Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2018/09/09 11:43]
letsko [ММ230]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **24-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. ​ 
-Наоборот,​ я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными:​ любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем,​ и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 +----
  
-===== ММ232 ===== 
-**Конкурсная задача ММ232** (6 баллов) 
  
-Решения принимаются до __15.09.2018__+====== ​Разбор задач ====== 
 +---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон граниБудем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-Сколько решений в натуральных числах ​ имеет уравнение x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup>​ = z<​sup>​3</​sup>​ - i для каждого ​ i ∈ {1, 2, 4}? 
- 
-//Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы,​ но поля…//​\\ 
-//​Надеюсь,​ у конкурсантов с полями все хорошо.//​ 
 ---- ----
  
  
-===== ММ233 ===== +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-  +
-**Конкурсная задача ММ233** (баллов)+
  
-//​Очередной отголосок ЕГЭ ​в Марафоне//+Найти наибольшее возможное ​количество граней многогранника класса m.
  
-Решения принимаются до __22.09.2018__+**Решение**
  
-При ​каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ +Привожу решения призеров ​конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}а также обобщение ​задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
- (x - a + 1)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 3)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 80, \\ +
-(x - 3)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 4a + 1)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 20a<​sup>​2</​sup>,​ \\ +
- 230 -  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ +
-является кругом? +
-----+
  
 +**Обсуждение**
  
-===== ММ234 ===== +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-**Конкурсная задача ​ММ234** ​(5 баллов)+
  
-Решения принимаются до __29.09.2018__+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны ​при ​успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае ​двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-Функция g(n) натурального аргумента n задается ​так:\\ +Во всех присланных ​решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответаа также количеством частных ​значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решенийгде 7m-4 именно гипотеза).
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное ​на квадрат этой цифры.\\ +
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\ +
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ +
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a= g(b) + 26? +
----- +
-  ​+
  
-===== ММ235 ===== 
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов) 
  
-Решения принимаются ​до __06.10.2018__+**Награды**
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество ​диагоналей граней? +За решение задачи ММ270 ​участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ 
-----+Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков ​10;\\ 
 +Денис Овчинников ​8.\\
  
 +Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-===== ММ236 ===== +----
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)+
  
-Решения принимаются до __13.10.2018__ 
  
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось,​ что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. \\ +===== ММ269 =====
-Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. +
-----+
  
 + ​**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
  
-===== ММ237 ===== +Какова максимальная ​возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)+a) класса 3;\\ 
 +bкласса 4?
  
-Решения принимаются до __20.10.2018__+**Решение**
  
-Студент математического факультета Вася ​Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<​sub>​10</​sub> ​ в виде произведения ​независимых циклов апись каждого цикла начинается с наименьшего элемента;​ опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.+Привожу решения ​{{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия ​Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина ​Шамсутдинова}}.
  
-Аня: A<​sup>​6</​sup> ​ – тождественная перестановка.\\ +**Обсуждение** 
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ +
-Даня: В S<​sub>​10</​sub> ​существует ровно 3 перестановки,​ квадрат которых равен A.\\ +
-Маня: Хм, уравнение X<​sup>​2</​sup>​ =B не может иметь в S<​sub>​10</​sub>​ ровно 3 решения ни при каком B.\\ +
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​ =B в S<​sub>​10</​sub>​ не может быть нечетным ​ ни при каком B.\\ +
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ +
-Зина: A<​sup>​5</​sup> ​ имеет столько же циклов,​ сколько и A.\\ +
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ +
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.+
  
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном ​конкурсе.  
-Найдите A +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, ​но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое ​длинное из решений на 40(!) страниц.
-----+
  
 +Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
 +В какой-то момент у меня имелось три решения,​ в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы,​ дающих разные ответы :-)\\
 +Понимая,​ что ситуация,​ когда "​Вася и Петя оба правы",​ маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). ​
  
-===== ММ238 ===== +**Награды**
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)+
  
-Решения принимаются до __27.10.2018__+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы: \\ 
 +Олег Полубасов - 18;\\ 
 +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-Вася написал на доске k последовательных натуральных ​чисел и нашел их НОК - V.\\ +**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
-Петя ​написал k последовательных натуральных ​чисел, больших Васиных,​ и тоже нашел их НОК ​P\\ +
-Оказалось, что ​ 2018 < V/P < 2019. \\ +
-При каком наименьшем k такое возможно?​+
 ---- ----
  
  
-===== ММ239 ===== +===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)+
  
-Решения принимаются до __17.11.2018__+**Конкурсная ​задача ММ268** (9 баллов)
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:​\\ +Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,​2,​…,​n ​можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? 
-a) не менее половины граней - семиугольники;\\ +
-b) более половины граней - семиугольники;​ \\ +
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\ +
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\ +
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?+
  
-//Примечание: ​Если у вас получается, что ответ ​на пункт «а» отрицательныйа на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// +Примечание: ​в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Напримерчисло 148 допустимо, ​поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. 
 + 
 +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
  
 ---- ----
  
  
-===== ММ240 ===== 
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов) 
  
-Решения принимаются до __01.12.2018__+===== ММ267 =====
  
-Проективную плоскость ​разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​ +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-----+
  
 +Вася и Петя поспорили. Вася уверен,​ что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
 +
 +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
  
-====== Разбор задач ====== 
 ---- ----
  
-===== ММ231 ===== +===== ММ266 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ231** ​ (4 балла)+
  
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<​sub>​1</​sub>,​ A<​sub>​1</​sub>​ и B<​sub>​1</​sub> ​соответственно. Оказалось, что треугольники AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равновелики. Какую ​часть площади ABC составляет площадь треугольника A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ при условии, что последний - прямоугольный?​+**Конкурсная задача ​ММ266** (7 баллов)
  
-**Решение**+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного ​и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-Привожу решения {{:marathon:​guzhavine_mm231.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_231.docx|Анатолия Казмерчука}}. А также набросок авторского решения.+Примечаниепри сравнении возрастов учитываются днино не часы рождения.
  
-Пусть AC = 3, BC = 4, AB = 5. +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
  
-Введем обозначения как на рис. 1+----
  
-{{ :​marathon:​mm231.png |}}+===== ММ265 =====
  
-Из равновеликости треугольников AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ следует, что 5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y). Отсюда,​ x=4z/3, y=5z/3 или 12/(3-z), y=5(3-z)/z. Второе решение не подходит,​ т.к. при всех допустимых z (0<​z<​3) дает ​недопустимые x.\\ +**Конкурсная задача ​ММ265** ​(5 баллов)
-Таким образом,​ равенство площадей треугольников AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равносильно тому, что точки A<​sub>​1</​sub>,​ B<​sub>​1</​sub>​ и C<​sub>​1</​sub>​ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношениии.\\ +
-Пусть теперь угол C<​sub>​1</​sub>​ - прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов A<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ и B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ получим z=3/2 или z=48/25. Первое значение соответствует тривиальному случаю треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей 1/4. Второй случай (именно он приведен на рис.1) приводит к отношению 193/​625.\\ +
-Если вершиной прямого угла является B<​sub>​1</​sub>,​ то z=0 или z=21/23. Первое значение не подходит,​ а второе приводит к отношению площадей 193/​529.\\ +
-Наконец,​ если вершиной прямого угла является A<​sub>​1</​sub>,​ то оба значения z=3 и z=27/2 не входят в область допустимых значений.+
  
-**Обсуждение** +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие ​два из возникших треугольников не были подобны.
  
-Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения). +[[problem 265|Решение задачи ​ММ265]]
-Правда,​ у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю,​ разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).\\ +
-Любопытно,​ что некоторые участники,​ даже решив задачу,​ не заметили (или не отметили?​),​ что равновеликость треугольников AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равносильна тому, что точки A<​sub>​1</​sub>,​ B<​sub>​1</​sub>​ и C<​sub>​1</​sub>​ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим "​незаметным фактом",​ стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​. +
-Как верно отмечено в приведенных решениях,​ оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал).+
  
-**Награды**+----
  
-За решение задачи ​ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +===== ММ264 =====
-Евгений Гужавин - 6;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +
-Владислав Франк ​ - 4;\\ +
-Юрий Варламов - 4;\\ +
-Владимир Чубвнов - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 4;\\ +
-Виктор Филимоненков - 3;+
  
-**Эстетическая ​оценка задачи - 4.1 балла**+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
  
-----+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной,​ если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
  
 +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей,​ сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-=====Терминология ММ228-230=====+[[problem 264|Решение задачи ​ММ264]]
  
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**,​ если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. ​ 
- 
-{{:​marathon:​mm228-230.png?​200|}} 
-  
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник,​ высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ 
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации,​ перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации,​ представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ 
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины,​ в которых углы меньше развернутого. ​ На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ 
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура,​ углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ 
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки,​ концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен,​ а отрезок BC – нет.\\ 
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники,​ стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например,​ треугольник DEF на рисунке 1 элементарен,​ а треугольник BCD – нет.\\ 
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами,​ содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация,​ изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ 
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых),​ первое из которых равно количеству элементарных треугольников,​ второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации,​ представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0]. 
 ---- ----
  
-===== ММ230 ===== +===== ММ263 ===== 
-  + ​**Конкурсная задача ММ263** (балла) 
-**Конкурсная зхадача ММ230** (15 баллов)+ 
 +Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых ​общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?+([x] и {x} означают соответственно целую часть (поли дробную часть числа x.)
  
-[[problem ​230|Решение задачи ММ230]]+[[problem ​263|Решение задачи ММ263]]
  
 ---- ----
  
-===== ММ229 =====+ 
 +===== ММ262 =====
    
-**Конкурсная задача ММ229** (баллов)+**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-Петя нарисовал ​на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\  +Разносторонний треугольник назовем прогрессивнымесли длины его сторон образуют арифметическую ​прогрессию.  
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации:​ (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ +Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда ​прямая, проходящая ​через точку Нагеля и центр ​Шпикера, параллельна ​средней стороне
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\ +
-1) количество ​прямых;​\\ +
-2) количество элементарных многоугольников:\\  +
-3) количество выпуклых вершин;\\ +
-4) количество элементарных отрезков, ​ограничивающих внешний контур;\\ +
-5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\ +
-6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\ +
-7) количество обратных вершин;\\ +
-8) количество впадин;\\ +
-9) количество ​сторон внешнего контура?​+
  
-Примечание: ​Вася ​– умный.  ​+Примечание: ​тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-[[problem ​229|Решение задачи ММ229]] +[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
-----+
  
- +---- 
-===== ММ228 =====+===== ММ261 =====
    
-**Конкурсная задача ММ228** (4 балла)+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-Какое наименьшее число элементарных ​четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?​+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую ​возможную сумму НОД этих десяток.
  
-[[problem ​228|Решение задачи ММ228]] +[[problem ​261|Решение задачи ММ261]]
-----+
  
 +----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1536482598.txt · Последние изменения: 2018/09/09 11:43 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006