Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2016/12/08 22:29]
letsko [ММ218]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Завершается **22-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Старожилы Марафона,​ наверняка,​ обратили внимание,​ что привычное слово "​тур"​ заменено на "​конкурс"​. Это сделано,​ чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования. 
- 
-В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в правила Марафона внесены некоторые уточнения. 
- 
-22-й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках. 
-Во всех задачах,​ где речь идет о многогранниках,​ под словом "​многогранник"​ подразумевается выпуклый многогранник. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
Строка 34: Строка 30:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
-===== ММ220 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов) 
- 
-Решения принимаются до __17.12.2016__ 
  
-Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей,​ а многогранника,​ имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей,​ не существует.+====== Разбор задач ======
 ---- ----
 +=====
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-====== Разбор задач ====== 
 ---- ----
  
-=====ММ219===== 
  
-**Конкурсная задача ММ219** (баллов) ​+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
  
-Какое ​наибольшее количество ​диагоналей может иметь ​одиннадцатигранник?+Найти ​наибольшее возможное количество ​граней многогранника класса m.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения Олега ПолубасоваАнатолия Казмерчука и Владислава Франка. +Привожу решения ​призеров конкурса,​ {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} ​.
  
 **Обсуждение** **Обсуждение**
  
-По мере продвижения к финишу конкурса ​задачи ​традиционно усложняются. Не удивительно, что часть марафонцев сошли ​с дистанции, а другие держатся из последних сил. Но есть ​и те, у кого открылось ​второе дыхание. Посмотрим, у кого хватит ​сил на финишный ​рывок.+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется ​это просто. В ММ269 ответа на общий ​вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не оказал" неверный ​ответ). А для ММ270 у меня был верный ​обоснованный ​ответ.
  
-Интересно, что Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук, ​обобщая задачу, передоказали теорему [[http://​cms.math.ca/​openaccess/​cjm/​v15/​cjm1963v15.0744-0751.pdf| Грюнбаумаоцкина]]\\ +Эта ситуация выбила почву из под ​ног большинства любителей ​обобщений. Да, практически всерешившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы ​на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачиЕдинственным, ​кто ​изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов ​размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае ​двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля ​он получил наименьшие значения m, для ​которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние ​оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {678}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом ​отдельным документом), ​в том числеи по причине слишком большого ​веса основного решения.
-В [[http://​dxdy.ru/​post1158048.html#​p1158048|упоминавшейся ранее]] книжжке Бранко ​Грюнбаума есть расширенный вариант этой теоремы.\\ +
-Пусть (g<​sub>​3</​sub>,​ g<​sub>​4</​sub>,​ g<​sub>​5</​sub>,​ g<​sub>​6</​sub>​) - вектор, характеризующий количества треугольных, четытеругольных, пятиугольных ​и шестиугольных ​граней простого (степень каждой вершины ​равна 3) многогранникаи других граней ​у него нет, т.е. по теореме Эберхарда 3g<​sub>​3</​sub>​+2g<​sub>​4</​sub>​+g<​sub>​5</​sub>​=12. Тогда:\\ +
-векторы ​0, 0, 12, g<​sub>​6</​sub>​ и 0, 6, 0, g<​sub>​6</​sub>​ реализуемы тогда и только тогда, когда g<​sub>​6</​sub>​≠1;​\+
-вектор ​400, g<​sub>​6</​sub> ​реализуем тогда и только ​тогда, когда g<​sub>​6</​sub> ​четно и отлично от 2;\\ +
-вектор 3, 1, 1g<​sub>​6</​sub> ​реализуем тогда и только тогда, тогда g<​sub>​6</​sub> ​нечетно и больше 1.\\+
  
-Предлагая данную задачу,​ я уже знал ответ на вопрос о наибольшем возможном числе диагоналей многогранника с произвольным фиксированным количеством ​граней. Но, в отличие от Анатолия и Олега я не предоказывал теорему Грюнбаума_Моцкина, а нашел ее в сети.\\ +Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для ​больших значений m. Разнятся эти решения степенью ​гипотетичности и обоснованности данного ​ответаа также ​количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу то касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-Вот как ​выглядит центральный фрагмент авторского решения MM219 "методом чайника" в свете этой теоремы:\\ +
-Предположим, что существует многогранник ​с вектором граней (01, 10, 0). Фрагмент соответствующего графа приведен в левой части рис. 1.+
  
-{{ :​marathon:​mm219.png?​200 |рис.1}} 
- 
-Отсечением от него ребра, ровно одна вершина которого принадлежит четырехугольной грани, получим многогранник с вектором (0,1,10,1). У полученного многогранника отсечем шестигранник,​ как показано в правой части рис 1. Получим многогранник с вектором граней (0,0,12,1). Но по теореме Грюнбаума-Моцкина такого многогранника не существует. Значит,​ не существует и исходного многогранника. Остается привести пример ​ многогранника с вектором (0,​2,​8,​1),​имеющего 73 диагонали. ​ 
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение и обобщение ​ММ219 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук ​получают ​по 12 призовых баллов.\\ +За решение ​задачи ММ270 участники Марафона получают ​следующие ​призовые баллы:\\ 
-За решение ММ219 участникам начислены следующие призовые баллы:\\  +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
-Владислав Франк 8; \\ +Олег Полубасов - 16;\\ 
-Владимир Чубанов ​и Виктор Филимоненков- ​по 6.+Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов ​- 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\ 
 + 
 +Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла** 
 ---- ----
  
  
-=====ММ218=====+===== ММ269 =====
  
-**Конкурсная задача ММ218** (баллов)+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
  
-Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника,​ имеющего ​2017 ребер. ​+Какова максимальная возможная степень ​вершины выпуклого многогранника\\  
 +a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4? 
 + 
 +**Решение** 
 + 
 +Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. 
 + 
 +**Обсуждение**  
 + 
 +Согласно традициям Марафона последние задачи ​каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
 +Результатом этого усложнения ​чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе,​ не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбы, все же сжалились,​ сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. 
 + 
 +Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
 +В какой-то момент у меня имелось три решенияв которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы,​ дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая,​ что ситуация,​ когда "​Вася и Петя ​оба правы",​ маловероятна,​ ведущий ​был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решенийДополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).  
 + 
 +**Награды**
  
 +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Олег Полубасов - 18;\\
 +Мераб Левиашвили - 16;\\
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\
 +Василий Дзюбенко - 11;\\
 +Александр Романов - 11;\\
 +Виктор Филимоненков - 11;\\
 +Денис Овчинников - 7.
  
-[[problem 218|Решение задачи ​ММ218]]+**Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.7 балла**
 ---- ----
  
-=====ММ217===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ217** (6 баллов)+===== ММ268 =====
  
-Диагонали ​AC<​sub>​1</​sub> ​и BD<​sub>​1</​sub>​ шестигранника ABCDA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​D<​sub>​1</​sub>​, все грани которого четырехугольны, пересекаются ​в точке O Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? ​+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) 
 + 
 +Назовем ​натуральное число m допустимым, ​если существует такое n, что из чисел ​1,2,…,n можно составить ​сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует ​недопустимых чисел?  
 + 
 +Примечание: в суммах произведений допускаются ​одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. 
 + 
 +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
  
-[[problem 217|Решение задачи ММ217]] 
 ---- ----
  
-=====ММ216===== 
  
-**Конкурсная задача ММ216** (10 баллов) 
  
-Назовем ​натуральное число n красивым, если наименьшее ​натуральное число, имеющее ровно n натуральных ​делителей,​ кратно n.\\ +===== ММ267 ===== 
-1. Доказать, что все праймориалы красивы.\\ + 
-2. Верно ли, что все факториалы красивы?\\ +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) 
-3. Сколько существует ​красивых чисел ​вида k<​sup>​7</​sup>, ​где k - некоторое натуральное число?​\\ + 
-4Сколько существует красивых чисел вида 7k<​sup>​k</​sup>,​ где k - некоторое натуральное ​число?+Вася ​и Петя поспорили. Вася уверенчто среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных ​слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое ​слагаемое присутствует ​не более двух ​раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3Петя уверен в обратном. Кто из них прав? 
 + 
 +[[problem 267|Решение задачи ​ММ267]]
  
-[[problem 216|Решение задачи ММ216]] 
 ---- ----
  
-=====ММ215=====+===== ММ266 =====
  
-**Конкурсная задача ММ215** (балла)+**Конкурсная задача ММ266** (баллов)
  
-На какое наименьшее количество тетраэдров можно ​разрезать шестиугольную призму?+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных ​чисел;\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни ​рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. 
 + 
 +Примечание: при ​сравнении возрастов ​учитываются дни, но не часы рождения. 
 + 
 +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
  
-[[problem 215|Решение задачи ММ215]] 
 ---- ----
  
-=====ММ214=====+===== ММ265 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ214** (4 балла)+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие ​два из возникших треугольников не были подобны.
  
-1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?​\\  +[[problem 265|Решение задачи ​ММ265]]
-2. При каком наименьшем ​числе граней существует многогранник,​ все грани которого пятиугольны?​+
  
-[[problem 214|Решение задачи ММ214]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
-=====ММ213=====+**Конкурсная задача ​ММ264** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ММ213** (4 балла)+Назовем пару ​натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, что существует ​бесконечно много ​аддитивных пар.\\
  
-1. Пусть ​ H = {h<​sub>​1</​sub>​h_2,...,  h<​sub>​f</​sub>​} , где ​ f  ​- количество ​граней, а  ​h<​sub>​i</​sub> ​ - число сторон ​ i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?\\ +(τ(n)σ(n)φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных ​делителей и функция Эйлера соответственно.) 
-2. Пусть g<​sub>​i</​sub>​ означает число i-угольных ​граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<​sub>​i</​sub> ​не превышать 2? + 
 +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
  
-[[problem 213|Решение задачи ММ213]] 
 ---- ----
  
-=====ММ212=====+===== ММ263 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ​ММ212** (4 балла)+Сколько решений может иметь ​уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-Доказать, что ​любой многогранник,​ имеющий 2016 вершин, может быть разрезан ​на  ​4030 ​тетраэдров.+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
  
-**Решение**+[[problem 263|Решение ​задачи ММ263]]
  
-[[problem 212|Решение задачи ММ212]] 
 ---- ----
  
-=====ММ211===== 
  
-**Конкурсная задача ММ211** (3 балла)+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (3 балла) 
 + 
 +Разносторонний треугольник назовем прогрессивным,​ если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая,​ проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера,​ параллельна средней стороне.  
 + 
 +Примечание:​ тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) 
 + 
 +[[problem 262|Решение задачи ММ262]] 
 + 
 +---- 
 +===== ММ261 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла) 
 + 
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
  
-Доказать,​ что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого ​четырехугольники.+[[problem 261|Решение ​задачи ​ММ261]]
  
-[[problem 211|Решение задачи ММ211]] 
 ---- ----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1481225364.txt · Последние изменения: 2016/12/08 22:29 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006