 балла)

Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров.

Решение

Решение задачи ММ212

Конкурсная задача ММ211 (3 балла)

Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники.

Решение задачи ММ211