• Правила марафона
• Рейтинг участников
• Архив Марафона

Стартовал 24-й конкурс в рамках Математического марафона

Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.

Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Конкурсная задача ММ232 (6 баллов)

Решения принимаются до 15.09.2018

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение x³ + y³ = z³ - i для каждого i ∈ {1, 2, 4}?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля…
Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

Конкурсная задача ММ233 (5 баллов)

Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне

Решения принимаются до 22.09.2018

При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой
(x - a + 1)² + (y - 3)² ≤ 80,
(x - 3)² + (y - 4a + 1)² ≤ 20a²,
230 - 2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a|
является кругом?

Конкурсная задача ММ234 (5 баллов)

Решения принимаются до 29.09.2018

Функция g(n) натурального аргумента n задается так:
Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.
Например, f(576) = 57 + 36 = 93.
Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.
Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?

Конкурсная задача ММ235 (7 баллов)

Решения принимаются до 06.10.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?

Конкурсная задача ММ236 (7 баллов)

Решения принимаются до 13.10.2018

Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп.
Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.

Конкурсная задача ММ237 (7 баллов)

Решения принимаются до 20.10.2018

Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S₁₀ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.

Аня: A⁶ – тождественная перестановка.
Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.
Даня: В S₁₀ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.
Маня: Хм, уравнение X² =B не может иметь в S₁₀ ровно 3 решения ни при каком B.
Саня: Более того, количество решений уравнения X² =B в S₁₀ не может быть нечетным ни при каком B.
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.
Зина: A⁵ имеет столько же циклов, сколько и A.
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.

Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.
Найдите A.

Конкурсная задача ММ238 (7 баллов)

Решения принимаются до 27.10.2018

Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.
Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P.
Оказалось, что 2018 < V/P < 2019.
При каком наименьшем k такое возможно?

Конкурсная задача ММ239 (10 баллов)

Решения принимаются до 17.11.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого:
a) не менее половины граней - семиугольники;
b) более половины граней - семиугольники;
с) не менее половины граней - восьмиугольники;
d) более половины граней - восьмиугольники;
e) не менее половины граней - девятиугольники?

Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.

Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов)

Решения принимаются до 01.12.2018

Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?

Конкурсная задача ММ232 (6 баллов)

Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3+y3=z3-i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

Решение

Привожу решения Евгения Гужавина, Василия Дзюбенко и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

При поиске бесконечных серий конкурсанты разделились на две команды. Одна исповедовала подход: «Будем искать решение в виде…». Другая: «Найдем перебором несколько решений и поищем закономерность». Правда, была еще и третья группа: «Очевидно, что имеется бесконечно много решений вида…». Но я подозреваю, что представители этой группы, на самом деле, латентные участники одной из двух первых. А вот при доказательстве отсутствия решений для i=4 все были единодушны.

Для меня было неожиданным, что сразу несколько конкурсантов неправильно истолковали комментарий, приведенный после условия. Я полагал, что это более чем прозрачный намек на историю, когда Пьеру де Ферма не хватило полей «Арифметики» Диофанта, чтобы изложить доказательство (впрочем, конечно же, «доказательство») Великой теоремы своего имени. Но, то ли участники не вспомнили про эту историю, то ли стали искать двойное дно и намек на теорию полей, которого не было.

Некоторые конкурсанты для доказательства бесконечности множества решений придумали не серии, представленные в приведенных решениях, а их подсерии. Например, вместо тройки (9n³-1, 9n⁴-3n, 9n⁴\right) приводилась тройка (\left(3^3k-1, 3^4k-2-3^k, 3^4k-2\right). Несколько иначе обстоит дело с серией, приведенной Владиславом Франком для случая i-2. Убедившись, что равенство (6t³ + 36t² + 72t + 49)³ - 2 = (6t³ + 36t² + 72t + 47)³ + (6t² + 6t + 24)³ не является верным, я уже кровожадно потирал руки и думал, скольких баллов лишить Владислава. Но в этот момент заметил, при замене последнего слагаемого на (6t² + 24t + 24)³ получается та же серия, что и у остальных конкурсантов. Надо только вместо t подставить t-2. В итоге ведущему не удалось оттяпать баллы ни у кого из участников. Но и добавлять баллы я тоже не стал. Поскольку обобщения и аналоги задачи для случаев i=-1, i=a³, i=2a³, i=4+9k тривиальны, а более интересные вопросы:
разрешимо ли уравнение при i=3?
исчерпываются ли все решения для i=2 тройками (6n², 6n³-1, 6n³+1) (с возможной перестановкой первых двух чисел)?
входят ли решения для i=1, не описываемые серией (9n³-1, 9n⁴-3n, 9n⁴), в какие-то другие серии или являются спорадическими?
остались без ответов.

Награды

За решение задачи ММ232 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Евгений Гужавин - 6; Анатолий Казмерчук - 6; Юрий Варламов - 6; Владимир Чубанов - 6; Валентина Колыбасова - 6; Виктор Филимоненков - 6; Василий Дзюбенко - 6; Владислав Франк - 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

Конкурсная задача ММ231 (4 балла)

На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Оказалось, что треугольники AB₁C₁, BC₁A₁ и CA₁B₁ равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A₁B₁C₁ при условии, что последний - прямоугольный?

Решение

Привожу решения Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука. А также набросок авторского решения.

Пусть AC = 3, BC = 4, AB = 5.

Введем обозначения как на рис. 1

Из равновеликости треугольников AB₁C₁, BC₁A₁ и CA₁B₁ следует, что 5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y). Отсюда, x=4z/3, y=5z/3 или 12/(3-z), y=5(3-z)/z. Второе решение не подходит, т.к. при всех допустимых z (0<z<3) дает недопустимые x.
Таким образом, равенство площадей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁ и CA₁B₁ равносильно тому, что точки A₁, B₁ и C₁ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношениии.
Пусть теперь угол C₁ - прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов A₁C₁ и B₁C₁, получим z=3/2 или z=48/25. Первое значение соответствует тривиальному случаю треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей 1/4. Второй случай (именно он приведен на рис.1) приводит к отношению 193/625.
Если вершиной прямого угла является B₁, то z=0 или z=21/23. Первое значение не подходит, а второе приводит к отношению площадей 193/529.
Наконец, если вершиной прямого угла является A₁, то оба значения z=3 и z=27/2 не входят в область допустимых значений.

Обсуждение

Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения). Правда, у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю, разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).
Любопытно, что некоторые участники, даже решив задачу, не заметили (или не отметили?), что равновеликость треугольников AB₁C₁, BC₁A₁ и CA₁B₁ равносильна тому, что точки A₁, B₁ и C₁ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим «незаметным фактом», стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника A₁B₁C₁. Как верно отмечено в приведенных решениях, оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал).

Награды

За решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Евгений Гужавин - 6;
Анатолий Казмерчук - 6;
Владислав Франк - 4;
Юрий Варламов - 4;
Владимир Чубанов - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Виктор Филимоненков - 3;

Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла