marathon:about [2017/10/30 01:23] letsko [ММ229] |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
====== Математический марафон ====== | ====== Математический марафон ====== |
| |
{{ :marathon:konkurs.gif}} | {{ :marathon:konkurs.gif}} |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
Продолжается **23-й конкурс в рамках Математического марафона** | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим **арифметике** и **комбинаторной геометрии**. Третью можно условно озаглавить **"Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ"**. Окажется ли этот сон кошмарным, скоро узнаем. | |
| |
Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача). | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
---- | ---- |
| |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
| ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
| ---- |
| |
| |
=====Терминология ММ228-230===== | ====== Разбор задач ====== |
| ---- |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. | |
| |
{{:marathon:mm228-230.png?200|}} | |
| |
**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ | |
**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ | |
**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ | |
**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ | |
**Элементарными отрезками** назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\ | |
**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\ | |
**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ | |
**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0]. | |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ229 ===== | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов) | |
Решения принимаются до __08.11.2017__ | |
| |
Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ | |
После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\ | |
1) количество прямых;\\ | |
2) количество элементарных многоугольников:\\ | |
3) количество выпуклых вершин;\\ | |
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\ | |
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\ | |
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\ | |
7) количество обратных вершин;\\ | |
8) количество впадин;\\ | |
9) количество сторон внешнего контура? | |
| |
Примечание: Вася – умный. | **Решение** |
---- | |
| |
| Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
| |
===== ММ230 ===== | **Обсуждение** |
| |
**Конкурсная задача ММ230** (15 баллов) | |
Решения принимаются до __01.12.2017__ | |
| |
Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? | В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
---- | |
| |
====== Разбор задач ====== | Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
---- | |
| |
===== ММ228 ===== | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
| |
**Конкурсная задача ММ228** (4 балла) | |
| |
Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? | |
| |
**Решение** | **Награды** |
| |
Привожу решения Анатолия Казмерчука ({{:marathon:kazmerchuk_pr_228_1.pdf|часть I}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_228_0.pdf|часть II}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_228_2.pdf|часть III}}) и {{:marathon:mm228_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}. | За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
| Мераб Левиашвили - 18;\\ |
| Олег Полубасов - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
**Обсуждение** | Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
| |
Уже который год подряд в Марафоне наблюдается одна и та же тенденция: к концу конкурса значительная часть выдыхается и сходит с дистанции. В нынешнем конкурсе дистанция в 7 задач была пройдена достаточно дружно. Но в ММ228 обозначенная тенденция проявилась в полный рост - получено лишь 4 ответа.\\ | ---- |
И это при том, что эта задачка была запланирована в качестве легкого "разогрева" (или, если хотите пропедевтики) перед ММ229 и ММ230. | |
| |
Большинство подобных задач решаются методом "пример+оценка". А для ММ228 достаточно лишь примера. Поэтому весьма сложная в целом задача о возможных количествах тех или иных многоугольников, возникающих при разбиении плоскости прямыми (многоугольника диагоналями и т.п.) в данном конкретном случае тривиализируется. | |
| |
Направления для обобщений и аналогий ММ228 довольно очевидны. А вот ответы на возникающие при этом вопросы в основном совсем не очевидны.\\ | ===== ММ269 ===== |
Анатолий Казмерчук ограничился исследованием конфигураций из меньшего числа прямых и предъявлением всех возможных количеств четырехугольников для 7 прямых.\\ | |
Олег Полубасов получил точное значение для наибольшего возможного числа четырехугольников в общем случае, опираясь на известный факт о наименьшем возможном количестве треугольников. | |
| |
Однако никто из марафонцев не замахнулся (или замахнулся, но не ударил) на поиск наименьшего числа четырехугольников для более чем 7-и прямых. | **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
Попробую хотя бы частично этот пробел.\\ | |
Если я не ошибся при достаточно тупом переборном обосновании, для 8-и прямых наименьшее число четырехугольников - 1.\\ | |
Похоже, для 9-и прямых ответ тот же. Но в этом случае я даже не замахивался на перебор.\\ | |
| |
8 красных прямых на картинке образуют конфигурацию с вектором граней (14,1,3,3,0,0). | Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
Добавление 9-й (синей) прямой приводит к конфигурации (18,1,6,3,0,0,0). (Два треугольника не полностью попали на картинку) | a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
{{:marathon:mm228_pic.png?200|}} | **Решение** |
| |
**Награды** | Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
| |
За решение задачи ММ228 участники Марафона получают следующие призовые баллы: | **Обсуждение** |
Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 6; | |
Виктор Филимоненков и Валентина Колыбасова - по 4; | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** | Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
---- | Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
| |
| Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
| В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
| Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
| |
===== ММ227 ===== | **Награды** |
| |
**Конкурсная зхадача ММ227** (7 баллов) | |
| |
Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</m> - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <m>p_1+p_2+...p_s</m>.\\ | За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.\\ | Олег Полубасов - 18;\\ |
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.\\ | Мераб Левиашвили - 16;\\ |
Найти наименьшее слабое число.\\ | Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
Доказать, что слабых чисел бесконечно много. | Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
| Василий Дзюбенко - 11;\\ |
| Александр Романов - 11;\\ |
| Виктор Филимоненков - 11;\\ |
| Денис Овчинников - 7. |
| |
[[problem 227|Решение задачи ММ227]] | **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ226 ===== | ===== ММ268 ===== |
| |
**Конкурсная зхадача ММ226** (5 баллов) | |
| |
Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n. | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа? | |
| |
[[problem 226|Решение задачи ММ226]] | Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
---- | |
| |
| Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
=====ММ225===== | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
| |
**Конкурсная задача ММ225** (6 баллов) | ---- |
| |
Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<sup>2</sup> + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня. | |
| |
[[problem 225|Решение задачи ММ225]] | |
---- | |
| |
=====ММ224===== | ===== ММ267 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ224** (6 баллов) | Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи - 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. | [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
| |
[[problem 224|Решение задачи ММ224]] | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ266 ===== |
| |
=====ММ223===== | **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ223** (6 баллов) | Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
Рассмотрим две задачки. | Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
| |
1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? | [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
| |
2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? | ---- |
| |
Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи? | ===== ММ265 ===== |
| |
Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5 | **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
| |
| Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
| |
| [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
| |
[[problem 223|Решение задачи ММ223]] | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ264 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
=====ММ222===== | Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
| Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
| |
**Конкурсная задача ММ222** (6 баллов) | (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
| |
На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных. | [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация. | |
Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1? | |
| |
[[problem 222|Решение задачи ММ222]] | |
---- | ---- |
| |
=====ММ221===== | ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
| |
**Конкурсная задача ММ221** (4 балла) | Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<sup>4</sup> + 2y<sup>3</sup> = 37<sup>z</sup> ? | ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
| |
| [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
| |
[[problem 221|Решение задачи ММ221]] | |
---- | ---- |
| |
| |
=====ММ220===== | ===== ММ262 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов) | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
| Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
| |
Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует. | Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
| |
[[problem 220|Решение задачи ММ220]] | [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
| |
---- | ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
| Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
| [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
| |
| ---- |
| |
| |
~~NOTOC~~ | ~~NOTOC~~ |