Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2016/12/11 10:50]
letsko [ММ216]
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Завершается **22-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Старожилы Марафона, наверняка, обратили внимание, что привычное слово "тур" заменено на "конкурс". Это сделано, чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования.
-В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в правила Марафона внесены некоторые уточнения.
--й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках.
-Во всех задачах, где речь идет о многогранниках, под словом "многогранник" подразумевается выпуклый многогранник.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 ----
@@ Строка 34: / Строка 30: @@
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
-===== ММ220 =====
-**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов)
-Решения принимаются до __17.12.2016__
+====== Разбор задач ======
-Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует.
 ----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-====== Разбор задач ======
 ----
-=====ММ219=====
-**Конкурсная задача ММ219** (8 баллов)
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник?
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
+**Решение**
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
+**Обсуждение**
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
+**Награды**
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-[[problem 219|Решение задачи ММ219]]
 ----
-=====ММ218=====
+===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ218** (5 баллов)
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер.
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
+**Решение**
-[[problem 218|Решение задачи ММ218]]
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
+**Обсуждение**
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
+**Награды**
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Олег Полубасов - 18;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-=====ММ217=====
-**Конкурсная задача ММ217** (6 баллов)
+===== ММ268 =====
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-Диагонали AC<sub>1</sub> и BD<sub>1</sub> шестигранника ABCDA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O.  Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-[[problem 217|Решение задачи ММ217]]
 ----
-=====ММ216=====
-**Конкурсная задача ММ216** (10 баллов)
-Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n.\\
+===== ММ267 =====
-. Доказать, что все праймориалы красивы.\\
-. Верно ли, что все факториалы красивы?\\
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-. Сколько существует красивых чисел вида k<sup>7</sup>, где k - некоторое натуральное число?\\
-. Сколько существует красивых чисел вида 7<sup>k</sup>, где k - некоторое натуральное число?
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-[[problem 216|Решение задачи ММ216]]
 ----
-=====ММ215=====
+===== ММ266 =====
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-**Конкурсная задача ММ215** (4 балла)
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-[[problem 215|Решение задачи ММ215]]
 ----
-=====ММ214=====
+===== ММ265 =====
-**Конкурсная задача ММ214** (4 балла)
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?\\
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны?
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-[[problem 214|Решение задачи ММ214]]
 ----
+===== ММ264 =====
-=====ММ213=====
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ213** (4 балла)
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-. Пусть  H = {h<sub>1</sub>, h_2,...,  h<sub>f</sub>} , где  f  - количество граней, а  h<sub>i</sub>  - число сторон  i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?\\
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-. Пусть g<sub>i</sub> означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<sub>i</sub> не превышать 2?
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-[[problem 213|Решение задачи ММ213]]
 ----
-=====ММ212=====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ212** (4 балла)
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на  4030 тетраэдров.
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-**Решение**
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 212|Решение задачи ММ212]]
 ----
-=====ММ211=====
-**Конкурсная задача ММ211** (3 балла)
+===== ММ262 =====
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
+----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-[[problem 211|Решение задачи ММ211]]
 ----
 ~~NOTOC~~