Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2017/09/15 22:18]
letsko [ММ224]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **23-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако,​ легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим **арифметике** и **комбинаторной геометрии**. Третью можно условно озаглавить **"​Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ"​**. Окажется ли этот сон кошмарным,​ скоро узнаем. 
  
-Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком ​трудными. Впрочем, это замечание ​не касается последней задачи ​(оценка трудности которой - сама по себе трудная задача)+Стать ​участником марафона может ​любой желающий. Некоторые ​задачи ​вполне доступны ​школьникам. Для ​решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи ​могут показаться вам ​интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Еще одна цель, которую я преследовал,​ составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем,​ от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится. +Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
- +
-Более ранний,​ по сравнению с предыдущими,​ старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно,​ активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит,​ что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. ​Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, ​выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... +
- +
-Но если ​любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
Строка 33: Строка 30:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 +----
  
  
-===== ММ222 ​===== +====== Разбор задач ====== 
-  +---- 
-**Конкурсная задача ММ222** (5 баллов) +===== 
-Решения принимаются ​до __15.09.2017__+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится ​к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.\\ ​ 
-Пусть n – наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.\\  ​ 
-Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1? 
 ---- ----
  
-  
  
-===== ММ223 ===== +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-  +
-**Конкурсная задача ММ223** (баллов) +
-Решения принимаются до __22.09.2017__ +
-  +
-Рассмотрим две задачки.+
  
-1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить ​ в журнале первую из них с тройки на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку,​ учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность,​ что Васина оценка ​за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы ​ оценок равновероятны?​+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса ​m.
  
-2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность,​ что Васина оценка за четверть повысится при условии,​ что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы ​ оценок равновероятны?​+**Решение**
  
-Какое из условий выгоднее для ​жуликоватого Васи?+Привожу решения призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}},​ а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
  
-Примечание:​ Был ли журнал электронным – не важно. ​ Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать ​ только оценки 2, 3, 4, 5 +**Обсуждение**
-----+
  
 +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты,​ в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся,​ но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
  
 +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-===== ММ224 ===== +Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших ​значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
-  +
-**Конкурсная задача ​ММ224** (6 баллов+
-Решения принимаются до __29.09.2017__+
  
-В задаче,​ которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников,​ на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами,​ проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей:​ 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи ​ —  20. Найти угол С, если известно,​ что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. 
----- 
-  
  
 +**Награды**
  
-===== ММ225 ===== +За решение задачи ​ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
-  +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
-**Конкурсная задача ММ225** (6 баллов) +Олег Полубасов - 16;\\ 
-Решения принимаются ​до __06.10.2017__+Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\ 
 + 
 +Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<​sup>​2</​sup>​ + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня. 
 ---- ----
-  
  
  
-===== ММ226 ===== +===== ММ269 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ226** (5 баллов) +
-Решения принимаются до __13.10.2017__+
  
-Назовем ​натуральное число n счастливым,​ если оно является точной седьмой степенью, ​а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный ​делитель n равен количеству натуральных делителей n.  + **Конкурсная задача ​ММ269** (11 баллов)
-А есть ли, вообще, счастье ​в жизни? В смысле,​ существуют ли счастливые числа?​ +
-----+
  
 +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ ​
 +a) класса 3;\\
 +b) класса 4?
  
 +**Решение**
  
-===== ММ227 ===== +Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-  +
-**Конкурсная задача ММ227** (7 баллов+
-Решения ​принимаются до __20.10.2017__+
  
-Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</​m>​ - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <​m>​p_1+p_2+...p_s</​m>​.\\ +**Обсуждение** 
-Назовем натуральное число k слабым,​ если уравнение ​x = k·sopf(x) неразрешимо в натуральных числах,​ и сильным в противном случае.\\ +
-Доказать,​ что сильных чисел бесконечно много.\\ +
-Найти наименьшее слабое число.\\ +
-Доказать,​ что слабых чисел бесконечно много. +
-----+
  
 +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. ​
 +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе,​ не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали,​ но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбы,​ все же сжалились,​ сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
 +Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
 +В какой-то момент у меня имелось три решения,​ в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы,​ дающих разные ответы :-)\\
 +Понимая,​ что ситуация,​ когда "​Вася и Петя оба правы",​ маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). ​
  
-=====Терминология ММ228-230=====+**Награды**
  
-Несколько (не менее трех) прямых ​на плоскости называются **прямыми общего положения**, ​если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых ​общего положения+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие ​призовые ​баллы: \\ 
 +Олег Полубасов - 18;\\ 
 +Мераб Левиашвили ​- 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-{{:​marathon:​mm228-230.png?​200|}} +**Эстетическая оценка задачи ​- 4.7 балла**
-  +
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник,​ высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ +
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей ​конфигурации, перечисленных в порядке ​обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний ​цикл конфигурации,​ представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ +
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины,​ в которых углы меньше развернутого. ​ На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ +
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура,​ углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ +
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки,​ концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен,​ а отрезок BC – нет.\\ +
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники,​ стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например,​ треугольник DEF на рисунке 1 элементарен,​ а треугольник BCD – нет.\\ +
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами,​ содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация,​ изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ +
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых),​ первое из которых равно количеству элементарных треугольников,​ второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации,​ представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].+
 ---- ----
  
  
 +===== ММ268 =====
  
-===== ММ228 ===== +**Конкурсная задача ММ268** (баллов
-  + 
-**Конкурсная задача ММ228** (балла+Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?  
-Решения принимаются до __27.10.2017__+ 
 +Примечание: в суммах произведений допускаются ​одиночные слагаемыеНапример,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. 
 + 
 +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
  
-Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?​ 
 ---- ----
  
  
  
-===== ММ229 ===== +===== ММ267 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов) +
-Решения принимаются до __03.11.2017__+
  
-Петя ​нарисовал ​на доске несколько ​прямых общего положения так, что ​все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\  +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) 
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл ​возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ + 
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:​\\ +Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального ​числа ​в виде суммы ​натуральных ​слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более ​двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны ​3. Петя ​уверен ​в обратном. Кто из них прав
-1) количество прямых;\\ + 
-2) количество элементарных многоугольников:\\  +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-3) количество выпуклых вершин;\\ +
-4) количество элементарных отрезковограничивающих внешний контур;\\ +
-5) количество сторон выпуклой оболочки ​внешнего контура;​\\ +
-6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\ +
-7) количество обратных вершин;​\\ +
-8) количество впадин;\\ +
-9) количество сторон внешнего контура?+
  
-Примечание:​ Вася – умный. 
 ---- ----
-  ​ 
  
 +===== ММ266 =====
  
-===== ММ230 ===== +**Конкурсная задача ММ266** (баллов) 
-  + 
-**Конкурсная задача ММ230** (15 баллов) +Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного ​и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
-Решения принимаются до __01.12.2017__+1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи. 
 + 
 +Примечание:​ при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. 
 + 
 +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
  
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? 
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ​======+===== ММ265 ​===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) 
 + 
 +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. 
 + 
 +[[problem 265|Решение ​задачи ММ265]] 
 ---- ----
  
-=====ММ221=====+===== ММ264 =====
  
-**Конкурсная задача ММ221** (4 балла)+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
  
-Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<​sup>​4</​sup>​ + 2y<​sup>​3</​sup>​ = 37<​sup>​z</​sup>​ ?+Назовем пару ​натуральных чисел a и b аддитивной, ​если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-**Решение**+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей,​ сумма ​натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-Приведу решение ​{{:​marathon:​kazmerchuk_pr_221.docx|Анатолия Казмерчука}} (все остальные правильные решения отличаются от него только отсутствием обобщения):+[[problem 264|Решение задачи ​ММ264]]
  
-**Обсуждение**+----
  
-23-й Марафонский конкурс ​стартовал довольно вяло: я получил всего 8 решений. (Если бы это была последняя задачка конкурса,​ я написал бы "​целых 8 решений!"​). +===== ММ263 ===== 
-Особенно огорчает исчезновение марафонцев со стажем,​ таких как Сергей Половинкин,​ Дмитрий Пашуткин... + **Конкурсная задача ММ263** ​(балла)
-Впрочем,​ история ​Марафона показывает,​ что "​иногда они возвращаются" ​(с).\\ +
-Рассчитывал я и на некоторых хорошо зарекомендовавших себя новичков,​ таких как Владимир Чубанов,​ Васлий Дзюбенко...\\ +
-Увы :-)\\ +
-Но надеюсь,​ и они вернутся.+
  
-Собственно о задаче сказать ​особо нечего. Она планировалась как разминочная. Обобщение,​ приведенное в решении Анатолия (и неожиданно ​только в его решении), вполне очевидно. +Сколько решений может иметь ​уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра ​c?\\
-Более ​интересен вопрос: существуют ли решения, не попавшие в найденную серию. Но ответа на этот вопрос я не знаю.+
  
-**Награды**+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
  
-За правильное решение и обобщение задачи ММ221 Анатолий Казмерчук получает 5 призовых баллов. Олег Полубасов,​ Виктор Филимоненков,​ Владимир Дорофеев,​ Владислав Франк, Евгений Гужавин и Валентина Колыбасова (Ариадна) получают по 4 призовых балла, а Дмитрий Курашкин - 2 призовых балла.+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла** 
 ---- ----
  
  
-=====ММ220=====+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-**Конкурсная ​задача ​ММ220** (15 баллов)+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным,​ если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера,​ параллельна средней стороне. ​
  
-Найти наименьшее такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналейне существует.+Примечаниетривиальное решение ​едаром цена задачи всего 3 баллана ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-[[problem ​220|Решение задачи ММ220]]+[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
  
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
 +
 +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
 +
 +----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1505503117.txt · Последние изменения: 2017/09/15 22:18 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006