Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2017/11/12 13:28]
letsko
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Продолжается **23-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако,​ легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим **арифметике** и **комбинаторной геометрии**. Третью можно условно озаглавить **"​Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ"​**. Окажется ли этот сон кошмарным,​ скоро узнаем. 
  
-Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком ​трудными. Впрочем, это замечание ​не касается последней задачи ​(оценка трудности которой - сама по себе трудная задача)+Стать ​участником марафона может ​любой желающий. Некоторые ​задачи ​вполне доступны ​школьникам. Для ​решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи ​могут показаться вам ​интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Еще одна цель, которую я преследовал,​ составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем,​ от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится. +Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
- +
-Более ранний,​ по сравнению с предыдущими,​ старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно,​ активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит,​ что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.Стать участником марафона может любой желающий. ​Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, ​выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... +
- +
-Но если ​любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
Строка 33: Строка 30:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
- +---- 
- +**На данный момент отсутствуют.**
-=====Терминология ММ228-230===== +
- +
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**,​ если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.  +
- +
-{{:​marathon:​mm228-230.png?​200|}} +
-  +
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник,​ высекаемый данными прямыми. ​На рисунке 1 это красный ​девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ +
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации,​ перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации,​ представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ +
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. ​ На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ +
-**Обратными ​вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ +
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки,​ концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямымиОтрезок CD на рисунке 1 элементарен,​ а отрезок BC – нет.\\ +
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники,​ стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например,​ треугольник DEF на рисунке 1 элементарен,​ а треугольник BCD – нет.\\ +
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами,​ содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация,​ изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ +
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых),​ первое из которых равно количеству элементарных треугольников,​ второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации,​ представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].+
 ---- ----
  
-===== ММ230 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ230** (15 баллов) 
-Решения принимаются до __01.12.2017__ 
  
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?+====== Разбор задач ======
 ---- ----
 +=====
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-====== Разбор задач ====== 
 ---- ----
-===== ММ229 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов) 
  
-Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ ​ 
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации:​ (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ 
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:​\\ 
-1) количество прямых;​\\ 
-2) количество элементарных многоугольников:​\\ ​ 
-3) количество выпуклых вершин;​\\ 
-4) количество элементарных отрезков,​ ограничивающих внешний контур;​\\ 
-5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;​\\ 
-6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;​\\ 
-7) количество обратных вершин;​\\ 
-8) количество впадин;​\\ 
-9) количество сторон внешнего контура?​ 
  
-Примечание: Вася – умный +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) 
 + 
 +Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу ​все поступившие ​решения{{:​marathon:​ariadna_мм229.docx|Ариадны}}{{:​marathon:​kazmerchuk_pr_229-1.pdf|Анатолия Казмерчука}}, ​{{:​marathon:​fiviol_mm229.pdf|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm229_polubasoff_.pdf|Олега Полубасова}}.+Привожу решения ​призеров конкурса, ​{{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, ​а также ​обобщение задачи победителя ​конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба ​Левиашвили}} .
  
-**Обсуждение** ​+**Обсуждение**
  
-На перегоне ММ228-ММ229 никто из марафонцев с дистанции никто не сошел. Но, к сожалению,​ никто и не вернулся (примкнул).+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали ​его сами конкурсанты,​ в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа ​на общий вопрос ведущий на момент опубликования ​задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. 
 + 
 +Эта ситуация выбила почву из под ​ног большинства любителей ​обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению ​простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностейбольших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился ​на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых ​существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи ​(присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. 
 + 
 +Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа,​ а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
  
-Я не слишком высоко оценил титаническую работу Анатолия Казмерчука по подсчету количества конфигураций,​ приводящих к данному внешнему циклу, поскольку результат получился слишком уж частный. 
-Гораздо интереснее,​ на мой взгляд,​ получить какие-то общие закономерности.\\ ​ 
-Или хотя бы полное описание всех конфигураций (с позиций рассматриваемых конфигураций) для малого количества прямых.\\ ​ 
-До 4-х прямых включительно все однозначно. \\ 
-При 5-и прямых все характеристики дружно перестают быть константами,​ но возможные значения легко перебираются.\\ 
-Например,​ возможные векторы граней - [5,0,1], [4,1,1], [3,2,1], [3,3,0]. \\ 
-Разнообразие внешних циклов несколько больше:​\\ 
-(3,​1,​3,​1,​3,​1,​3,​1,​3,​1);​\\ 
-(3,​2,​1,​2,​3,​1,​2,​2,​2,​1);​\\ 
-(4,​1,​2,​2,​2,​1,​2,​2,​2,​1);​\\ 
-(3,​1,​2,​2,​2,​1,​2,​2,​2,​1);​\\ 
-(3,​1,​3,​1,​3,​1,​2,​2,​2,​1);​\\ 
-(3,​2,​1,​3,​2,​1,​2,​2,​2,​1).\\ 
-В частности,​ для пяти прямых внешний цикл однозначно определяет вектор граней,​ что, как мы знаем, неверно в общем случае. 
-Начиная с 6-и прямых,​ разнообразие характеристик и их сочетаний уже настолько велико,​ что ручной перебор проблематичен.\\ 
-Ну а в общем случае...\\ 
-В общем случае удается получить лишь некоторые оценки. Такие как наличие n-2 треугольников и достижимость (n-2)(n-3)/​2 четырехугольников для конфигураций из $n$ прямых. 
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ229 участники Марафона получают следующие призовые баллы:  +За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ 
-Анатолий Казмерчук - 9+Мераб Левиашвили - 18;\\ 
-Олег Полубасов - 8+Олег Полубасов - 16;\\ 
-Виктор Филимоненков - 7+Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
-Валентина Колыбасова - 6.+Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\ 
 + 
 +Эстетическая ​оценка задачи ​4.8 балла
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла** 
 ---- ----
  
  
-===== ММ228 ===== +===== ММ269 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ228** (4 балла)+
  
-Какое наименьшее число элементарных ​четырехугольников может ​быть в конфигурации из семи прямых общего положения?+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
  
-[[problem 228|Решение задачи ММ228]]+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
 +a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения ​Анатолия Казмерчука ({{:​marathon:​kazmerchuk_pr_228_1.pdf|часть I}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_pr_228_0.pdf|часть II}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_pr_228_2.pdf|часть III}}и {{:​marathon:​mm228_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Уже который год подряд в Марафоне наблюдается одна и та же тенденция: к концу ​конкурса ​значительная часть ​выдыхается и сходит с дистанции. В нынешнем конкурсе ​дистанция в 7 задач была пройдена достаточно дружно. Но в ММ228 ​обозначенная тенденция проявилась в полный рост - получено лишь 4 ответа.\\ +Согласно традициям Марафона ​последние ​задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась ​и в данном конкурсе.  
-И это при том, что эта задачка была запланирована в качестве легкого "разогрева" (или, ​если хотите пропедевтики) перед ММ229 ​и ММ230.+Результатом этого усложнения чаще всего ​был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция ​неожиданно была ​нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ​ведущего ​:-) Впрочем, после моей мольбы, ​все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!страниц.
  
-Большинство ​подобных задач ​решаются методом "пример+оценка"А для ММ228 достаточно лишь примера. Поэтому ​весьма сложная ​в целом задача о возможных количествах тех или ​иных многоугольниковвозникающих ​при ​разбиении плоскости прямыми (многоугольника ​диагоналями и т.п.в данном конкретном случае тривиализируется.+Разумеется, ​основные ​страсти кипели ​вокруг ​обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
 +В какой-то момент ​у меня имелось три решения,​ в которых приводилась и обосновывалась точная ​формула для максимальной возможной степени ​вершины ​m-многогранника. Точнеетри разных формулы,​ дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ситуация, ​когда "Вася и Петя оба ​правы", ​маловероятна, ведущий был вынужден ​углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даромИ ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, ​кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение ​из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
-Направления для обобщений и аналогий ММ228 довольно очевидны. А вот ответы на возникающие при этом вопросы в основном совсем не очевидны.\\ +**Награды**
-Анатолий Казмерчук ограничился исследованием конфигураций из меньшего числа прямых и предъявлением всех возможных количеств четырехугольников для 7 прямых.\\ +
-Олег Полубасов получил точное значение для наибольшего возможного числа четырехугольников в общем случае,​ опираясь на известный факт о наименьшем возможном количестве треугольников.+
  
-Однако никто из марафонцев не замахнулся (или замахнулся,​ но не ударил) ​на поиск наименьшего числа четырехугольников для ​более чем 7-и прямых. +За решение задачи ММ269 ​участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Попробую хотя ​бы частично этот пробел.\\ +Олег ​Полубасов - 18;\\ 
-Если я не ошибся при достаточно тупом переборном обосновании, для 8-и прямых наименьшее число четырехугольников - 1.\\ +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
-Похоже, для 9-и прямых ответ тот же. Но в этом случае я даже не замахивался ​на перебор.\\+Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов ​- 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-8 красных прямых на картинке образуют конфигурацию ​с вектором граней (14,​1,​3,​3,​0,​0). +**Эстетическая оценка ​задачи - 4.7 балла** 
-Добавление 9-й (синей) прямой приводит ​к конфигурации (18,​1,​6,​3,​0,​0,​0)(Два треугольника не полностью попали на картинку)+----
  
-{{:​marathon:​mm228_pic.png?​200|}} 
  
-**Награды**+===== ММ268 =====
  
-За решение задачи ММ228 участники Марафона получают следующие призовые ​баллы:  +**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 6; +
-Виктор Филимоненков и Валентина Колыбасова - по 4;+
  
-**Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.4 балла** +Назовем натуральное число m допустимым, ​если существует такое n, что ​из чисел 1,2,…,n можно ​составить сумму произведений, в которой ​каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых ​чисел
-----+
  
 +Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-===== ММ227 ===== +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-  +
-**Конкурсная ​зхадача ММ227** (7 баллов)+
  
-Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</​m>​ - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <​m>​p_1+p_2+...p_s</​m>​.\\ 
-Назовем натуральное число k слабым,​ если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах,​ и сильным в противном случае.\\ 
-Доказать,​ что сильных чисел бесконечно много.\\ 
-Найти наименьшее слабое число.\\ 
-Доказать,​ что слабых чисел бесконечно много. 
- 
-[[problem 227|Решение задачи ММ227]] 
 ---- ----
  
  
-===== ММ226 ===== 
-  
-**Конкурсная зхадача ММ226** (5 баллов) 
  
-Назовем натуральное число n счастливым,​ если оно является точной седьмой степенью,​ а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n.  +===== ММ267 =====
-А есть ли, вообще,​ счастье в жизни? В смысле,​ существуют ли счастливые числа?+
  
-[[problem 226|Решение задачи ММ226]] +**Конкурсная ​задача ММ267** (7 баллов)
-----+
  
 +Вася и Петя поспорили. Вася уверен,​ что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
  
-=====ММ225=====+[[problem 267|Решение задачи ​ММ267]]
  
-**Конкурсная задача ММ225** (6 баллов)+----
  
-Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<​sup>​2</​sup>​ + xa + 3a - 1 0 имеет два целых корня. ​+===== ММ266 =====
  
-[[problem 225|Решение задачи ММ225]] +**Конкурсная ​задача ММ266** (7 баллов)
-----+
  
-=====ММ224=====+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-**Конкурсная задача ​ММ224** (6 баллов)+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
  
-В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось ​найти площади треугольников,​ на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами,​ проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей:​ 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи ​ -  20. Найти угол С, если известно,​ что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. ​+[[problem 266|Решение задачи ​ММ266]]
  
-[[problem 224|Решение задачи ММ224]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-=====ММ223=====+**Конкурсная задача ​ММ265** (5 баллов)
  
-**Конкурсная задача ​ММ223** (6 баллов)+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-Рассмотрим две задачки.+[[problem 265|Решение задачи ​ММ265]]
  
-1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них ​с тройки ​на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку,​ учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, ​что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?​+---- 
 + 
 +===== ММ264 ===== 
 + 
 +**Конкурсная ​задача ​ММ264** (4 балла)
  
-2. Вася получил за четверть 5 оценок ​по географии. Ему удалось ​незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку,​ учительница находит ​среднюю оценку ​и округляет ее до целой. Какова вероятностьчто Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?+Назовем пару натуральных чисел ​и аддитивнойесли τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать,​ что ​существует бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-Какое из условий выгоднее ​для жуликоватого Васи?+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. ​ Но важно, ​что колы не ставим:​ разрешается использовать ​ только оценки 2, 3, 4, 5+[[problem 264|Решение ​задачи ​ММ264]]
  
-[[problem 223|Решение задачи ММ223]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ263 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-=====ММ222=====+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-**Конкурсная задача ​ММ222** ​(баллов)+([x] и {x} означают соответственно целую ​часть ​(пол) и дробную часть числа x.)
  
-На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.  +[[problem 263|Решение задачи ​ММ263]]
-Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация. ​  +
-Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим ​числом n+1?+
  
-[[problem 222|Решение задачи ММ222]] 
 ---- ----
  
-=====ММ221===== 
  
-**Конкурсная задача ММ221** (балла)+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<​sup>​4</​sup>​ + 2y<​sup>​3</​sup>​ = 37<​sup>​z</​sup>​ ?+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне
  
-[[problem 221|Решение задачи ​ММ221]] +Примечание:​ тривиальное решение ​(недаром цена ​задачи ​всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-----+
  
 +[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
  
-=====ММ220=====+---- 
 +===== ММ261 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ММ220** (15 баллов)+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую ​возможную сумму НОД этих десяток.
  
-Найти наименьшее v такое, что существует многогранник,​ имеющий v вершин и 2016 диагоналей,​ а многогранника,​ имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей,​ не существует. +[[problem ​261|Решение задачи ММ261]]
- +
-[[problem ​220|Решение задачи ММ220]]+
  
 ---- ----
- 
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1510482484.txt · Последние изменения: 2017/11/12 13:28 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006