marathon:about [2017/04/22 23:25] letsko |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
====== Математический марафон ====== | ====== Математический марафон ====== |
| |
{{ :marathon:konkurs.gif}} | {{ :marathon:konkurs.gif}} |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
Стартовал **23-й конкурс в рамках Математического марафона** | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим **арифметике** и **комбинаторной геометрии**. Третью можно условно озаглавить **"Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ"**. Окажется ли этот сон кошмарным, узнаем осенью. | |
| |
Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача). | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
---- | ---- |
| |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
| |
===== ММ221 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ221[/color]** (4 балла) | |
Решения принимаются до __08.09.2017__ | |
| |
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<sup>4</sup> + 2y<sup>3</sup> = 37<sup>z</sup> ? | |
---- | ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
| |
===== ММ222 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ222** (5 баллов) | |
Решения принимаются до __15.09.2017__ | |
| |
На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.\\ | |
Пусть n – наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.\\ | |
Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1? | |
---- | ---- |
| |
| |
| |
===== ММ223 ===== | ====== Разбор задач ====== |
| |
**Конкурсная задача ММ223** (6 баллов) | |
Решения принимаются до __22.09.2017__ | |
| |
Рассмотрим две задачки. | |
| |
1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? | |
| |
2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? | |
| |
Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи? | |
| |
Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5 | |
---- | ---- |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
| |
| |
===== ММ224 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ224** (6 баллов) | |
Решения принимаются до __22.09.2017__ | |
| |
В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи — 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. | |
---- | ---- |
| |
| |
| |
===== ММ225 ===== | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ225** (6 баллов) | |
Решения принимаются до __06.10.2017__ | |
| |
Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<sup>2</sup> + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня. | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
---- | |
| |
| |
| **Решение** |
| |
===== ММ226 ===== | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
| |
**Конкурсная задача ММ226** (5 баллов) | |
Решения принимаются до __13.10.2017__ | |
| |
Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n. | **Обсуждение** |
А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа? | |
---- | |
| |
| В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
| |
| Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
| |
===== ММ227 ===== | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
| |
**Конкурсная задача ММ227** (7 баллов) | |
Решения принимаются до __20.10.2017__ | |
| |
Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</m> - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <m>p_1+p_2+...p_s</m>.\\ | |
Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k·sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.\\ | |
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.\\ | |
Найти наименьшее слабое число.\\ | |
Доказать, что слабых чисел бесконечно много. | |
---- | |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
| Мераб Левиашвили - 18;\\ |
| Олег Полубасов - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
=====Терминология ММ228-230===== | Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
| |
Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. | |
| |
{{:marathon:mm228-230.png?200|}} | |
| |
**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ | |
**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ | |
**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ | |
**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ | |
**Элементарными отрезками** назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\ | |
**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\ | |
**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ | |
**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [7, 7, 1, 0, 0]. | |
---- | ---- |
| |
| |
| ===== ММ269 ===== |
| |
===== ММ228 ===== | **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ228** (4 балла) | |
Решения принимаются до __27.10.2017__ | |
| |
Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? | Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
---- | a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
| |
===== ММ229 ===== | **Обсуждение** |
| |
**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов) | |
Решения принимаются до __03.11.2017__ | |
| |
Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ | Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ | Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\ | |
1) количество прямых;\\ | |
2) количество элементарных многоугольников:\\ | |
3) количество выпуклых вершин;\\ | |
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\ | |
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\ | |
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\ | |
7) количество обратных вершин;\\ | |
8) количество впадин;\\ | |
9) количество сторон внешнего контура? | |
| |
Примечание: Вася – умный. | Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
---- | В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
| Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
| |
| **Награды** |
| |
===== ММ230 ===== | За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Олег Полубасов - 18;\\ |
**Конкурсная задача ММ230** (15 баллов) | Мераб Левиашвили - 16;\\ |
Решения принимаются до __01.12.2017__ | Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
| Василий Дзюбенко - 11;\\ |
| Александр Романов - 11;\\ |
| Виктор Филимоненков - 11;\\ |
| Денис Овчинников - 7. |
| |
Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? | **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
---- | ---- |
| |
====== Разбор задач ====== | |
---- | |
| |
=====ММ220===== | ===== ММ268 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов) | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
| |
Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует. | Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
**Решение** | Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
Привожу все поступившие решения этой трудной задачи: {{:marathon:kazmerchuk_pr_220_.docx|Анатолия Казмерчука}}, О{{:marathon:mm220_polubasoff.pdf|лега Полубасова}} и {{:marathon:frank_mm220.pdf|Владислава Франка}} (как обычно сохранившего в итоговом решении весь тернистый путь к нему).\\ | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
В качестве авторского решения привожу {{:marathon:balt-report.docx|текст доклада}}, написанного под моим руководством Михаилом Корневым при участии Ивана Кравченко. Доклад имеет отношение не только к ММ220, но и еще к восьми задачам конкурса. Ответ к разбираемой задаче легко получается применением формул, выведенных во втором параграфе. | |
| |
**Обсуждение** | ---- |
| |
До финиша 22-го марафонского конкурса добрались 3 (с лишним ;-))участника. С учетом тенденций прошлых конкурсов и сложности заключительной задачи такой итог был вполне предсказуем, хотя ведущий, с присущим ему оптимизмом, до последнего надеялся на лучшее. | |
| |
Как это часто практикуется в Марафоне, вопрос задачи ММ220 был частным. Но в данном случае обобщение задачи не только естественно, но, по сути, необходимо. Поскольку проще всего искать ответ к задаче, исследуя вопрос о возможных количествах диагоналей многогранников с фиксированным числом вершин в общем виде. В связи с этим обстоятельством прибавки за обобщение и рассмотрение других случаев задачи несущественны по отношению к базовой стоимости. | |
| |
Возможные количества диагоналей, а также мощности множеств возможных количеств диагоналей для относительно небольших значений v приведены здесь: [[Table_for_A279681|Приложения]]. Интересно, что вторая из этих последовательностей обнаружилась в OEIS: [[https://oeis.org/A023536|A023536]]. При этом в описании последовательности никакие диагонали многогранников не упоминались. \\ | ===== ММ267 ===== |
В связи с нынешним конкурсом в OEIS появился и целый ряд новых последовательностей:\\ | |
[[https://oeis.org/A279015|A279015]] - наибольшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом граней;\\ | |
[[https://oeis.org/A279019|A279019]] - наименьшее возможное количество диагоналей простых многогранников с данным числом граней;\\ | |
[[https://oeis.org/A279022|A279022]] - наибольшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом ребер;\\ | |
[[https://oeis.org/A279647|A279647]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом граней;\\ | |
[[https://oeis.org/A279679|A279679]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом ребер;\\ | |
[[https://oeis.org/A279681|A279681]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин. | |
| |
В этом списке не хватает не только тривиальных случаев, типа "Наименьшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом граней (вершин)", но и нескольких содержательных вариаций. Наибольшие возможные количества диагоналей многогранников с данным числом вершин описываются треугольными числами. А вот , например, вопрос о наименьшем возможном количестве диагоналей простых многогранников с данным числом вершин (коих в данном случае, разумеется должно быть четное число) ждет своего исследователя. | **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
| |
Любопытно, что исчерпывающее описание возможных значений количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин удалось получить вопреки тому обстоятельству, что задача существования многогранников с требуемым вектором граней (участвующим в формуле подсчета числа диагоналей) в общем виде (насколько мне известно) до сих пор не решена. (Отмечу, что условия (2) - (5) из решения Олега Полубасова, насколько я могу судить, не дают решения для общего случая.) | Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
Я пробовал применить технику (введение параметра, отвечающего за количество вершин вне грани с наибольшим числом сторон), приведшую к полному описанию возможных значений количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин, к аналогичным задачам в случаях, когда фиксируется количество граней или ребер. Но ничего хорошего из этого не вышло. Вместо отрезков натурального ряда, сплошь заполненных возможными значениями, возникает какое-то решето :-( | [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
Возможно, иной подход окажется удачнее. Но "ручное" вычисление начальных значений A279647 и A279679 оптимизма не внушает - каких-либо закономерностей не видно. | |
| |
**Награды** | ---- |
| |
За решение и обобщение ММ220 Анатолий Казмерчук получает 17 призовых баллов, а Олег Полубасов и Владислав Франк - по 15 призовых баллов.\\ | ===== ММ266 ===== |
За некоторые соображения по решению Владимир Чубанов получает 3 призовых балла. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** | |
---- | |
| |
| **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
| |
=====ММ219===== | Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
**Конкурсная задача ММ219** (8 баллов) | Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
| |
Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник? | [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
| |
[[problem 219|Решение задачи ММ219]] | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ265 ===== |
| |
=====ММ218===== | **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ218** (5 баллов) | Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
| |
Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер. | [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
| |
| |
[[problem 218|Решение задачи ММ218]] | |
---- | ---- |
| |
=====ММ217===== | ===== ММ264 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ217** (6 баллов) | **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
Диагонали AC<sub>1</sub> и BD<sub>1</sub> шестигранника ABCDA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? | |
| |
[[problem 217|Решение задачи ММ217]] | |
---- | |
| |
=====ММ216===== | Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
| Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
| |
**Конкурсная задача ММ216** (10 баллов) | (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
| |
Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n.\\ | [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
1. Доказать, что все праймориалы красивы.\\ | |
2. Верно ли, что все факториалы красивы?\\ | |
3. Сколько существует красивых чисел вида k<sup>7</sup>, где k - некоторое натуральное число?\\ | |
4. Сколько существует красивых чисел вида 7<sup>k</sup>, где k - некоторое натуральное число? | |
| |
[[problem 216|Решение задачи ММ216]] | |
---- | ---- |
| |
=====ММ215===== | ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
| |
**Конкурсная задача ММ215** (4 балла) | Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму? | ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
| |
[[problem 215|Решение задачи ММ215]] | [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
---- | |
| |
=====ММ214===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ214** (4 балла) | |
| |
1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?\\ | |
2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны? | |
| |
[[problem 214|Решение задачи ММ214]] | |
---- | ---- |
| |
| |
=====ММ213===== | ===== ММ262 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
**Конкурсная задача ММ213** (4 балла) | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
| Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
| |
1. Пусть H = {h<sub>1</sub>, h_2,..., h<sub>f</sub>} , где f - количество граней, а h<sub>i</sub> - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?\\ | Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
2. Пусть g<sub>i</sub> означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<sub>i</sub> не превышать 2? | |
| |
[[problem 213|Решение задачи ММ213]] | [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
---- | |
| |
=====ММ212===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ212** (4 балла) | |
| |
Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров. | |
| |
**Решение** | |
| |
[[problem 212|Решение задачи ММ212]] | |
---- | ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
=====ММ211===== | Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
**Конкурсная задача ММ211** (3 балла) | |
| |
Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники. | [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
| |
[[problem 211|Решение задачи ММ211]] | |
---- | ---- |
| |
| |
~~NOTOC~~ | ~~NOTOC~~ |