marathon:about [2016/12/08 22:29] letsko [ММ218] |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
====== Математический марафон ====== | ====== Математический марафон ====== |
| |
{{ :marathon:konkurs.gif}} | {{ :marathon:konkurs.gif}} |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
Завершается **22-й конкурс в рамках Математического марафона** | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
Старожилы Марафона, наверняка, обратили внимание, что привычное слово "тур" заменено на "конкурс". Это сделано, чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования. | |
| |
В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в правила Марафона внесены некоторые уточнения. | |
| |
22-й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках. | |
Во всех задачах, где речь идет о многогранниках, под словом "многогранник" подразумевается выпуклый многогранник. | |
| |
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
---- | ---- |
| |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
| ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
---- | ---- |
| |
===== ММ220 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __17.12.2016__ | |
| |
Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует. | ====== Разбор задач ====== |
---- | ---- |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
====== Разбор задач ====== | |
---- | ---- |
| |
=====ММ219===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ219** (8 баллов) | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник? | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
| |
**Решение** | **Решение** |
| |
Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Владислава Франка. | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
| |
**Обсуждение** | **Обсуждение** |
| |
По мере продвижения к финишу конкурса задачи традиционно усложняются. Не удивительно, что часть марафонцев сошли с дистанции, а другие держатся из последних сил. Но есть и те, у кого открылось второе дыхание. Посмотрим, у кого хватит сил на финишный рывок. | В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
| |
Интересно, что Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук, обобщая задачу, передоказали теорему [[http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0744-0751.pdf| Грюнбаума-Моцкина]]\\ | Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
В [[http://dxdy.ru/post1158048.html#p1158048|упоминавшейся ранее]] книжжке Бранко Грюнбаума есть расширенный вариант этой теоремы.\\ | |
Пусть (g<sub>3</sub>, g<sub>4</sub>, g<sub>5</sub>, g<sub>6</sub>) - вектор, характеризующий количества треугольных, четытеругольных, пятиугольных и шестиугольных граней простого (степень каждой вершины равна 3) многогранника, и других граней у него нет, т.е. по теореме Эберхарда 3g<sub>3</sub>+2g<sub>4</sub>+g<sub>5</sub>=12. Тогда:\\ | |
векторы 0, 0, 12, g<sub>6</sub> и 0, 6, 0, g<sub>6</sub> реализуемы тогда и только тогда, когда g<sub>6</sub>≠1;\\ | |
вектор 4, 0, 0, g<sub>6</sub> реализуем тогда и только тогда, когда g<sub>6</sub> четно и отлично от 2;\\ | |
вектор 3, 1, 1, g<sub>6</sub> реализуем тогда и только тогда, тогда g<sub>6</sub> нечетно и больше 1.\\ | |
| |
Предлагая данную задачу, я уже знал ответ на вопрос о наибольшем возможном числе диагоналей многогранника с произвольным фиксированным количеством граней. Но, в отличие от Анатолия и Олега я не предоказывал теорему Грюнбаума_Моцкина, а нашел ее в сети.\\ | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
Вот как выглядит центральный фрагмент авторского решения MM219 "методом чайника" в свете этой теоремы:\\ | |
Предположим, что существует многогранник с вектором граней (0, 1, 10, 0). Фрагмент соответствующего графа приведен в левой части рис. 1. | |
| |
{{ :marathon:mm219.png?200 |рис.1}} | |
| |
Отсечением от него ребра, ровно одна вершина которого принадлежит четырехугольной грани, получим многогранник с вектором (0,1,10,1). У полученного многогранника отсечем шестигранник, как показано в правой части рис 1. Получим многогранник с вектором граней (0,0,12,1). Но по теореме Грюнбаума-Моцкина такого многогранника не существует. Значит, не существует и исходного многогранника. Остается привести пример многогранника с вектором (0,2,8,1),имеющего 73 диагонали. | |
| |
**Награды** | **Награды** |
| |
За решение и обобщение ММ219 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 12 призовых баллов.\\ | За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
За решение ММ219 участникам начислены следующие призовые баллы:\\ | Мераб Левиашвили - 18;\\ |
Владислав Франк - 8; \\ | Олег Полубасов - 16;\\ |
Владимир Чубанов и Виктор Филимоненков- по 6. | Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
| Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла** | |
---- | ---- |
| |
| |
=====ММ218===== | ===== ММ269 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ218** (5 баллов) | **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер. | Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
| a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
| Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
| |
| Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
| В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
| Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Олег Полубасов - 18;\\ |
| Мераб Левиашвили - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
| Василий Дзюбенко - 11;\\ |
| Александр Романов - 11;\\ |
| Виктор Филимоненков - 11;\\ |
| Денис Овчинников - 7. |
| |
[[problem 218|Решение задачи ММ218]] | **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
---- | ---- |
| |
=====ММ217===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ217** (6 баллов) | ===== ММ268 ===== |
| |
Диагонали AC<sub>1</sub> и BD<sub>1</sub> шестигранника ABCDA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
| |
| Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
| Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
| [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
| |
[[problem 217|Решение задачи ММ217]] | |
---- | ---- |
| |
=====ММ216===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ216** (10 баллов) | |
| |
Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n.\\ | ===== ММ267 ===== |
1. Доказать, что все праймориалы красивы.\\ | |
2. Верно ли, что все факториалы красивы?\\ | **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
3. Сколько существует красивых чисел вида k<sup>7</sup>, где k - некоторое натуральное число?\\ | |
4. Сколько существует красивых чисел вида 7k<sup>k</sup>, где k - некоторое натуральное число? | Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
| [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
| |
[[problem 216|Решение задачи ММ216]] | |
---- | ---- |
| |
=====ММ215===== | ===== ММ266 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ215** (4 балла) | **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
| |
На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму? | Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
| Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
| |
| [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
| |
[[problem 215|Решение задачи ММ215]] | |
---- | ---- |
| |
=====ММ214===== | ===== ММ265 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ214** (4 балла) | Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
| |
1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?\\ | [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны? | |
| |
[[problem 214|Решение задачи ММ214]] | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ264 ===== |
| |
=====ММ213===== | **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
**Конкурсная задача ММ213** (4 балла) | Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
| Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
| |
1. Пусть H = {h<sub>1</sub>, h_2,..., h<sub>f</sub>} , где f - количество граней, а h<sub>i</sub> - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?\\ | (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
2. Пусть g<sub>i</sub> означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<sub>i</sub> не превышать 2? | |
| [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
| |
[[problem 213|Решение задачи ММ213]] | |
---- | ---- |
| |
=====ММ212===== | ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
| |
**Конкурсная задача ММ212** (4 балла) | Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров. | ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
| |
**Решение** | [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
| |
[[problem 212|Решение задачи ММ212]] | |
---- | ---- |
| |
=====ММ211===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ211** (3 балла) | ===== ММ262 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
| Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
| Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
| |
| Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
| |
| [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
| |
| ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
| Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники. | [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
| |
[[problem 211|Решение задачи ММ211]] | |
---- | ---- |
| |
| |
~~NOTOC~~ | ~~NOTOC~~ |