Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2017/10/07 12:25]
letsko [ММ224]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Продолжается **23-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако,​ легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим **арифметике** и **комбинаторной геометрии**. Третью можно условно озаглавить **"​Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ"​**. Окажется ли этот сон кошмарным,​ скоро узнаем. 
  
-Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком ​трудными. Впрочем, это замечание ​не касается последней задачи ​(оценка трудности которой - сама по себе трудная задача)+Стать ​участником марафона может ​любой желающий. Некоторые ​задачи ​вполне доступны ​школьникам. Для ​решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи ​могут показаться вам ​интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Еще одна цель, которую я преследовал,​ составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем,​ от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится. +Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
- +
-Более ранний,​ по сравнению с предыдущими,​ старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно,​ активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит,​ что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. ​Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, ​выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... +
- +
-Но если ​любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
Строка 33: Строка 30:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 +----
  
  
-===== ММ226 ​===== +====== ​Разбор задач ​======
-  +
-**Конкурсная задача ММ226** (5 баллов) +
-Решения принимаются до __13.10.2017__ +
- +
-Назовем натуральное число n счастливым,​ если оно является точной седьмой степенью, ​а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n.  +
-А есть ли, вообще,​ счастье в жизни? В смысле,​ существуют ли счастливые числа?+
 ---- ----
 +=====
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
- 
-===== ММ227 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ227** (7 баллов) 
-Решения принимаются до __20.10.2017__ 
- 
-Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</​m>​ - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <​m>​p_1+p_2+...p_s</​m>​.\\ 
-Назовем натуральное число k слабым,​ если уравнение x = k·sopf(x) неразрешимо в натуральных числах,​ и сильным в противном случае.\\ 
-Доказать,​ что сильных чисел бесконечно много.\\ 
-Найти наименьшее слабое число.\\ 
-Доказать,​ что слабых чисел бесконечно много. 
 ---- ----
  
  
-=====Терминология ММ228-230=====+**Конкурсная задача ​ММ270** (16 баллов)
  
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, ​если любые 3 их них высекают ​треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
  
-{{:​marathon:​mm228-230.png?​200|}} +**Решение**
-  +
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник,​ высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ +
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации,​ перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации,​ представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ +
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины,​ в которых углы меньше развернутого. ​ На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ +
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура,​ углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ +
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки,​ концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен,​ а отрезок BC – нет.\\ +
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники,​ стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например,​ треугольник DEF на рисунке 1 элементарен,​ а треугольник BCD – нет.\\ +
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами,​ содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация,​ изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ +
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых),​ первое из которых равно количеству элементарных треугольников,​ второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации,​ представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0]. +
-----+
  
 +Привожу решения призеров конкурса,​ {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}},​ а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
  
-===== ММ228 ===== +**Обсуждение**
-  +
-**Конкурсная задача ММ228** (4 балла) +
-Решения принимаются до __27.10.2017__+
  
-Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации ​из семи прямых общего положения? +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных ​значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже ​склонялся,​ но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный ​обоснованный ​ответ.
-----+
  
 +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-===== ММ229 ===== +Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших ​значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
-  +
-**Конкурсная задача ​ММ229** (7 баллов+
-Решения принимаются до __03.11.2017__+
  
-Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ ​ 
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации:​ (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ 
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:​\\ 
-1) количество прямых;​\\ 
-2) количество элементарных многоугольников:​\\ ​ 
-3) количество выпуклых вершин;​\\ 
-4) количество элементарных отрезков,​ ограничивающих внешний контур;​\\ 
-5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;​\\ 
-6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;​\\ 
-7) количество обратных вершин;​\\ 
-8) количество впадин;​\\ 
-9) количество сторон внешнего контура?​ 
  
-Примечание: Вася – умный. +**Награды**
-----+
  
 +За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\
 +Мераб Левиашвили - 18;\\
 +Олег Полубасов - 16;\\
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\
 +Александр Романов - 16;\\
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\
 +Виктор Филимоненков - 10;\\
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-===== ММ230 ===== +Эстетическая ​оценка задачи - 4.8 балла
-  +
-**Конкурсная задача ММ230** (15 баллов) +
-Решения принимаются до __01.12.2017__+
  
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? 
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ====== 
----- 
-=====ММ225===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ225** (6 баллов)+===== ММ269 =====
  
-Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<​sup>​2</​sup>​ + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня. ​+ ​**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) 
 + 
 +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
 +a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Участники порадовали разнообразием подходов. Поэтому вновь приведу все ​решения:  +Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина ​Шамсутдинова}}.
-{{:​marathon:​guzhavin_mm225.pdf|Евгения Гужавина}}, {{:​marathon:​mm225_dorofeev_29-9-2017.pdf|Владимира Дорофеева}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_pr_225.pdf|Анатолия Казмерчука}}{{:​marathon:​ariadna_mm225.pdf|Валентины Колыбасовой}}, {{:​marathon:​mm225_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​fiviol_mm225.pdf|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​frank_mm225.pdf|Владислава Франка}}. +
-Решение Дмитрия Курашкина можно посмотреть [[http://​dxdy.ru/​post1253866.html#​p1253866|здесь]].+
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Участники окончательно преодолели отпускную расслабленность и вновь не допустили ошибок в решении. Так держать!\\ +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась ​и в данном конкурсе.  
-В отличие использованных подходов ​(и предыдущей задачи), ответы не отличались разнообразием.+Результатом этого усложнения чаще всего ​был отток значительной части ​конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, ​кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе,​ не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-Впрочемпосле моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
-Окончательная оценка ​Евгения ​Гужавина сложилась с учетом добавки за несколько решений и сбавки за использование онайн ​солвера при решении простых ​диофантовых ​уравнений.+Разумеется, ​основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, ​очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится
 +В какой-то момент у меня ​имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной ​степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, ​дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая,​ что ситуация,​ когда "​Вася и Петя ​оба правы", маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема ​решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты ​обнаружили некоторые ошибки и неточности ​в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок ​найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это ​решение из приводимого ниже списка начисленных призовых ​баллов (а также попытаться ​найти ошибки и в этом решении)
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ224 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​\\ 
-Анатолий Казмерчук - по 7;\\ +Олег Полубасов - 18;\\ 
-Виктор Филимоненков, Владислав Франк, Олег ПолубасовВалентина Колыбасова, Владимир Дорофеев, Дмитрий Курашкин и Евгений Гужавин ​- по 6+Мераб Левиашвили - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов ​- 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
-=====ММ224===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ224** (6 баллов)+===== ММ268 =====
  
-В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными ​из вершины CПри сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи  -  20. Найти угол Сесли известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. ​+**Конкурсная ​задача ​ММ268** (9 баллов) 
 + 
 +Назовем натуральное число допустимым, ​если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно ​составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ​ровно один разравную mСколько существует недопустимых чисел?  
 + 
 +Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Напримерчисло 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. 
 + 
 +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
  
-[[problem 224|Решение задачи ММ224]] 
 ---- ----
  
  
-=====ММ223===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ223** (6 баллов)+===== ММ267 =====
  
-Рассмотрим две ​задачки.+**Конкурсная ​задача ММ267** (7 баллов)
  
-1. Вася ​получил за четверть 5 оценок ​по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку.  Выставляя итоговую оценку, учительница находит ​среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые ​упорядоченные ​наборы оценок равновероятны?+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального ​числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых ​каждое ​слагаемое присутствует не более двух разчем те, у которых ​все слагаемые ​не кратны 3. Петя уверен ​в обратном. Кто из них прав?
  
-2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку,​ учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, ​что Васина оценка за четверть повысится при условии,​ что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?​+[[problem 267|Решение задачи ​ММ267]]
  
-Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?+---- 
 + 
 +===== ММ266 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) 
 + 
 +Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы ​кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше ​Васи
 + 
 +Примечание:​ при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
  
-Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. ​ Но важно, ​что колы не ставим:​ разрешается использовать ​ только оценки 2, 3, 4, 5+[[problem 266|Решение ​задачи ​ММ266]]
  
-[[problem 223|Решение задачи ММ223]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-=====ММ222=====+**Конкурсная задача ​ММ265** (5 баллов)
  
-**Конкурсная задача ​ММ222** (6 баллов)+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.  +[[problem 265|Решение задачи ​ММ265]]
-Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация. ​  +
-Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим ​числом n+1?+
  
-[[problem 222|Решение задачи ММ222]] 
 ---- ----
  
-=====ММ221=====+===== ММ264 =====
  
-**Конкурсная задача ММ221** (4 балла)+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
  
-Сколько ​решений в натуральных ​числах имеет уравнение ​3x<​sup>​4</​sup>​ + 2y<​sup>​3</​sup>​ = 37<​sup>​z</​sup>​ ?+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной,​ если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ 
 + 
 +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество ​натуральных ​делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) 
 + 
 +[[problem 264|Решение ​задачи ММ264]]
  
-[[problem 221|Решение задачи ММ221]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ263 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-=====ММ220=====+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-**Конкурсная задача ​ММ220** ​(15 баллов)+([x] и {x} означают соответственно целую ​часть ​(пол) и дробную часть числа x.)
  
-Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей,​ а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей,​ не существует.+[[problem 263|Решение ​задачи ММ263]]
  
-[[problem ​220|Решение задачи ММ220]]+---- 
 + 
 + 
 +===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (3 балла) 
 + 
 +Разносторонний треугольник назовем прогрессивным,​ если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая,​ проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера,​ параллельна средней стороне.  
 + 
 +Примечание:​ тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) 
 + 
 +[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
  
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
 +
 +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
 +
 +----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1507368353.txt · Последние изменения: 2017/10/07 12:25 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006