Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2016/12/20 17:55]
letsko [ММ220]
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Завершился **22-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Победу в конкурсе одержал **Олег Полубасов**, в упорной борьбе ненамного опередив **Анатолия Казмерчука**. Третье место уверенно занял вернувшийся после длительного отсутствия **Владислав Франк**.
-Мои поздравления победителям!
-Новый конкурс стартует в 2107 году.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 ----
@@ Строка 33: / Строка 30: @@
 ====== Текущие задачи ======
-Пока нет. Но будут.
 ----
+**На данный момент отсутствуют.**
+----
 ====== Разбор задач ======
+----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
 ----
-=====ММ220=====
-**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов)
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует.
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
 **Решение**
-Привожу все поступившие решения этой трудной задачи: {{:marathon:kazmerchuk_pr_220_.docx|Анатолия Казмерчука}}, О{{:marathon:mm220_polubasoff.pdf|лега Полубасова}} и {{:marathon:frank_mm220.pdf|Владислава Франка}} (как обычно сохранившего в итоговом решении весь тернистый путь к нему).\\
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-В качестве авторского решения привожу {{:marathon:balt-report.docx|текст доклада}}, написанного под моим руководством Михаилом Корневым при участии Ивана Кравченко. Доклад имеет отношение не только к ММ220, но и еще к восьми задачам конкурса. Ответ к разбираемой задаче легко получается применением формул, выведенных во втором параграфе.
 **Обсуждение**
-До финиша 22-го марафонского конкурса добрались 3 участника. С учетом тенденций прошлых конкурсов и сложности заключительной задачи такой итог был вполне предсказуем, хотя ведущий, с присущим ему оптимизмом, до последнего надеялся на лучшее.
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Как это часто практикуется в Марафоне, вопрос задачи ММ220 был частным. Но в данном случае обобщение задачи не только естественно, но, по сути, необходимо. Поскольку проще всего искать ответ к задаче, исследуя вопрос о возможных количествах диагоналей многогранников с фиксированным числом вершин в общем виде. В связи с этим обстоятельством прибавки за обобщение и рассмотрение других случаев задачи несущественны по отношению к базовой стоимости.
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-Возможные количества диагоналей, а также мощности множеств возможных количеств диагоналей для относительно небольших значений v приведены здесь: [[Table_for_A279681|Приложения]]. Интересно, что вторая из этих последовательностей обнаружилась в OEIS: [[https://oeis.org/A023536|A023536]]. При этом в описании последовательности никакие диагонали многогранников не упоминались. \\
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-В связи с нынешним конкурсом в OEIS появился и целый ряд новых последовательностей:\\
-[[https://oeis.org/A279015|A279015]] - наибольшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом граней;\\
-[[https://oeis.org/A279019|A279019]] - наименьшее возможное количество диагоналей простых многогранников с данным числом граней;\\
-[[https://oeis.org/A279022|A279022]] - наибольшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом ребер;\\
-[[https://oeis.org/A279620|A279620]] - наименьшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом ребер;\\
-[[https://oeis.org/A279647|A279647]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом граней;\\
-[[https://oeis.org/A279679|A279679]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом ребер;\\
-[[https://oeis.org/A279681|A279681]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин.
-В этом списке не хватает не только тривиальных случаев, типа "Наименьшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом граней (вершин)", но и нескольких содержательных вариаций. Наибольшие возможные количества диагоналей многогранников с данным числом вершин описываются треугольными числами. А вот , например, вопрос о наименьшем возможном количестве диагоналей простых многогранников с данным числом вершин (коих в данном случае, разумеется должно быть четное число) ждет своего исследователя.
-Любопытно, что исчерпывающее описание возможных значений количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин удалось получить вопреки тому обстоятельству, что задача существования многогранников с требуемым вектором граней (участвующим в формуле подсчета числа диагоналей) в общем виде (насколько мне известно) до сих пор не решена. (Отмечу, что условия (2) - (5) из решения Олега Полубасова обоснованы им для многогранников, необходимых для решения ММ220, но не в общем случае.)
+**Награды**
-Я пробовал применить технику (введение параметра, отвечающего за количество вершин вне грани с наибольшим числом сторон), приведшую к полному описанию возможных значений количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин, к аналогичным задачам в случаях, когда фиксируется количество граней или ребер. Но ничего хорошего из этого не вышло. Вместо отрезков натурального ряда, сплошь заполненных возможными значениями, возникает какое-то решето :-(
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Возможно, иной подход окажется удачнее. Но "ручное" вычисление начальных значений A279647 и A279679 оптимизма не внушает - каких-либо закономерностей не видно.
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
-**Награды**
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-За решение и обобщение ММ220 Анатолий Казмерчук получает 17 призовых баллов, а Олег Полубасов и  Владислав Франк - по 15 призовых баллов.\\
-За некоторые соображения по решению Владимир ЧВубанов получает 3 призовых балла.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-=====ММ219=====
+===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ219** (8 баллов)
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник?
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
-[[problem 219|Решение задачи ММ219]]
+**Решение**
-----
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-=====ММ218=====
+**Обсуждение**
-**Конкурсная задача ММ218** (5 баллов)
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер.
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
+**Награды**
-[[problem 218|Решение задачи ММ218]]
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Олег Полубасов - 18;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-=====ММ217=====
-**Конкурсная задача ММ217** (6 баллов)
+===== ММ268 =====
-Диагонали AC<sub>1</sub> и BD<sub>1</sub> шестигранника ABCDA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O.  Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-[[problem 217|Решение задачи ММ217]]
 ----
-=====ММ216=====
-**Конкурсная задача ММ216** (10 баллов)
-Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n.\\
+===== ММ267 =====
-. Доказать, что все праймориалы красивы.\\
-. Верно ли, что все факториалы красивы?\\
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-. Сколько существует красивых чисел вида k<sup>7</sup>, где k - некоторое натуральное число?\\
-. Сколько существует красивых чисел вида 7<sup>k</sup>, где k - некоторое натуральное число?
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-[[problem 216|Решение задачи ММ216]]
 ----
-=====ММ215=====
+===== ММ266 =====
-**Конкурсная задача ММ215** (4 балла)
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-[[problem 215|Решение задачи ММ215]]
 ----
-=====ММ214=====
+===== ММ265 =====
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-**Конкурсная задача ММ214** (4 балла)
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?\\
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны?
-[[problem 214|Решение задачи ММ214]]
 ----
+===== ММ264 =====
-=====ММ213=====
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ213** (4 балла)
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-. Пусть  H = {h<sub>1</sub>, h_2,...,  h<sub>f</sub>} , где  f  - количество граней, а  h<sub>i</sub>  - число сторон  i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?\\
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-. Пусть g<sub>i</sub> означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<sub>i</sub> не превышать 2?
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-[[problem 213|Решение задачи ММ213]]
 ----
-=====ММ212=====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ212** (4 балла)
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на  4030 тетраэдров.
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-**Решение**
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 212|Решение задачи ММ212]]
 ----
-=====ММ211=====
-**Конкурсная задача ММ211** (3 балла)
+===== ММ262 =====
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
+----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-[[problem 211|Решение задачи ММ211]]
 ----
 ~~NOTOC~~