marathon:about [2018/05/03 21:49] letsko |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
====== Математический марафон ====== | ====== Математический марафон ====== |
| |
{{ :marathon:konkurs.gif}} | {{ :marathon:konkurs.gif}} |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
Завершен **23-й конкурс в рамках Математического марафона** | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
В упорной борьбе в **Анатолием Казмерчуком** победу вырвал **Олег Полубасов**.\\ | |
В не менее напряженной борьбе на 3-е место **Валентина Колыбасова** опередила **Виктора Филимоненкова**.\\ | |
Мои поздравления лауреатам! | |
| |
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
| ---- |
| |
====== Текущие задачи ====== | |
| |
Появятся в 2018 году. | ====== Текущие задачи ====== |
| ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
---- | ---- |
| |
====== Разбор задач ====== | ====== Разбор задач ====== |
---- | ---- |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
=====Терминология ММ228-230===== | ---- |
| |
Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. | |
| |
{{:marathon:mm228-230.png?200|}} | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ | |
**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ | **Решение** |
**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ | |
**Элементарными отрезками** назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\ | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\ | |
**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ | **Обсуждение** |
**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0]. | |
| В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
| |
| Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
| |
| Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
| |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
| Мераб Левиашвили - 18;\\ |
| Олег Полубасов - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
| Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
---- | ---- |
| |
===== ММ230 ===== | |
| |
**Конкурсная зхадача ММ230** (15 баллов) | |
| |
Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? | ===== ММ269 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
| Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
| a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
**Решение** | **Решение** |
| |
Традиционно привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_pr_230.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm230_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}. | Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
| |
**Обсуждение** | **Обсуждение** |
| |
При составлении ММ230 я не избежал соблазна облегчить жизнь ведущему (при одновременном усложнении жизни конкурсантов). | Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
Как правило, изобретая задачу для Марафона, я колдую над ней, как минимум, не меньше, чем те, кто будет ее решать. | Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
С ММ230 картина иная. Я затратил на ее составление минут пятнадцать, при этом отдавая себе отчет (см. разбалловку) сколь тяжко будет конкурсантам. | |
Я рассмотрел конфигурацию из n-1 = 2k-1 (k>2) прямых, являющихся сторонами правильного многоугольника. | |
Ясно что, вектор грани конфигурации - (n-1,(n-1)(n-6)/2,0,... ,0,1). | |
Осталось добавить к конфигурации n-ную прямую так, чтобы все точки пересечения остальных прямых лежали по одну сторону от этой прямой. | |
Теперь возьмем какое-нибудь большое k (например 53), и пыточная камера для конкурсантов готова. | |
| |
Выбраться из этой камеры удалось лишь двоим участникам. Не знаю как у вас, а у меня не было сомнений, что эти-то справятся. Жаль, что к ним никто не присоединился. Но подкоп в нужном направлении вели, по крайней мере, еще двое. | Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
| В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
| Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
| |
В решении Олега Полубасова меня восхитило то, с каким изяществом он описал все возможные векторы граней, начинающиеся с указанной тройки. | **Награды** |
| |
В целом же, после решения ММ228-230 круг нерешенных задач, связанных с конфигурациями прямых общего положения, скорее расширился, чем наоборот. | За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Олег Полубасов - 18;\\ |
| Мераб Левиашвили - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
| Василий Дзюбенко - 11;\\ |
| Александр Романов - 11;\\ |
| Виктор Филимоненков - 11;\\ |
| Денис Овчинников - 7. |
| |
**Награды** | **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ268 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
| |
| Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
| Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
За решение (продвижение в сторону решения, решение и исследование) задачи ММ230 участники Марафона получают следующие призовые баллы: | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
Олег Полубасов - 20; | |
Анатолий Казмерчук - 17; | |
Виктор Филимоненков - 5; | |
Валентина Колыбасова - 4. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов** | |
---- | ---- |
| |
===== ММ229 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов) | |
| |
Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ | |
Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ | |
После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\ | |
1) количество прямых;\\ | |
2) количество элементарных многоугольников:\\ | |
3) количество выпуклых вершин;\\ | |
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\ | |
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\ | |
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\ | |
7) количество обратных вершин;\\ | |
8) количество впадин;\\ | |
9) количество сторон внешнего контура? | |
| |
Примечание: Вася – умный. | ===== ММ267 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
| |
| Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
| [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
| |
[[problem 229|Решение задачи ММ229]] | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ266 ===== |
| |
===== ММ228 ===== | **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
| |
| Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
| Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
| |
| [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ265 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
| |
| Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
| |
| [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ264 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
| Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
| Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
| |
| (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
| |
| [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
| |
| Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
| ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
| |
| [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ262 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ228** (4 балла) | **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
| Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
| |
| Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
| |
| [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
| |
[[problem 228|Решение задачи ММ228]] | |
---- | ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
| Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
| [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
| |
| ---- |
| |
| |
~~NOTOC~~ | ~~NOTOC~~ |