Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2018/09/16 13:41]
letsko
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Стартовал **24-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
-Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
+----
-===== ММ232 =====
-**Конкурсная задача ММ232** (6 баллов)
-Решения принимаются до __15.09.2018__
+====== Разбор задач ======
+----
-Сколько решений в натуральных числах  имеет уравнение x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i для каждого  i ∈ {1, 2, 4}?
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-//Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля…//\\
-//Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.//
 ----
-===== ММ233 =====
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная задача ММ233** (5 баллов)
-//Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне//
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-Решения принимаются до __22.09.2018__
+**Решение**
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
- (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\
-(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\
--  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\
-является кругом?
-----
+**Обсуждение**
-===== ММ234 =====
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
-Решения принимаются до __29.09.2018__
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
-----
-===== ММ235 =====
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
-Решения принимаются до __06.10.2018__
+**Награды**
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
 ----
-===== ММ236 =====
+===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)
-Решения принимаются до __13.10.2018__
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. \\
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
-Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.
+a) класса 3;\\
-----
+b) класса 4?
+**Решение**
-===== ММ237 =====
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
-Решения принимаются до __20.10.2018__
+**Обсуждение**
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub>  в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Аня: A<sup>6</sup>  – тождественная перестановка.\\
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
-Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным  ни при каком B.\\
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\
-Зина: A<sup>5</sup>  имеет столько же циклов, сколько и A.\\
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\
+**Награды**
-Найдите A.
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Олег Полубасов - 18;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-===== ММ238 =====
+===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-Решения принимаются до __27.10.2018__
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\
-Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. \\
-При каком наименьшем k такое возможно?
 ----
-===== ММ239 =====
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
-Решения принимаются до __17.11.2018__
+===== ММ267 =====
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-a) не менее половины граней - семиугольники;\\
-b) более половины граней - семиугольники; \\
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.//
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
 ----
+===== ММ266 =====
-===== ММ240 =====
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)
-Решения принимаются до __01.12.2018__
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-----
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-====== Разбор задач ======
 ----
-===== ММ232 =====
+===== ММ265 =====
-**Конкурсная задача ММ232**  (6 баллов)
-Сколько решений в натуральных числах,  имеет уравнение **x<sup></sup>3+y<sup></sup>3=z<sup></sup>3-i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля...
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.
-**Решение**
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Привожу решения {{:marathon:guzhavine_mm232.pdf|Евгения Гужавина}}, {{:marathon:dziubenko_mm232.pdf|Василия Дзюбенко}} и {{:marathon:ariadna_мм232.pdf|Валентины Колыбасовой}}.
+----
-**Обсуждение**
+===== ММ264 =====
-При поиске бесконечных серий конкурсанты разделились на две команды. Одна исповедовала подход: "Будем искать решение в виде...". Другая: "Найдем перебором несколько решений и поищем закономерность". Правда, была еще и третья группа: "Очевидно, что имеется бесконечно много решений вида...". Но я подозреваю, что представители этой группы, на самом деле, латентные участники одной из двух первых.
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-А вот при доказательстве отсутствия решений для i=4 все были единодушны.
-Для меня было неожиданным, что сразу несколько конкурсантов неправильно истолковали комментарий, приведенный после условия.
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
-Я полагал, что это более чем прозрачный намек на историю, когда Пьеру де Ферма не хватило полей "Арифметики" Диофанта, чтобы изложить доказательство (впрочем, конечно же, "доказательство") Великой теоремы своего имени.
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-Но, то ли участники не вспомнили про эту историю, то ли стали искать двойное дно и намек на теорию полей, которого не было.
-Некоторые конкурсанты для доказательства бесконечности множества решений придумали не серии, представленные в приведенных решениях, а их подсерии. Например, вместо  тройки (9n<sup>3</sup>-1, 9n<sup>4</sup>-3n, 9n<sup>4</sup>\right) приводилась тройка (\left(3<sup>3k-1</sup>, 3<sup>4k-2</sup>-3<sup>k</sup>, 3<sup>4k-2</sup>\right).
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-Несколько иначе обстоит дело с серией, приведенной Владиславом Франком для случая i-2. Убедившись, что равенство (6t<sup>3</sup> + 36t<sup>2</sup> + 72t + 49)<sup>3</sup> - 2 = (6t<sup>3</sup> + 36t<sup>2</sup> + 72t + 47)<sup>3</sup> + (6t<sup>2</sup> + 6t + 24)<sup>3</sup> не является верным, я уже кровожадно потирал руки и думал, скольких баллов лишить Владислава. Но в этот момент заметил, при замене последнего слагаемого на (6t<sup>2</sup> + 24t + 24)<sup>3</sup> получается та же серия, что и у остальных конкурсантов. Надо только вместо t подставить t-2.
-В итоге ведущему не удалось оттяпать баллы ни у кого из участников.
-Но и добавлять баллы я тоже не стал. Поскольку обобщения и аналоги задачи для случаев i=-1, i=a<sup>3</sup>, i=2a<sup>3</sup>, i=4+9k тривиальны, а более интересные вопросы:\\
-разрешимо ли уравнение при i=3?\\
-исчерпываются ли все решения для i=2 тройками (6n<sup>2</sup>, 6n<sup>3</sup>-1, 6n<sup>3</sup>+1) (с возможной перестановкой первых двух чисел)?\\
-входят ли решения для i=1, не описываемые серией (9n<sup>3</sup>-1, 9n<sup>4</sup>-3n, 9n<sup>4</sup>), в какие-то другие серии или являются спорадическими?\\
-остались без ответов.
-**Награды**
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-За решение задачи ММ232 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
-Евгений Гужавин - 6;
-Анатолий Казмерчук - 6;
-Юрий Варламов - 6;
-Владимир Чубанов - 6;
-Валентина Колыбасова - 6;
-Виктор Филимоненков - 6;
-Василий Дзюбенко - 6;
-Владислав Франк - 6.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
 ----
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-===== ММ231 =====
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-**Решение**
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-Привожу решения {{:marathon:guzhavine_mm231.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_231.docx|Анатолия Казмерчука}}. А также набросок авторского решения.
+----
-Пусть AC = 3, BC = 4, AB = 5.
-Введем обозначения как на рис. 1
+===== ММ262 =====
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-{{ :marathon:mm231.png |}}
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-Из равновеликости треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> следует, что 5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y). Отсюда, x=4z/3, y=5z/3 или 12/(3-z), y=5(3-z)/z. Второе решение не подходит, т.к. при всех допустимых z (0<z<3) дает недопустимые x.\\
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-Таким образом, равенство площадей треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равносильно тому, что точки A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> и C<sub>1</sub> делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношениии.\\
-Пусть теперь угол C<sub>1</sub> - прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов A<sub>1</sub>C<sub>1</sub> и B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, получим z=3/2 или z=48/25. Первое значение соответствует тривиальному случаю треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей 1/4. Второй случай (именно он приведен на рис.1) приводит к отношению 193/625.\\
-Если вершиной прямого угла является B<sub>1</sub>, то z=0 или z=21/23. Первое значение не подходит, а второе приводит к отношению площадей 193/529.\\
-Наконец, если вершиной прямого угла является A<sub>1</sub>, то оба значения z=3 и z=27/2 не входят в область допустимых значений.
-**Обсуждение**
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
-Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения).
+----
-Правда, у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю, разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).\\
+===== ММ261 =====
-Любопытно, что некоторые участники, даже решив задачу, не заметили (или не отметили?), что равновеликость треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равносильна тому, что точки A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> и C<sub>1</sub> делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим "незаметным фактом", стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>.
-Как верно отмечено в приведенных решениях, оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал).
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
-**Награды**
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-За решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-Евгений Гужавин - 6;\\
-Анатолий Казмерчук - 6;\\
-Владислав Франк  - 4;\\
-Юрий Варламов - 4;\\
-Владимир Чубанов - 4;\\
-Валентина Колыбасова - 4;\\
-Виктор Филимоненков - 3;
-**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла**
 ----
 ~~NOTOC~~