Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2018/05/03 21:49]
letsko
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Завершен **23-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-В упорной борьбе в **Анатолием Казмерчуком** победу вырвал **Олег Полубасов**.\\ 
-В не менее напряженной борьбе на 3-е место **Валентина Колыбасова** опередила **Виктора Филимоненкова**.\\ 
-Мои поздравления лауреатам! 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 +----
  
-====== Текущие задачи ====== 
  
-Появятся в 2018 году.+====== Текущие задачи ====== 
 +---- 
 +**На данный момент ​отсутствуют.**
 ---- ----
  
Строка 37: Строка 37:
 ====== Разбор задач ====== ====== Разбор задач ======
 ---- ----
 +=====
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-=====Терминология ММ228-230=====+----
  
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**,​ если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. ​ 
  
-{{:​marathon:​mm228-230.png?​200|}} +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) 
-  + 
-**Внешним ​контуром** конфигурации n прямых ​общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ​ABCDEFGHJ.\\ +Найти ​наибольшее возможное ​количество граней многогранника класса m. 
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода ​этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ + 
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых ​углы ​меньше развернутого.  На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ +**Решение** 
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины ​B, D, F, G, H.\\ + 
-**Элементарными отрезками** назовем ​отрезки, концы которых являются соседним ​точками пересечения одной из прямых конфигурации ​с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\ +Привожу решения призеров конкурса,​ {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}},​ а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . 
-**Элементарными многоугольниками** назовем ​многоугольникистороны которых ​являются элементарными отрезками дна сторона – один отрезок)Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\ + 
-**Впадиной** назовем участок внешнего ​контура ​между двумя ​соседними выпуклыми вершинамисодержащий хотя бы одну обратную ​вершину. Конфигурацияизображенная на рисунке имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ +**Обсуждение** 
-**Вектором граней** конфигурации ​назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество ​прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и тдВектор ​граней конфигурации,​ представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].+ 
 +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий ​на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью ​не "​доказал" неверный ответ). А для ММ270 ​у меня был ​верный обоснованный ответ. 
 + 
 +Эта ситуация ​выбила ​почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически всерешившие ММ270, ​нашли заодно ​и наибольшие количества ​вершин ​и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы ​становятся очевидны при успешном решении основной ​задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно ​можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании ​известных соотношений Дена-Соммервиля ​он получил наименьшие значения m, для ​которых ​существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также ​некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком ​большого ​веса основного решения. 
 + 
 +Во всех ​присланных решениях имеется ​содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности ​и обоснованности данного ответа, а также количеством ​частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений,​ где 7m-4 именно гипотеза). 
 + 
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ270 ​участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ 
 +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор ​Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис ​Овчинников - 8.\\ 
 + 
 +Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла 
 ---- ----
  
-===== ММ230 ===== 
-  
-**Конкурсная зхадача ММ230** (15 баллов) 
  
-Может ​ли вектор граней ​конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?+===== ММ269 ===== 
 + 
 + **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов
 + 
 +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
 +a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Традиционно привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_pr_230.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm230_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-При составлении ММ230 ​я не избежал соблазна облегчить жизнь ведущему (при одновременном усложнении жизни конкурсантов). +Согласно традициям Марафона ​последние задачи каждого конкурса имеют ​повышенную сложностьЭта традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
-Как правило, изобретая задачу для Марафона, я колдую над ней, как минимум, ​не меньше, чем те, кто будет ее решать+Результатом этого усложнения ​чаще всего был отток значительной части конкурсантовА эта традиция ​неожиданно ​была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем ​конкурсе, не прислали решения ​ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-С ММ230 картина иная. Я затратил на ее составление минут пятнадцать,​ при этом отдавая себе отчет (см. разбалловку) ​сколь тяжко будет конкурсантам. +
-Я рассмотрел конфигурацию из n-1 = 2k-1 (k>2) прямых, являющихся сторонами правильного многоугольника.  +
-Ясно чтовектор грани конфигурации - (n-1,​(n-1)(n-6)/​2,​0,​... ,0,1). +
-Осталось добавить к конфигурации n-ную прямую так, чтобы все точки пересечения остальных прямых лежали по одну сторону от этой ​прямой. +
-Теперь возьмем какое-нибудь большое k (например 53), и пыточная ​камера для конкурсантов готова. +
  
-Выбраться из этой камеры удалось ​лишь двоим участникамНе знаю ​как у вас, а у меня не было сомнений, что эти-то справятся. Жальчто к ним никто не присоединился. ​Но подкоп в нужном направлении вели, по крайней мерееще двое.+Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
 +В какой-то момент у меня имелось ​три решения, ​в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной ​степени вершины m-многогранника. ​Точнее, три разных формулы,​ дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ​ситуациякогда "​Вася и Петя оба правы", ​маловероятна, ведущий ​был ​вынужден углубиться в многостраничные ​трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время ​не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решенияхВо всех, кроме ​одного, в котором ошибок ​найти не удалось (иливсе же, пока не удалось?​). Желающие ​могут попробовать определить это ​решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
-В решении Олега Полубасова меня восхитило то, с каким изяществом он описал все возможные векторы ​граней, начинающиеся с указанной тройки.+**Награды**
  
-В целом же, после ​решения ММ228-230 круг нерешенных ​задач, связанных ​с конфигурациями прямых ​общего ​положения, скорее расширился, чем наоборот.+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые ​баллы: \\ 
 +Олег Полубасов - 18;\\ 
 +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-**Награды**+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** 
 +---- 
 + 
 + 
 +===== ММ268 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) 
 + 
 +Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?  
 + 
 +Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-За решение ​(продвижение в сторону решения,​ решение и исследование) ​задачи ММ230 участники Марафона получают следующие призовые баллы:  +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Олег Полубасов - 20; +
-Анатолий Казмерчук - 17; +
-Виктор Филимоненков - 5; +
-Валентина Колыбасова - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов** 
 ---- ----
  
-===== ММ229 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов) 
  
-Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ ​ 
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации:​ (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ 
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:​\\ 
-1) количество прямых;​\\ 
-2) количество элементарных многоугольников:​\\ ​ 
-3) количество выпуклых вершин;​\\ 
-4) количество элементарных отрезков,​ ограничивающих внешний контур;​\\ 
-5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;​\\ 
-6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;​\\ 
-7) количество обратных вершин;​\\ 
-8) количество впадин;​\\ 
-9) количество сторон внешнего контура?​ 
  
-Примечание: Вася ​– умный +===== ММ267 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) 
 + 
 +Вася и Петя поспорили. Вася уверен, ​что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует ​не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3Петя уверен в обратном. Кто из них прав? 
 + 
 +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
  
-[[problem 229|Решение задачи ММ229]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ266 =====
  
-===== ММ228 =====+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) 
 + 
 +Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи. 
 + 
 +Примечание:​ при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. 
 + 
 +[[problem 266|Решение задачи ММ266]] 
 + 
 +---- 
 + 
 +===== ММ265 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) 
 + 
 +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. 
 + 
 +[[problem 265|Решение задачи ММ265]] 
 + 
 +---- 
 + 
 +===== ММ264 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ264** (4 балла) 
 + 
 +Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной,​ если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ 
 + 
 +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей,​ сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) 
 + 
 +[[problem 264|Решение задачи ММ264]] 
 + 
 +---- 
 + 
 +===== ММ263 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла) 
 + 
 +Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ 
 + 
 +([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) 
 + 
 +[[problem 263|Решение задачи ММ263]] 
 + 
 +---- 
 + 
 + 
 +===== ММ262 =====
    
-**Конкурсная задача ММ228** (балла)+**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-Какое наименьшее число элементарных ​четырехугольников ​может быть в конфигурации из семи ​прямых ​общего положения?+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины ​его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать,​ что ​треугольник ​прогрессивен тогда и только ​тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна ​средней стороне.  
 + 
 +Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего ​3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) 
 + 
 +[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
  
-[[problem 228|Решение задачи ММ228]] 
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
 +
 +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
 +
 +----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1525373371.txt · Последние изменения: 2018/05/03 21:49 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006