Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2017/04/22 23:25]
letsko
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **23-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако,​ легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим **арифметике** и **комбинаторной геометрии**. Третью можно условно озаглавить **"​Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ"​**. Окажется ли этот сон кошмарным,​ узнаем осенью. 
  
-Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком ​трудными. Впрочем, это замечание ​не касается последней задачи ​(оценка трудности которой - сама по себе трудная задача)+Стать ​участником марафона может ​любой желающий. Некоторые ​задачи ​вполне доступны ​школьникам. Для ​решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи ​могут показаться вам ​интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Еще одна цель, которую я преследовал,​ составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем,​ от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится. +Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
- +
-Более ранний,​ по сравнению с предыдущими,​ старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно,​ активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит,​ что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. ​Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, ​выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... +
- +
-Но если ​любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
Строка 33: Строка 30:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
- 
-===== ММ221 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ221[/​color]** (4 балла) 
-Решения принимаются до __08.09.2017__ 
- 
-Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<​sup>​4</​sup>​ + 2y<​sup>​3</​sup>​ = 37<​sup>​z</​sup>​ ? 
 ---- ----
- +**На данный момент отсутствуют.**
- +
-===== ММ222 ===== +
-  +
-**Конкурсная задача ММ222** (5 баллов) +
-Решения принимаются до __15.09.2017__ +
- +
-На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.\\  +
-Пусть n – наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых ​возможна описанная ситуация.\\   +
-Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1?+
 ---- ----
  
-  
  
-===== ММ223 ​===== +====== Разбор задач ​======
-  +
-**Конкурсная задача ММ223** (6 баллов) +
-Решения принимаются до __22.09.2017__ +
-  +
-Рассмотрим две ​задачки. +
- +
-1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить ​ в журнале первую из них с тройки на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку,​ учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность,​ что Васина оценка за четверть повысится при условии,​ что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы  оценок равновероятны?​ +
- +
-2. Вася получил ​за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку,​ учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность,​ что Васина оценка за четверть повысится при условии,​ что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы ​ оценок равновероятны?​ +
- +
-Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи? +
- +
-Примечание:​ Был ли журнал электронным – не важно. ​ Но важно, что колы не ставим:​ разрешается использовать ​ только оценки 2, 3, 4, 5+
 ---- ----
 +=====
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
- 
- 
-===== ММ224 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ224** (6 баллов) 
-Решения принимаются до __22.09.2017__ 
- 
-В задаче,​ которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников,​ на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами,​ проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей:​ 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи ​ —  20. Найти угол С, если известно,​ что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. 
 ---- ----
-  
  
  
-===== ММ225 ===== +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-  +
-**Конкурсная задача ММ225** (баллов) +
-Решения принимаются до __06.10.2017__+
  
-Найти ​все значения параметра ​a, при которых уравнение (2a+3)x<​sup>​2</​sup>​ + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых ​корня. +Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
----- +
- +
  
 +**Решение**
  
-===== ММ226 ===== +Привожу решения призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи ​победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} ​.
-  +
-**Конкурсная задача ММ226** (5 баллов) +
-Решения принимаются до __13.10.2017__+
  
-Назовем натуральное число n счастливым,​ если оно является точной седьмой степенью,​ а седьмой (при ​упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n.  +**Обсуждение**
-А есть ли, вообще,​ счастье в жизни? В смысле,​ существуют ли счастливые числа?​ +
-----+
  
 +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты,​ в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся,​ но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
  
 +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-===== ММ227 ===== +Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших ​значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
-  +
-**Конкурсная задача ​ММ227** (7 баллов+
-Решения принимаются до __20.10.2017__+
  
-Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</​m>​ - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <​m>​p_1+p_2+...p_s</​m>​.\\ 
-Назовем натуральное число k слабым,​ если уравнение x = k·sopf(x) неразрешимо в натуральных числах,​ и сильным в противном случае.\\ 
-Доказать,​ что сильных чисел бесконечно много.\\ 
-Найти наименьшее слабое число.\\ 
-Доказать,​ что слабых чисел бесконечно много. 
----- 
  
 +**Награды**
  
 +За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\
 +Мераб Левиашвили - 18;\\
 +Олег Полубасов - 16;\\
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\
 +Александр Романов - 16;\\
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\
 +Виктор Филимоненков - 10;\\
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-=====Терминология ММ228-230=====+Эстетическая ​оценка задачи - 4.8 балла
  
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**,​ если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. ​ 
- 
-{{:​marathon:​mm228-230.png?​200|}} 
-  
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник,​ высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ 
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации,​ перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации,​ представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ 
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины,​ в которых углы меньше развернутого. ​ На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ 
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура,​ углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ 
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки,​ концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен,​ а отрезок BC – нет.\\ 
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники,​ стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например,​ треугольник DEF на рисунке 1 элементарен,​ а треугольник BCD – нет.\\ 
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами,​ содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация,​ изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ 
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых),​ первое из которых равно количеству элементарных треугольников,​ второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации,​ представленной на рисунке 1 – [7, 7, 1, 0, 0]. 
 ---- ----
  
  
 +===== ММ269 =====
  
-===== ММ228 ===== + **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-  +
-**Конкурсная задача ММ228** (балла) +
-Решения принимаются до __27.10.2017__+
  
-Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого ​многогранника\\  
-----+a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
 +**Решение**
  
 +Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
-===== ММ229 ===== +**Обсуждение** 
-  +
-**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов) +
-Решения принимаются до __03.11.2017__+
  
-Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\  +Согласно ​традициям Марафона последние задачи ​каждого конкурса имеют ​повышенную ​сложность. Эта ​традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
-Вася ​выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей ​конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3)\\ +Результатом этого ​усложнения чаще всего был ​отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была ​нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсене прислали решения ММ269 всего два ​человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего ​:-Впрочем, после моей мольбывсе же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-После ​этого ​Петя ​стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\ +
-1) количество прямых;​\\ +
-2) количество элементарных многоугольников:\\  +
-3) количество выпуклых вершин;\\ +
-4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;​\\ +
-5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего ​контура;​\\ +
-6суммарное число сторон элементарных ​многоугольников;​\\ +
-7) количество обратных вершин;​\\ +
-8) количество впадин;\\ +
-9) количество сторон внешнего контура?+
  
-Примечание:​ Вася ​– умный. +Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
----- +В какой-то момент у меня имелось три решения,​ в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы,​ дающих разные ответы ​:-)\\ 
-  ​+Понимая,​ что ситуация,​ когда "Вася ​и Петя оба правы",​ маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). ​
  
 +**Награды**
  
-===== ММ230 ===== +За решение задачи ​ММ269 участники Марафона получают следующие призовые ​баллы: \\ 
-  +Олег Полубасов - 18;\\ 
-**Конкурсная задача ​ММ230** (15 баллов) +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
-Решения принимаются до __01.12.2017__+Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых ​общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?+**Эстетическая оценка задачи ​- 4.7 балла**
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ====== 
----- 
  
-=====ММ220=====+===== ММ268 =====
  
-**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов)+**Конкурсная задача ММ268** (баллов)
  
-Найти ​наименьшее v такоечто существует многогранник, ​имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранникаимеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует.+Назовем ​натуральное число m допустимым,​ если ​существует ​такое n, что из чисел 1,​2,​…,​n ​можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ​ровно один ​разравную m. Сколько ​существует ​недопустимых чисел? ​
  
-**Решение**+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-Привожу все поступившие решения этой трудной задачи:​ {{:​marathon:​kazmerchuk_pr_220_.docx|Анатолия Казмерчука}},​ О{{:​marathon:​mm220_polubasoff.pdf|лега Полубасова}} и {{:​marathon:​frank_mm220.pdf|Владислава Франка}} (как обычно сохранившего в итоговом решении весь тернистый путь к нему).\\  +[[problem 268|Решение ​задачи ММ268]]
-В качестве авторского решения привожу {{:​marathon:​balt-report.docx|текст ​доклада}}, написанного под моим руководством Михаилом Корневым при участии Ивана Кравченко. Доклад имеет отношение не только к ММ220, но и еще к восьми задачам конкурса. Ответ к разбираемой задаче легко получается применением формул,​ выведенных во втором параграфе.+
  
-**Обсуждение**+----
  
-До финиша 22-го марафонского конкурса добрались 3 (с лишним ;​-))участника. С учетом тенденций прошлых конкурсов и сложности заключительной задачи такой итог был вполне предсказуем,​ хотя ведущий,​ с присущим ему оптимизмом,​ до последнего надеялся на лучшее. 
  
-Как это часто практикуется в Марафоне,​ вопрос задачи ММ220 был частным. Но в данном случае обобщение задачи не только естественно,​ но, по сути, необходимо. Поскольку проще всего искать ответ к задаче,​ исследуя вопрос о возможных количествах диагоналей многогранников с фиксированным числом вершин в общем виде. В связи с этим обстоятельством прибавки за обобщение и рассмотрение других случаев задачи несущественны по отношению к базовой стоимости. 
  
-Возможные количества диагоналей,​ а также мощности множеств возможных количеств диагоналей для относительно небольших значений v приведены здесь: [[Table_for_A279681|Приложения]]. Интересно,​ что вторая из этих последовательностей обнаружилась в OEIS: [[https://​oeis.org/​A023536|A023536]]. При этом в описании последовательности никакие диагонали многогранников не упоминались. \\ +===== ММ267 =====
-В связи с нынешним конкурсом в OEIS появился и целый ряд новых последовательностей:​\\ +
-[[https://​oeis.org/​A279015|A279015]] - наибольшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом граней;​\\  +
-[[https://​oeis.org/​A279019|A279019]] - наименьшее возможное количество диагоналей простых многогранников с данным числом граней;​\\  +
-[[https://​oeis.org/​A279022|A279022]] - наибольшее возможное количество диагоналей многогранников с данным числом ребер;​\\  +
-[[https://​oeis.org/​A279647|A279647]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом граней;​\\  +
-[[https://​oeis.org/​A279679|A279679]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом ребер;​\\ +
-[[https://​oeis.org/​A279681|A279681]] - возможные значения количеств диагоналей многогранников с данным числом вершин.+
  
-В этом списке ​не хватает не только тривиальных случаев, типа "​Наименьшее возможное количество диагоналей многогранников с данным ​числом граней ​(вершин)",​ но и нескольких содержательных вариаций. Наибольшие возможные количества диагоналей многогранников с данным числом вершин описываются треугольными числами. А вот , например,​ вопрос о наименьшем возможном количестве диагоналей простых многогранников с данным числом вершин (коих в данном случае,​ разумеется должно быть четное числождет своего исследователя.+**Конкурсная задача ​ММ267** ​(баллов)
  
-Любопытно, что ​исчерпывающее описание ​возможных значений ​количеств диагоналей многогранников с данным ​числом вершин удалось получить вопреки тому обстоятельству, что задача ​существования многогранников ​с требуемым вектором граней (участвующим в формуле подсчета числа диагоналей) в общем виде (насколько мне известно) до сих пор не решена(Отмечу, что условия (2) - (5) из решения Олега Полубасова, ​насколько я могу судить, не дают ​решения для общего случая.)+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений ​натурального числа n в виде суммы натуральных ​слагаемых ​чаще ​встречаются теу которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, ​чем те, у которых все ​слагаемые не кратны 3Петя уверен ​в обратном. Кто из них прав?
  
-Я пробовал применить технику (введение параметра,​ отвечающего за количество вершин вне грани с наибольшим числом сторон),​ приведшую к полному описанию возможных значений количеств ​диагоналей многогранников с данным ​числом вершин,​ к аналогичным задачам в случаях,​ когда фиксируется количество граней или ребер. Но ничего хорошего из этого не вышло. Вместо отрезков натурального ряда, сплошь заполненных возможными значениями,​ возникает какое-то решето :-( +[[problem 267|Решение задачи ​ММ267]]
-Возможно,​ иной подход окажется удачнее. Но "​ручное"​ вычисление начальных значений A279647 и A279679 оптимизма не внушает - каких-либо закономерностей не видно.+
  
-**Награды**+----
  
-За решение и обобщение ​ММ220 Анатолий Казмерчук получает 17 призовых баллов,​ а Олег Полубасов и  Владислав Франк - по 15 призовых баллов.\\ +===== ММ266 =====
-За некоторые соображения по решению Владимир Чубанов получает 3 призовых балла. +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** +
-----+
  
 +**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
  
-=====ММ219=====+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-**Конкурсная задача ​ММ219** (8 баллов) +Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
  
-Какое наибольшее количество диагоналей может ​иметь одиннадцатигранник?+[[problem 266|Решение ​задачи ММ266]]
  
-[[problem 219|Решение задачи ММ219]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-=====ММ218=====+**Конкурсная задача ​ММ265** (5 баллов)
  
-**Конкурсная задача ​ММ218** (5 баллов)+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-Найти наименьшее возможное количество ​диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер. ​+[[problem 265|Решение ​задачи ММ265]]
  
- 
-[[problem 218|Решение задачи ММ218]] 
 ---- ----
  
-=====ММ217=====+===== ММ264 =====
  
-**Конкурсная задача ММ217** (баллов) +**Конкурсная задача ММ264** (балла)
- +
-Диагонали AC<​sub>​1</​sub>​ и BD<​sub>​1</​sub>​ шестигранника ABCDA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​D<​sub>​1</​sub>,​ все грани которого четырехугольны,​ пересекаются в точке O.  Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?​  +
- +
-[[problem 217|Решение задачи ММ217]] +
-----+
  
-=====ММ216=====+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной,​ если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-**Конкурсная задача ММ216** (10 баллов)+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных ​делителей,​ сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-Назовем натуральное число n красивым,​ если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей,​ кратно n.\\ +[[problem 264|Решение задачи ​ММ264]]
-1. Доказать, что все праймориалы красивы.\\ +
-2. Верно ли, что все факториалы красивы?​\\ +
-3. Сколько существует красивых чисел вида k<​sup>​7</​sup>,​ где k - некоторое натуральное число?​\\ +
-4. Сколько существует красивых чисел вида 7<​sup>​k</​sup>,​ где k - некоторое натуральное ​число?+
  
-[[problem 216|Решение задачи ММ216]] 
 ---- ----
  
-=====ММ215=====+===== ММ263 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ​ММ215** (4 балла)+Сколько решений может иметь ​уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать ​шестиугольную ​призму?+([x] и {x} означают ​соответственно целую часть (пол) ​и дробную ​часть числа x.)
  
-[[problem ​215|Решение задачи ММ215]] +[[problem ​263|Решение задачи ММ263]]
----- +
- +
-=====ММ214===== +
- +
-**Конкурсная задача ММ214** (4 балла) +
- +
-1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?​\\  +
-2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник,​ все грани которого пятиугольны?​+
  
-[[problem 214|Решение задачи ММ214]] 
 ---- ----
  
  
-=====ММ213=====+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-**Конкурсная ​задача ​ММ213** (4 балла)+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным,​ если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера,​ параллельна средней стороне. ​
  
-1. Пусть ​ H = {h<​sub>​1</​sub>,​ h_2,​..., ​ h<​sub>​f</​sub>​} , где  ​f ​ - количество граней, а  h<​sub>​i</​sub> ​ - число сторон ​ i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?\\ +Примечаниетривиальное ​решение (недаром цена задачи ​всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, ​но у нас, слава Богуне ЕГЭ :-)
-2. Пусть g<​sub>​i</​sub>​ означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<​sub>​i</​sub> ​не превышать 2? +
  
-[[problem ​213|Решение задачи ММ213]] +[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
-----+
  
-=====ММ212===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ212** (4 балла) 
- 
-Доказать,​ что любой многогранник,​ имеющий 2016 вершин,​ может быть разрезан на  4030 тетраэдров. 
- 
-**Решение** 
- 
-[[problem 212|Решение задачи ММ212]] 
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-=====ММ211===== +Натуральные ​числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
- +
-**Конкурсная задача ​ММ211** (3 балла)+
  
-Доказать,​ что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого ​четырехугольники.+[[problem 261|Решение ​задачи ​ММ261]]
  
-[[problem 211|Решение задачи ММ211]] 
 ---- ----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1492892745.txt · Последние изменения: 2017/04/22 23:25 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006