Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2018/09/11 08:03]
letsko
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **24-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. ​ 
-Наоборот,​ я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными:​ любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем,​ и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 +----
  
-===== ММ232 ===== 
-**Конкурсная задача ММ232** (6 баллов) 
  
-Решения принимаются до __15.09.2018__+====== ​Разбор задач ====== 
 +---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон граниБудем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-Сколько решений в натуральных числах ​ имеет уравнение x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup>​ = z<​sup>​3</​sup>​ - i для каждого ​ i ∈ {1, 2, 4}? 
- 
-//Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы,​ но поля…//​\\ 
-//​Надеюсь,​ у конкурсантов с полями все хорошо.//​ 
 ---- ----
  
  
-===== ММ233 ===== +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-  +
-**Конкурсная задача ММ233** (баллов)+
  
-//​Очередной отголосок ЕГЭ ​в Марафоне//+Найти наибольшее возможное ​количество граней многогранника класса m.
  
-Решения принимаются до __22.09.2018__+**Решение**
  
-При ​каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ +Привожу решения призеров ​конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}а также обобщение ​задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
- (x - a + 1)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 3)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 80, \\ +
-(x - 3)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 4a + 1)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 20a<​sup>​2</​sup>,​ \\ +
- 230 -  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ +
-является кругом? +
-----+
  
 +**Обсуждение**
  
-===== ММ234 ===== +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-**Конкурсная задача ​ММ234** ​(5 баллов)+
  
-Решения принимаются до __29.09.2018__+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны ​при ​успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае ​двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-Функция g(n) натурального аргумента n задается ​так:\\ +Во всех присланных ​решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности ​и обоснованности данного ответаа также количеством частных ​значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решенийгде 7m-4 именно гипотеза). 
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное ​на квадрат этой цифры.\\ + 
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\ + 
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ +**Награды**
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a= g(b) + 26? +
----- +
-  +
  
-===== ММ235 ===== +За решение задачи ​ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)+Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-Решения принимаются ​до __06.10.2018__+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого равны: количество ребер; количество диагоналей;​ суммарное количество диагоналей граней?​ 
 ---- ----
  
  
-===== ММ236 ===== +===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)+
  
-Решения принимаются до __13.10.2018__+ ​**Конкурсная ​задача ММ269** (11 баллов)
  
-Натуральные числа от до 4n разбили на группы по n чисел в каждой. Оказалосьчто ​произведение всех чисел из первой ​группы равно произведениям ​всех чисел из второй и третьей групп. \\ +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
-Найти наименьшую возможную сумму чисел ​четвертой ​группы.+a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4? 
 + 
 +**Решение** 
 + 
 +Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. 
 + 
 +**Обсуждение**  
 + 
 +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют ​повышенную сложность. Эта традиция ​сохранилась и в данном конкурсе.  
 +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной ​части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 ​всего два ​человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, ​все же сжалились,​ сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. 
 + 
 +Разумеется,​ основные страсти кипели ​вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится
 +В какой-то ​момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной ​степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ситуация,​ когда "​Вася и Петя оба правы",​ маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся ​просьбой ​продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать ​определить это решение из приводимого ниже списка ​начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).  
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ269 ​участники Марафона получают ​следующие призовые баллы: \\ 
 +Олег Полубасов - 18;\\ 
 +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7. 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ---- ----
  
  
-===== ММ237 ===== +===== ММ268 ===== 
-**Конкурсная задача ММ237** (баллов)+ 
 +**Конкурсная задача ММ268** (баллов)
  
-Решения принимаются ​до __20.10.2018__+Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму ​произведений, в которой каждое число встречается ​ровно один раз, равную mСколько существует недопустимых чисел? ​
  
-Студент ​математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<​sub>​10</​sub> ​ в виде ​произведения независимых циклов (запись каждого цикла ​начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно). ​ Васины ​однокурсники прокомментировали эту запись.+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число ​148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-Аня: A<​sup>​6</​sup> ​ – тождественная перестановка.\\ +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ +
-Даня: В S<​sub>​10</​sub>​ существует ровно 3 перестановки,​ квадрат которых равен A.\\ +
-Маня: Хм, уравнение X<​sup>​2</​sup>​ =B не может иметь в S<​sub>​10</​sub>​ ровно 3 решения ни при каком B.\\ +
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​ =B в S<​sub>​10</​sub>​ не может быть нечетным ​ ни при каком B.\\ +
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ +
-Зина: A<​sup>​5</​sup> ​ имеет столько же циклов,​ сколько и A.\\ +
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ +
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.+
  
-Вася (умница и отличник) заметил,​ что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ 
-Найдите A.  
 ---- ----
  
  
-===== ММ238 ===== 
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов) 
  
-Решения принимаются до __27.10.2018__+===== ММ267 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) 
 + 
 +Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются ​те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3Петя уверен в обратномКто из них прав? 
 + 
 +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
  
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ 
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных,​ и тоже нашел их НОК - P. \\ 
-Оказалось,​ что ​ 2018 < V/P < 2019. \\ 
-При каком наименьшем k такое возможно?​ 
 ---- ----
  
 +===== ММ266 =====
  
-===== ММ239 ===== +**Конкурсная задача ММ266** (баллов)
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)+
  
-Решения принимаются до __17.11.2018__+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного ​и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:​\\ +Примечаниепри сравнении ​возрастов учитываются днино не часы рождения.
-a) не менее половины граней - семиугольники;​\\ +
-b) более половины граней - семиугольники; \\ +
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;​\\ +
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\ +
-e) не менее половины граней ​ - девятиугольники?+
  
-//Примечание: Если у вас получается, ​что ответ на пункт «а» отрицательный,​ а на пункт «b» - положительный,​ подумайте еще.// ​+[[problem 266|Решение ​задачи ​ММ266]]
  
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-===== ММ240 ===== +**Конкурсная задача ММ265** (баллов)
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)+
  
-Решения принимаются до __01.12.2018__+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество ​прямоугольных треугольников так, чтобы ​никакие два из возникших ​треугольников не были подобны. 
 + 
 +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
  
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​ 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
 +
 +Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной,​ если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). ​
 +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
 +
 +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей,​ сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
 +
 +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
  
-====== Разбор задач ====== 
 ---- ----
  
-===== ММ231 ===== +===== ММ263 ===== 
-  + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)+
  
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<​sub>​1</​sub>,​ A<​sub>​1</​sub>​ и B<​sub>​1</​sub>​ соответственно. Оказалось,​ что треугольники AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь ​треугольника A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ при условии, ​что последний - прямоугольный?+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = cв зависимости от значения параметра c?\\
  
-**Решение**+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​guzhavine_mm231.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_231.docx|Анатолия Казмерчука}}. А также набросок авторского решения.+[[problem 263|Решение ​задачи ​ММ263]]
  
-Пусть AC = 3, BC = 4, AB = 5. +----
  
-Введем обозначения как на рис. 1 
  
-{{ :​marathon:​mm231.png |}}+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-Из равновеликости треугольников ​AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ следует, что 5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y). Отсюда,​ x=4z/3, y=5z/3 или 12/(3-z), y=5(3-z)/z. Второе решение не подходит,​ т.к. при всех допустимых z (0<​z<​3) дает ​недопустимые x.\\ +Разносторонний треугольник ​назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
-Таким образом, равенство площадей треугольников AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равносильно тому, что точки A<​sub>​1</​sub>,​ B<​sub>​1</​sub>​ и C<​sub>​1</​sub>​ делят ​стороны исходного треугольника в одном ​и том же отношениии.\\ +Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда ​прямая, проходящая через ​точку Нагеля и центр ​Шпикера, параллельна средней стороне. 
-Пусть теперь ​угол C<​sub>​1</​sub>​ - прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов A<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ и B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​получим z=3/2 или z=48/25. Первое значение соответствует тривиальному случаю ​треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей 1/4. Второй ​случай (именно он приведен на рис.1) приводит ​к отношению 193/​625.\\ +
-Если вершиной прямого угла является B<​sub>​1</​sub>,​ то z=0 или z=21/23. Первое значение не подходит, а второе приводит ​к отношению площадей 193/​529.\\ +
-Наконецесли вершиной ​прямого угла является A<​sub>​1</​sub>,​ то оба значения z=3 и z=27/​2 ​не входят в область допустимых значений.+
  
-**Обсуждение** +Примечание:​ тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения). +[[problem 262|Решение задачи ​ММ262]]
-Правда,​ у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю,​ разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).\\ +
-Любопытно,​ что некоторые участники,​ даже решив задачу,​ не заметили (или не отметили?​),​ что равновеликость треугольников AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равносильна тому, что точки A<​sub>​1</​sub>,​ B<​sub>​1</​sub>​ и C<​sub>​1</​sub>​ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим "​незаметным фактом",​ стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​. +
-Как верно отмечено в приведенных решениях,​ оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал).+
  
-**Награды**+---- 
 +===== ММ261 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-За решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\  +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили ​на 10 групп ​по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму ​НОД этих десяток.
-Евгений Гужавин - 6;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +
-Владислав Франк ​ - 4;\\ +
-Юрий Варламов - 4;\\ +
-Владимир Чубвнов - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 4;\\ +
-Виктор Филимоненков - 3;+
  
-**Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.1 балла**+[[problem 261|Решение задачи ​ММ261]]
  
 ---- ----
 +
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1536642199.txt · Последние изменения: 2018/09/11 08:03 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006