marathon:about [2018/09/11 08:03] letsko |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
====== Математический марафон ====== | ====== Математический марафон ====== |
| |
{{ :marathon:konkurs.gif}} | {{ :marathon:konkurs.gif}} |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
Стартовал **24-й конкурс в рамках Математического марафона** | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. | |
Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. | |
| |
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
| ---- |
| |
| |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
| ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
| ---- |
| |
===== ММ232 ===== | |
**Конкурсная задача ММ232** (6 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __15.09.2018__ | ====== Разбор задач ====== |
| ---- |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i для каждого i ∈ {1, 2, 4}? | |
| |
//Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля…//\\ | |
//Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.// | |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ233 ===== | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ233** (5 баллов) | |
| |
//Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне// | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
| |
Решения принимаются до __22.09.2018__ | **Решение** |
| |
При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
(x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\ | |
(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\ | |
230 - 2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ | |
является кругом? | |
---- | |
| |
| **Обсуждение** |
| |
===== ММ234 ===== | В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __29.09.2018__ | Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
| |
Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ | |
Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\ | |
Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ | **Награды** |
Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26? | |
---- | |
| |
| |
===== ММ235 ===== | За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов) | Мераб Левиашвили - 18;\\ |
| Олег Полубасов - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
Решения принимаются до __06.10.2018__ | Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
| |
Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? | |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ236 ===== | ===== ММ269 ===== |
**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __13.10.2018__ | **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. \\ | Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. | a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
| Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
| |
| Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
| В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
| Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Олег Полубасов - 18;\\ |
| Мераб Левиашвили - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
| Василий Дзюбенко - 11;\\ |
| Александр Романов - 11;\\ |
| Виктор Филимоненков - 11;\\ |
| Денис Овчинников - 7. |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ237 ===== | ===== ММ268 ===== |
**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов) | |
| **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
| |
Решения принимаются до __20.10.2018__ | Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub> в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись. | Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
Аня: A<sup>6</sup> – тождественная перестановка.\\ | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ | |
Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ | |
Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\ | |
Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным ни при каком B.\\ | |
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ | |
Зина: A<sup>5</sup> имеет столько же циклов, сколько и A.\\ | |
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ | |
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ | |
Фаина: Зина, Лина и Нина правы. | |
| |
Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ | |
Найдите A. | |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ238 ===== | |
**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __27.10.2018__ | ===== ММ267 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
| |
| Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
| [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
| |
Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ | |
Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\ | |
Оказалось, что 2018 < V/P < 2019. \\ | |
При каком наименьшем k такое возможно? | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ266 ===== |
| |
===== ММ239 ===== | **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __17.11.2018__ | Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\ | Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
a) не менее половины граней - семиугольники;\\ | |
b) более половины граней - семиугольники; \\ | |
с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\ | |
d) более половины граней - восьмиугольники;\\ | |
e) не менее половины граней - девятиугольники? | |
| |
//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// | [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
| |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ265 ===== |
| |
===== ММ240 ===== | **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __01.12.2018__ | Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
| |
| [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
| |
Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ264 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
| Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
| Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
| |
| (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
| |
| [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
| |
====== Разбор задач ====== | |
---- | ---- |
| |
===== ММ231 ===== | ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
**Конкурсная задача ММ231** (4 балла) | |
| |
На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный? | Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
**Решение** | ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
| |
Привожу решения {{:marathon:guzhavine_mm231.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_231.docx|Анатолия Казмерчука}}. А также набросок авторского решения. | [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
| |
Пусть AC = 3, BC = 4, AB = 5. | ---- |
| |
Введем обозначения как на рис. 1 | |
| |
{{ :marathon:mm231.png |}} | ===== ММ262 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
Из равновеликости треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> следует, что 5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y). Отсюда, x=4z/3, y=5z/3 или 12/(3-z), y=5(3-z)/z. Второе решение не подходит, т.к. при всех допустимых z (0<z<3) дает недопустимые x.\\ | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
Таким образом, равенство площадей треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равносильно тому, что точки A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> и C<sub>1</sub> делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношениии.\\ | Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
Пусть теперь угол C<sub>1</sub> - прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов A<sub>1</sub>C<sub>1</sub> и B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, получим z=3/2 или z=48/25. Первое значение соответствует тривиальному случаю треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей 1/4. Второй случай (именно он приведен на рис.1) приводит к отношению 193/625.\\ | |
Если вершиной прямого угла является B<sub>1</sub>, то z=0 или z=21/23. Первое значение не подходит, а второе приводит к отношению площадей 193/529.\\ | |
Наконец, если вершиной прямого угла является A<sub>1</sub>, то оба значения z=3 и z=27/2 не входят в область допустимых значений. | |
| |
**Обсуждение** | Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
| |
Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения). | [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
Правда, у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю, разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).\\ | |
Любопытно, что некоторые участники, даже решив задачу, не заметили (или не отметили?), что равновеликость треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равносильна тому, что точки A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> и C<sub>1</sub> делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим "незаметным фактом", стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>. | |
Как верно отмечено в приведенных решениях, оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал). | |
| |
**Награды** | ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
За решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
Евгений Гужавин - 6;\\ | |
Анатолий Казмерчук - 6;\\ | |
Владислав Франк - 4;\\ | |
Юрий Варламов - 4;\\ | |
Владимир Чубвнов - 4;\\ | |
Валентина Колыбасова - 4;\\ | |
Виктор Филимоненков - 3; | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла** | [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
| |
---- | ---- |
| |
| |
~~NOTOC~~ | ~~NOTOC~~ |