Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2018/05/04 15:51]
letsko [ММ232]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **24-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. ​ 
-Наоборот,​ я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными:​ любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем,​ и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 +----
  
-===== ММ231 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ231** (4 балла) 
  
-Решения принимаются до __08.09.2018__+====== ​Разбор задач ====== 
 +---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон граниБудем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<​sub>​1</​sub>,​ A<​sub>​1</​sub>​ и B<​sub>​1</​sub>​ соответственно. \\  
-Оказалось,​ что треугольники AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равновелики. \\ 
-Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ при условии,​ что последний - прямоугольный?​ 
 ---- ----
  
  
-===== ММ232 ===== +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная задача ММ232** (баллов)+
  
-Решения принимаются до __15.09.2018__+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
  
-Сколько решений в натуральных числах ​ имеет уравнение ​x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup>​ = z<​sup>​3</​sup>​ - i для каждого ​ i ∈ {1, 2, 4}?+**Решение**
  
-//Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы,​ но поля…//\\ +Привожу решения призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, ​а также обобщение задачи победителя конкурса ​{{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} ​.
-//​Надеюсь,​ у конкурсантов с полями все хорошо.// +
-----+
  
 +**Обсуждение**
  
-===== ММ233 ===== +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-  +
-**Конкурсная задача ​ММ233** ​(5 баллов)+
  
-//Очередной отголосок ​ЕГЭ ​в Марафоне//+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной ​задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. ​Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-Решения принимаются до __22.09.2018__+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения ​степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа,​ а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
  
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости,​ задаваемых системой \\ 
- (x - a + 1)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 3)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 80, \\ 
-(x - 3)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 4a + 1)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 20a<​sup>​2</​sup>,​ \\ 
- 230 -  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ 
-является кругом?​ 
----- 
  
 +**Награды**
  
-===== ММ234 ===== +За решение задачи ​ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)+Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-Решения принимаются ​до __22.09.2018__+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ 
-Пусть n натуральное число. Определим ​ f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ 
-Например,​ f(576) = 57 + 36 = 93.\\ 
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ 
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться,​ что g(a) = g(b) + 26? 
 ---- ----
-  ​ 
  
-===== ММ235 ===== 
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов) 
  
-Решения принимаются до __06.10.2018__+===== ММ269 =====
  
-Существует ли выпуклый многограннику которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество ​диагоналей граней?​ + **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-----+
  
 +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ ​
 +a) класса 3;\\
 +b) класса 4?
  
-===== ММ236 ===== +**Решение**
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)+
  
-Решения ​принимаются до __13.10.2018__+Привожу решения ​{{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось,​ что произведение ​всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. \\ +**Обсуждение** 
-Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. +
-----+
  
 +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. ​
 +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе,​ не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали,​ но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбы,​ все же сжалились,​ сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
-===== ММ237 ===== +Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
-**Конкурсная задача ​ММ237** ​(баллов)+В какой-то момент у меня имелось три решения,​ в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы,​ дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая,​ что ​ситуация,​ когда "​Вася и Петя оба правы",​ маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось ​(или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
-Решения принимаются ​до __20.10.2018__+**Награды**
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин ​написал на доске некоторую перестановку A из S<​sub>​10</​sub> ​ в виде произведения независимых циклов ​апись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  ​неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
 +Олег Полубасов - 18;\\ 
 +Мераб Левиашвили ​- 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-Аня: A<​sup>​6</​sup> ​ – тождественная перестановка.\\ +**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ +
-Даня: В S<​sub>​10</​sub>​ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ +
-Маня: Хм, уравнение X<​sup>​2</​sup>​ =B не может иметь в S<​sub>​10</​sub>​ ровно 3 решения ни при каком B.\\ +
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​ =B в S<​sub>​10</​sub>​ не может быть нечетным ​ ни при каком B.\\ +
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном ​цикле меньше порядка A.\\ +
-Зина: A<​sup>​5</​sup> ​ имеет столько же циклов,​ сколько и A.\\ +
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ +
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов ​более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы. +
- +
-Вася (умница и отличник) заметил,​ что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ +
-Найдите A. +
 ---- ----
  
  
-===== ММ238 ===== +===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)+
  
-Решения принимаются до __27.10.2018__+**Конкурсная ​задача ММ268** (9 баллов)
  
-Вася написал на доске k последовательных ​натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ +Назовем натуральное число m допустимым, ​если существует ​такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое ​число ​встречается ровно один раз, равную m. Сколько ​существует ​недопустимых чисел
-Петя написал k последовательных натуральных ​чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\ +
-Оказалосьчто ​ 2018 < V/P < 2019. \\ +
-При каком наименьшем k такое возможно? +
-----+
  
 +Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-===== ММ239 ===== +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-**Конкурсная ​задача ММ239** (10 баллов)+
  
-Решения принимаются до __17.11.2018__+----
  
-Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого:​\\ 
-a) не менее половины граней - семиугольники;​\\ 
-b) более половины граней - семиугольники;​ \\ 
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;​\\ 
-d) более половины граней - восьмиугольники;​\\ 
-e) не менее половины граней ​ - девятиугольники?​ 
  
-//​Примечание:​ Если у вас получается,​ что ответ на пункт «а» отрицательный,​ а на пункт «b» - положительный,​ подумайте еще.// ​ 
  
-----+===== ММ267 =====
  
 +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
  
-===== ММ240 ===== +Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы ​натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-**Конкурсная ​задача ММ2409** (13 баллов)+
  
-Решения принимаются ​до __01.12.2018__+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
  
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​ 
 ---- ----
  
 +===== ММ266 =====
  
-====== Разбор задач ​====== +**Конкурсная ​задача ММ266** (7 баллов)
-----+
  
-=====Терминология ​ММ228-230=====+Вася Пупкин выписал дни ​рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что ​и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются ​**прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. +Примечание: при сравнении возрастов учитываются ​дни, но не часы рождения
 + 
 +[[problem 266|Решение ​задачи ММ266]]
  
-{{:​marathon:​mm228-230.png?​200|}} 
-  
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник,​ высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ 
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации,​ перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации,​ представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ 
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины,​ в которых углы меньше развернутого. ​ На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ 
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура,​ углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ 
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки,​ концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен,​ а отрезок BC – нет.\\ 
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники,​ стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например,​ треугольник DEF на рисунке 1 элементарен,​ а треугольник BCD – нет.\\ 
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами,​ содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация,​ изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ 
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых),​ первое из которых равно количеству элементарных треугольников,​ второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации,​ представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0]. 
 ---- ----
  
-===== ММ230 ===== +===== ММ265 =====
-  +
-**Конкурсная зхадача ММ230** (15 баллов)+
  
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?+**Конкурсная задача ​ММ265** (5 баллов)
  
-**Решение**+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-Традиционно привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_pr_230.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​mm230_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}.+[[problem 265|Решение задачи ​ММ265]]
  
-**Обсуждение** ​+----
  
-При составлении ​ММ230 я не избежал соблазна облегчить жизнь ведущему (при одновременном усложнении жизни конкурсантов). +===== ММ264 =====
-Как правило,​ изобретая задачу для Марафона,​ я колдую над ней, как минимум,​ не меньше,​ чем те, кто будет ее решать. +
-С ММ230 картина иная. Я затратил на ее составление минут пятнадцать,​ при этом отдавая себе отчет (см. разбалловку) сколь тяжко будет конкурсантам. +
-Я рассмотрел конфигурацию из n-1 2k-1 (k>2) прямых,​ являющихся сторонами правильного многоугольника.  +
-Ясно что, вектор грани конфигурации - (n-1,​(n-1)(n-6)/​2,​0,​... ,0,1). +
-Осталось добавить к конфигурации n-ную прямую так, чтобы все точки пересечения остальных прямых лежали по одну сторону от этой прямой. +
-Теперь возьмем какое-нибудь большое k (например 53), и пыточная камера для конкурсантов готова. ​+
  
-Выбраться из этой камеры удалось лишь двоим участникам. Не знаю как у вас, а у меня не было сомнений,​ что эти-то справятся. Жаль, что к ним никто не присоединился. Но подкоп в нужном направлении вели, по крайней мере, еще двое.+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
  
-В решении Олега Полубасова меня восхитило тос каким изяществом он описал все возможные векторы граней, начинающиеся с указанной тройки.+Назовем пару ​натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  ​и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-В целом жепосле решения ММ228-230 круг нерешенных ​задач, связанных с конфигурациями прямых общего положения, скорее расширился, чем наоборот. +(τ(n)σ(n), φ(n) - количество ​натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
- +
-**Награды**+
  
-За решение ​(продвижение в сторону решения,​ решение и исследование) ​задачи ММ230 участники Марафона получают следующие призовые баллы:  +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-Олег Полубасов - 20; +
-Анатолий Казмерчук - 17; +
-Виктор Филимоненков - 5; +
-Валентина Колыбасова - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов** 
 ---- ----
  
-===== ММ229 ===== +===== ММ263 ===== 
-  + ​**Конкурсная задача ММ263** (балла)
-**Конкурсная задача ММ229** (баллов)+
  
-Петя нарисовал на доске несколько ​прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\  +Сколько решений может иметь уравнение ​[3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра ​c?\\
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации:​ (14, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ +
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася ​восстановить:\\ +
-1) количество прямых;​\\ +
-2) количество элементарных многоугольников:​\\  +
-3) количество выпуклых вершин;\\ +
-4) количество элементарных отрезков,​ ограничивающих внешний контур;​\\ +
-5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;​\\ +
-6) суммарное число сторон элементарных ​многоугольников;​\\ +
-7) количество обратных вершин;​\\ +
-8) количество впадин;​\\ +
-9) количество сторон внешнего контура?​+
  
-Примечание: Вася – умный +([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.
 + 
 +[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
  
-[[problem 229|Решение задачи ММ229]] 
 ---- ----
  
  
-===== ММ228 =====+===== ММ262 =====
    
-**Конкурсная задача ММ228** (балла)+**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-Какое наименьшее число элементарных ​четырехугольников ​может быть в конфигурации из семи ​прямых ​общего положения?+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины ​его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать,​ что ​треугольник ​прогрессивен тогда и только ​тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна ​средней стороне.  
 + 
 +Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего ​3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) 
 + 
 +[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
  
-[[problem 228|Решение задачи ММ228]] 
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
 +
 +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
 +
 +----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1525438278.txt · Последние изменения: 2018/05/04 15:51 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006