Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2017/09/30 10:33]
letsko
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Продолжается **23-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим **арифметике** и **комбинаторной геометрии**. Третью можно условно озаглавить **"Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ"**. Окажется ли этот сон кошмарным, скоро узнаем.
-Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача).
+Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
-Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 ----
@@ Строка 33: / Строка 30: @@
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
+----
-===== ММ225 =====
+====== Разбор задач ======
+----
-**Конкурсная задача ММ225** (6 баллов)
+=====
-Решения принимаются до __06.10.2017__
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<sup>2</sup> + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня.
 ----
-===== ММ226 =====
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная задача ММ226** (5 баллов)
-Решения принимаются до __13.10.2017__
-Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n.
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?
-----
+**Решение**
-===== ММ227 =====
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-**Конкурсная задача ММ227** (7 баллов)
-Решения принимаются до __20.10.2017__
-Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</m> - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <m>p_1+p_2+...p_s</m>.\\
+**Обсуждение**
-Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k·sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.\\
-Доказать, что сильных чисел бесконечно много.\\
-Найти наименьшее слабое число.\\
-Доказать, что слабых чисел бесконечно много.
-----
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-=====Терминология ММ228-230=====
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-{{:marathon:mm228-230.png?200|}}
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого.  На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].
-----
+**Награды**
-===== ММ228 =====
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
-**Конкурсная задача ММ228** (4 балла)
+Олег Полубасов - 16;\\
-Решения принимаются до __27.10.2017__
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?
 ----
-===== ММ229 =====
+===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов)
-Решения принимаются до __03.11.2017__
-Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\
-) количество прямых;\\
-) количество элементарных многоугольников:\\
-) количество выпуклых вершин;\\
-) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\
-) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\
-) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\
-) количество обратных вершин;\\
-) количество впадин;\\
-) количество сторон внешнего контура?
-Примечание: Вася – умный.
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
-----
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
+**Решение**
-===== ММ230 =====
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-**Конкурсная задача ММ230** (15 баллов)
-Решения принимаются до __01.12.2017__
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?
+**Обсуждение**
-----
-====== Разбор задач ======
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-----
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-=====ММ224=====
-**Конкурсная задача ММ224** (6 баллов)
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи  -  20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.
+**Награды**
-**Решение**
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Олег Полубасов - 18;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
-Не смог выбрать лучшие решения. Поэтому приведу все:
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
-{{:marathon:guzhavin_mm224.pdf|Евгения Гужавина}}; {{:marathon:mm224_dorofeev_19-9-2017.docx|Владимира Дорофеева}}; {{:marathon:kazmerchuk_pr_224.docx|Анатолия Казмерчука}}; {{:marathon:ariadna_мм224.pdf|Валентины Колыбасовой}}; {{:marathon:mm224_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}; {{:marathon:fiviol_mm224.docx|Виктора Филимоненкова}}; {{:marathon:frank_mm224.pdf|Владислава Франка}}.
+----
-**Обсуждение**
-На этот раз все откликнувшиеся марафонцы - молодцы! Не допустили ошибок в решении. Поэтому, во избежание нарушения закона сохранения (и приумножения) ошибок во Вселенной, кое-что напутал ведущий.\\
+===== ММ268 =====
-Все было примерно как в старом (времен Norton Commander для DOS) анекдоте: Смотрю слева диск C и справа диск C. А зачем мне два одинаковых диска С? Взял и один отформатировал.\\
-Когда я составлял задачку, в условии фигурировали буквенные обозначения исходного треугольника и трисектрис, из коих однозначно следовало, что именно средний треугольник имеет площадь 4 (догадка Валентиы Колыбасовой верна). Но в последний момент перед публикацией я (а зачем мне два одинаковых диска C?) решил убрать буковки. Буковки исчезли, а количество решений утроилось.
-Присланные решения - настоящий разгул тригонометрии: равные ответы выглядят совершенно различными за счет разного представления.\\
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-И лишь Олег Полубасов упомянул возможность решения через окружности Аполлония. Сам я решал именно через них.
-**Награды**
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-За решение задачи ММ224 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Олег Полубасов - 8;\\
-Владислав Франк и Анатолий Казмерчук - по 7;\\
-Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова, Владимир Дорофеев и Евгений Гужавин - по 6.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла**
 ----
-=====ММ223=====
-**Конкурсная задача ММ223** (6 баллов)
+===== ММ267 =====
-Рассмотрим две задачки.
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку.  Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку.  Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?
+----
-Примечание: Был ли журнал электронным – не важно.  Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать  только оценки 2, 3, 4, 5
+===== ММ266 =====
-[[problem 223|Решение задачи ММ223]]
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-**Решение**
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Приведу решения {{:marathon:mm223_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:guzhavin_mm223.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:marathon:kazmerchuk_pr_223.docx|Анатолия Казмерчука}}:
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Обсуждение**
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Я старательно выполняю обещание сделать марафонские задачки в среднем попроще. Странным образом, цель (привлечь новых участников) этим не достигается. А качество решений, присылаемых "закаленными бойцами", парадоксальным образом снижается. Полагаю, упрощение задач действует на некоторых участников расхолаживающе.
+----
-Источником ошибок в ММ223 была неожиданная трактовка слов "допустимые наборы". Некоторые марафонцы допускают, что троек среди Васиных оценок могло не быть вовсе.
-Несколько участников не ограничились рассмотрением случая, описанного в условии, и рассмотрели ситуации с другим количеством оценок (или даже с другой шкалой оценок).
+===== ММ265 =====
-Представляется очевидным, что обе рассматриваемые вероятности не уходят далеко от значения 2/n, где n - количество оценок.
-В то же время, у одного из участников, загадочным образом, получилось, что вероятность повышения итоговой оценки не зависит от количества оценок и колеблется около показателя 0.4
-Валентина Колыбасова, верно решив задачу, усомнилась в Васиной выгоде:
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-[quote]Теперь обсудим вопрос, какое из условий выгоднее. Формально вероятность повысить оценку за четверть выше во втором случае. Но эти два условия относятся к разным ситуациям: в одном случае первая оценка 3, а во втором случае первая оценка может быть какая угодно. Если оказалось, что у Васи первая оценка в журнале 3, и кроме неё есть ещё другие тройки, то не важно, какую из этих троек он исправит на пятёрку, результат будет одинаковый. Если же окажется, что первая оценка не 3, то поступить согласно первому условию Вася не сможет в принципе. Так что на самом деле не важно, какую именно тройку исправит Вася, вероятность наступления благоприятного исхода зависит не от этого, а от того, какие оценки стоят в журнале.[\quote]
-Разумеется, формулируя вопрос задачи, я имел в виду такую интерпретацию: "При каком из условий вероятность повышения итоговой оценки выше?"
-Если же посмотреть на вещи философски, то еще не известно, выгодно ли, по большому счету, Васе, чтобы его афера сошла ему с рук. Впрочем, я не буду углубляться в эти рассуждения, дабы избежать неуместной в данной теме дискуссии о смысле жизни :-)
-**Награды**
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-За решение задачи ММ223 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Олег Полубасов и Евгений Гужавин - по 7;
-Валентина Колыбасова, Виктор Филимоненков и Анатолий Казмерчук - по 6;
-Владислав Франк - 3;
-Владимир Дорофеев и Василий Дзюбенко - по 2.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
+===== ММ264 =====
-=====ММ222=====
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ222** (6 баллов)
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.
-Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1?
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-[[problem 222|Решение задачи ММ222]]
 ----
-=====ММ221=====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-**Конкурсная задача ММ221** (4 балла)
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<sup>4</sup> + 2y<sup>3</sup> = 37<sup>z</sup> ?
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 221|Решение задачи ММ221]]
 ----
-=====ММ220=====
+===== ММ262 =====
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов)
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует.
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-[[problem 220|Решение задачи ММ220]]
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
+----
 ~~NOTOC~~